12、函数的图象
作函数的图象主要有以下两种方法:
(1)用“五点法”作图
用“五点法”作的简图,主要是通过变量代换,设,由z取0,,,,来求出相应的x,通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出图象。
(2)由函数的图象通过变换得到的图象,有两种主要途径:
“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”。
法一:
先平移后伸缩
法二:
先伸缩后平移
可以看出,前者平移个单位,后者平移个单位。
原因在于相位变换和周期变换都是针对变量x而言的。
因此在用这样的变换法作图象时一定要注意平移的先后顺序,否则必然会出现错误。
当函数(A>0,,)表示一个振动量时,A就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离,通常把它叫做这个振动的振幅;往复振动一次所需要的时间,它叫做振动的周期;单位时间内往复振动的次数,它叫做振动的频率;叫做相位,叫做初相(即当x=0时的相位)。
【典型例题】
例1.作出函数的图象
分析:
首先将函数的解析式变形,化为最简形式,然后作出函数的图象。
解析:
化为
即
其图象如图:
点评:
画的图象可分为两步完成,第一步先画出和,的图象,第二步将得到的图象向左、右平移,即可得到完整的曲线。
例2.求下列函数的周期
(1)
(2)
分析:
该例的两个函数都是复合函数,我们可以通过变量替换将它们归结为基本三角函数去处理。
解析:
(1)如果令,则是周期函数,且周期为
即
的周期是
(2)
即
的周期是。
点评:
由上例我们可以看到函数周期的变换仅与自变量x的系数有关。
一般地,函数或(其中A、为常数,A≠0,x∈R)的周期。
例3.比较下列各组数的大小。
(1)sin194°和cos160°;
(2)和;
(3)和
分析:
先化为同名函数,然后利用单调性来比较函数值的大小。
解析:
(1)
,
从而
即
(2)
又
在[]上是减函数
即
(3)
而在(0,)内递增
点评:
(1)比较同名的三角函数值的大小,首先把三角函数转化为同一单调区间上的同名三角函数,利用单调性,由自变量的大小确定函数值的大小。
(2)比较不同名的三角函数的大小时,应先化为同名三角函数,然后再进行比较。
例4.求下列函数的最大值和最小值
(1)
(2)
(3)
分析:
可利用sinx与cosx的值域求解,求解过程中要注意自变量的取值范围。
解析:
(1)
当时,
当时,
(2)
当时,;
当时,。
(3),
当时,;
当时,。
点评:
求三角函数的值域或最大值、最小值问题主要得利用sinx与cosx的有界性,以及复合函数的有关性质。
例5.用两种方法将函数的图象变换为函数的图象。
分析1:
解法1:
分析2:
解法2:
点评:
在解法1xx,先伸缩,后平移;在解法2xx,先平移,后伸缩,表面上看来,两种变换方法xx的平移是不同的(即和),但由于平移时平移的对象已有所变化,所以得到的结果是一致的。
例6.用五点法作出函数的图象,并指出函数的单调区间。
分析:
按五点作图法的要求找出五个点来,然后作图。
解析:
(1)列表
列表时取值为0、、、、,再求出相应的x值和y值。
(2)描点
(3)用平滑的曲线顺次连结各点所得图象如图所示:
利用这类函数的周期性,我们可以把上面所得到的简图向左、右扩展,得到,的简图(图略)。
可见在一个周期内,函数在[]上递减,又因函数的周期为,所以函数的递减区间为。
同理,增区间为。
点评:
五点法作图,要抓住要害,即抓住五个关键点,使函数式中的取0、、、、,然后求出相应的x,y值。
例7.如图是函数的图象,确定A、、的值。
解析:
显然A=2
解法1:
由图知当时,y=0
故有,
所求函数解析式为
解法2:
由图象可知将的图象向xx
即得,即
点评:
求函数的解析式难点在于确定初相,一般可利用图象变换关系和特殊值法。
【模拟试题】
1、已知,且,则的值等于
A.B.C.D.
2、函数的定义域为
A.RB.[-1,1]
C.[]D.[-3,3]
3、在[0,]上,满足的x取值范围是
A.B.
C.D.
4、如图所示,函数(且)的图象是
5、若,则函数的值域是
A.B.
C.D.
6、已知函数在同一周期内,当时,,当时,,那么函数的解析式为()
A.B.
C.D.
7、下列命题正确的是
A.的图象向右平移得的图象
B.的图象向右平移得的图象
C.当时,向左平移个单位可得的图象
D.的图象由的图象向左平移个单位得到
8、函数的图象,可由函数的图象经过下述_________变换而得到
A.向右平移个单位,横坐标缩小到原来的,纵坐标扩大到原来的3倍
B.向左平移个单位,横坐标缩小到原来的,纵坐标扩大到原来的3倍
C.向右平移个单位,横坐标扩大到原来的2倍,纵坐标缩小到原来的
D.向左平移个单位,横坐标缩小到原来的,纵坐标缩小到原来的
9、若,且,则m的取值范围是___________
10、函数的最小正周期是_________
振幅是_________,当_________时,__________
当___________时,__________
11、函数的图象的对称轴方程为____________
12、若函数的最大值为,最小值为,求函数的最值和最小正周期。
13、求函数的振幅、周期、相位和单调区间。
14、如图为某三角函数图象的一段:
(1)用正弦函数写出其解析式;
(2)求与这个函数关于直线对称的函数解析式。
【试题答案】
1~8:
DABCDAAB
9、
10、
11、
12、由题意,得:
,解得,所以的最大值是2,最小值是-2,最小正周期T=2π
13、振幅是1,周期是,相位是,单调增区间是,单调减区间是
14、
(1)
(2)