北师大版角的概念和角的比较.docx

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北师大版角的概念和角的比较

星期六：

知识点一、线段的中点（重点、难点）

定义:

将一条线段分成两条线段的点，叫做线段的中点。

如图，关于B是AC的中点，则有以下结论：

1∵B是AC的中点

∴AB=或AB=

或AC=2AB=2；

2∵AB=BC或AB=

AC或AC=2AB=2BC

∴B是AC的中点．

典型例题：

例1、已知线段AB=20㎝，C为AB中点，D为CB上一点，E为DB的中点，且EB=3㎝，则

CD的长度是多少cm？

例2、如图，AB=CD，那么AC与BD的大小关系是（　　）

A、AC=BDB、AC＜BDC、AC＞BDD不能确定

课堂练习

1、如图，C、D是线段AB上两点，已知AC：

CD：

DB=1：

2：

3，M、N分别为AC、DB的中点，

且AB=18cm，求线段MN的长。

2、如图,已知线段AB=10cm,点C是AB上任一点,点M、N分别是AC和CB的中点,则Mn的长度

为（）A、6cmB、6cmC、4cmD、3cm

3、如图,点C在线段AB上,D是AC的中点,E是BC的中点,若ED=6，则AB的长为（）

A、6B、8C、12D、16

4、如图,点C、D是线段AB上的两点,若AC=4，CD=5，DB=3，则图中所有线段的和是______。

知识点二：

角的度量与表示

角的定义：

角是由两条具有公共端点的射线组成的图形，两条射线的公共端点是这个角的顶

点，这两条射线是这个角的边，也可以说角是由一条射线绕它的端点旋转而成的

图形。

角的表示方法

表示角的符号是“∠”，一个角有四种表示方法：

（1）用三个大写字母表示，两边上各一点和顶点的字母，顶点字母要写在中间；

（2）用一个表示角的顶点的大写字母表示，这种表示方法只适用于顶点处只有一个角的情况．

（3）用数字表示，如∠1、∠2、∠3等．

（4）用希腊字母表示，如∠α、∠β、∠γ等．

其中，后两种方法常在角内靠近顶点处加上一个小弧线，并把1，2，3，或α、β、γ标注在紧靠弧线的外面．

四种表示方法如图所示：

∠AOB或∠O　　　　　　∠1，∠2　　　　　　　　　　　∠α，∠β

典型例题：

例1、下列说法中，正确的是（）

A、有公共端点的两条射线组成的图形叫做角；

B、两条射线组成的图形叫做角；

C、两条线段组成的图形叫做角；

D、一条射线从一个位置移到另一个位置所形成的图形叫做角。

例2、下列说法：

（1）角的边越长，角也越大；

（2）以点A为顶点的角可以表示为∠A；

（3）一个角只有一个顶点。

其中正确的个数是（）

A、0个B、1个C、2个D、3个

例3、下图中表示∠ABC的图是（　　）

A、

B、

C、

D、

例4、如图，∠α的另一种正确的表示方法是：

（）

A、∠1B、∠CC、∠ACBD、∠ABC

总结：

（1）角是几何图形，构成角的两个要素是顶点、两边；

（2）每个角都有两条边，这两条边都是射线；

（3）角的两边有公共端点。

知识点二：

计算时钟的时针与分针的夹角

要分析钟面角，我们首先要结合其图形特点，寻找并发现它们的变化规律。

⑴钟表的表面特点：

钟表的表面都是一个圆形，共有12个大格，每个大格间有5个小格．圆形的表面恰好对应着一个周角360°，每个大格对应30°角，每个小格对应6°角．表面一般有时针、分针、秒针三根指针。

⑵钟表时针、分针、秒针的转动情况：

时针：

每小时转1大格，每12分钟转1小格，每12个小时转1个圆周；

分针：

每5分钟转一大格，每1分钟转1小格，每小时转1个圆周；

秒针：

5秒钟转1大格，每1秒钟转1小格，每1分钟转一个圆周。

⑶时针、分针、秒针的转速：

有了以上的认识，我们很容易计算出相应指针的转速：

①钟表的时针转速为：

30°/小时或0.5°/分钟；

②分针的转速为：

6°/分钟或0.1°/秒钟；

③秒针的转速为：

6°/秒。

总结表格为：

时钟钟面上的时针和分针之间的夹角问题，历来是许多同学求解的困惑问题之一，事实上，只要同学们能弄清时针、分针之间的关系：

时针

1小时转1大格

1小时转30°

1分钟转0.5°

分针

1小时转12大格

1小时转360°

1分钟转6°

典型例题：

例1、求下午4时，时针与分针之间的夹角。

例2、钟表上2时15分时，时针与分针所形成的锐角的度数是多少？

例3、若时针由2点30分走到2点55分，问时针、分针各转过多大角度？

例4、下午4：

00时，时针和分针的夹角为多少度？

晚上9：

00呢？

从下午4：

00到晚上9：

00时针旋转多少度

总结：

抓住起始和终止两个时刻算出分针走了多少分钟，由上述表格算出时针和分针各转了多少度，再在钟面上比较，求出结果.现举例说明。

知识点三：

角的单位

角的单位有度、分、秒，用°、′、″来表示，角的单位是60进制，与时间单位是类似的。

度、分、秒的换算：

1°=60′，1′=60″。

例1、把下列角化成用度表示的角。

（1）15°24′36″

（2）36°59′96″

例2、按要求填空：

（1）1.45°=__________′=___________″

（2）1800″=________′=___________°

（3）2700″=_________′=__________°．

例3、计算：

（1）16°23′6″+23°18′17″=_____________；

（2）180°-70°40′=_________________；

（3）22°16′×5=____________；

（4）22.24°=___________°___________′___________″

课堂练习

1、计算填空

（1）57.32°=_____度_____分_____秒.

（2）27°14′24″=_____度.

（3）34.37°=_____度_____分_____秒.（4）36°17′42″=_____度.

（5）132°19′42″+26°30′+28″=_____________.

（6）92o3″－55°20′44″=___________；（7）33°15′16″×5=_________

课堂练习

1、

（1）34.37°=_____度_____分_____秒。

（2）36°17′42″=_____度。

（3）62.125°=_____度_____分_____秒。

（4）41°18′36″=_____度。

2、如图，用字母A、B、C表示∠α、∠β，

则∠α_______，∠β=_________

3、小亮利用星期天搞社会调查活动，早晨8：

00出发，

中午12：

30到家，问小亮出发时和到家时时

针和分针的夹角分别为____________度。

4、

（1）57.32°=_____度__

___分_____秒，

（2）27°14′24″=_____度。

5、45°=_____直角=_____平角=____周角.

6、∠α+∠β=90°,且∠α=2∠β,则∠α=___，∠β=____。

7、时钟的时针三小时旋转的角度是_______，

分针三分钟旋转的角度是_______。

9、∠AOB的度数与时钟4：

00整时，时针与分针所

成的角度相同，则∠AOB=___，

∠AOB=_____°

90°－

∠AOB=90°－_______°=___

____。

10、图中，以B为顶点的角有

几个？

把它们表示出来；以

D为顶点的角有几个？

把它们表示出来。

11、两角差是36°，且它们的度数比是3∶2，则这两角的和是多少？

12、请将图中的角用不同方法表示出来，并填写下表：

∠ABE

∠1

∠2

∠3

星期六课后作业：

1、下列关于角的描述正确的是：

（）

A、角的边是两条线段；B、角是由两条射线组成的图形

C、角可以看成一条射线绕着它的端点旋转而成图形；

D、角的大小与边的长短有关

2、如图，∠α的另一种正确的表示方法是：

（）

A、∠1B、∠CC、∠ACBD、∠ABC

3、时钟的分钟走过5分钟的角度是（）

A、300B、130C、120D、50

4、计算：

（1）0.60°等于多少分？

等于多少秒？

（2）65.45°等于几度几分几秒？

（3）75°19'12"等于多少度？

（4）125012'-36048'

5、

（1）由2点15分到2点30分，时钟的分针转过的角度是______度。

（2）3点25分时，时钟的分针转过的角度是______度。

6、如图，OA的方向是北偏东15°，OB的方向是西偏北50度．

（1）若∠AOC=∠AOB，则OC的方向是____________；

（2）OD是OB的反向延长线，OD的方向是____________；

（3）∠BOD可看作是OB绕点O逆时针方向至OD，作∠BOD的平分线OE，OE的方向是_______；

（4）在

（1）、

（2）、（3）的条件下，∠COE=____________．

星期天：

知识点一：

锐角、直角、钝角、平角、周角的概念和大小

（1）平角：

角的两边成一条直线时，这个角叫平角。

（2）周角：

角的一边旋转一周，与另一边重合时，这个角叫周角。

（3）0°<锐角<90°，直角=90°，90°<钝角<180°，平角=180°，周角=360°

例1、0.5周角=平角=直角=度。

例2、一个角是周角的三分之一，它比平角的

多度。

例3、下列各角中是钝角的为（）

A、

周角B、

平角C、

直角D、

直角

例4、下列语句正确的是（　　）

A、平角就是一条直线B、周角就是一条射线

C、小于平角的角是钝角D、一周角等于四个直角

总结：

一个周角=360°，一个平角等于180°，一个直角等于90°，即1周角=2平角=4直角。

锐角是小于90°的角，钝角是大于90°而小于180°的角，它们之间的关系为：

周角

＞平角＞钝角＞直角＞锐角。

知识点二：

角的大小的比较

角的大小即是它们的度数的大小，角的比较与线段的比较方法一样，也有两种：

（1）叠合比较法：

把两个角的顶点重合，其中一边叠合在一起，另一边落在重合一边的

同侧，根据它们的位置关系即可以比较它们的大小。

（2）度量比较法：

用量角器量出两个角的度数，根据度数的大小即可比较它们的大小．

值得注意的是，角的大小与角的边的伸长程度无关，只与开口大小有

关系。

知识点三：

角的平分线定义　　

如果有一条射线，把一个角分成相等的两个角，这条射线叫做这个角的平分线．掌握角的平分线的定义，要与有关的符号表达式联系起来；若OC是∠AOB的平分线，

则

（1）∠AOC=∠BOC；

（2）∠AOB=2∠AOC=2∠BOC，（3）∠AOC=∠BOC=

∠AOB

注意：

角的平分线是一条“射线”，熟悉和掌握这些表达式对今后的推理证明将有很大帮助．

典型例题

例1、如下右图，OM是∠AOB的平分线且∠AOM＝30°，则∠BOM＝______；∠AOB＝______。

例2、如下左图，已知∠AOC=∠BOD=75°，∠BOC=30°，求∠AOD。

例3、如上右图，已知O是直线AB上的点，OD是∠AOC的平分线，OE是∠COB的平分线，

求∠DOE的度数。

例4、如图所示，两块三角板的直角顶点O重叠在一起，且OB恰好平分∠COD，求∠AOD的度

数。

课堂练习：

1、不能用一副三角板拼出的角是（）．

A、120°B、105°C、100°D、75°

2、如图，OC是∠AOB的平分线，OD平分∠AOC，且∠COD＝25°，则∠AOB＝（）．

A、100°B、75°C、50°D、20°

3、如果∠AOB＝34°，∠BOC＝18°，那么∠AOC的度数是（）．

A、52°B、16°C、52°或16°D、52°或18°

4、如图，射线OD是平角∠AOB的平分线，∠COE＝90°，那么下列式子中错误的是（）．

A、∠AOC＝∠DOEB、∠COD＝∠BOE

C、∠AOD＝∠BODD、∠BOE＝∠AOC

5、如图，直线AB、CD相交于点O，∠EOD=∠AOC，OF平分∠AOE，若∠AOC=28°，求∠EOF的

度数。

6、如图，∠AOB=110°，∠COD=70°，OA平分∠EOC，OB平分∠DOF，求∠EOF的大小。

巩固练习

1、如图1所示，能用一个字母表示的角有_____个，以A为顶点的角有_____个，图中所有的

角有_____个。

图1图2图3

2、如图2，∠AOC=∠COD=∠BOD，则OD平分______，OC平分______，

∠AOB=______=______。

3、如图3，把一根小棒OC一端钉在点O，旋转小木棒，使它落在不同的位置上形成不同的角，

其中∠AOC为____，∠AOD为____，∠AOE为____，木棒转到OB时形成的角为____.（回答

钝角、锐角、直角、平角）

4、时间为三点半时，钟表时针和分针所成的角为______，由2点到7点半，时针转过的角度

为______.

5、如图4,∠1=∠2，则∠1+∠3=______.

图4

6、已知五角星的五个顶点在同一圆上，且均分布，五角星的中心是这个圆的圆心，则圆心

与两个相邻顶点的连线，构成的角度为______。

7、如图5,AOB为一直线，OC、OD、OE是射线，则图中大于0°小于180°的角有________个。

图5

8、由_______的_______射线组成的图形叫做角。

9、一条以一个角的_______为_______的射线把这个角分成_______的角，这条射线叫做这个

角的_______。

10、一副三角板的六个角各是_______、_______、_______、_______、_______、_______。

11、一个周角是一个平角的_________倍，一个平角是一个直角的_________倍。

12、根据右图，比较∠AOC、∠BOD、∠BOC、∠COD、∠AOD的大小，它们从小到大排列

为___________。

13、一个角等于它的补角的5倍，那么这个角的补角的余角是（）

A.30°B.60°C.45°D.150°

14、两个锐角的和（）

A.一定是锐角B.一定是钝角C.一定是直角D.以上三种情况都有可能

15、互为补角的两个角度比是3∶2，这两个角是（）

A.108°,72°B.95°，85°C.108°，80°D.110°，70°

16、下列各角中是钝角的为（）

A.

周角B.

平角C.

直角D.

直角

15、如果角α和角β互为余角,角α与角γ互为补角,角β和角γ的和等于周角的

，那么此

三个角分别为（）

A、75°,15°,105°B、60°,30°,120°C、50°,30°,130°D、70°,20°,110°

16、如图6，图形表示的是（）

A.直线B.射线C.平角D.周角

17、船的航向从正北按顺时针方向转到东南方向，它转了（）

A.135°B.225°C.180°D.90°

18、有两个角，它们的比为7∶3，它们的差为72°，则这两个角的关系是（）

A.互为余角B.互为补角C.相等D.以上答案都不对

19、四个角的和是180°，其中有三个角相等，且都是第四个角的

，求这四个角。

20、如图1，∠BDC=_______+_______，∠CDA=_______－_______。

21、如图2，OC⊥AB，OE为∠COB的平分线，∠AOE的度数为_______。

图1图2

星期天课后作业：

1、如图1，∠AOB______∠AOC，∠AOB_______∠BOC（填>,=,<）;用量角器度量∠BOC=____°

∠AOC=______°,∠AOC______∠BOC.

2、如图2，∠AOC=______+______=______-______；∠BOC=______-______=_____-________。

3、OC是∠AOB内部的一条射线，若∠AOC=

________，则OC平分∠AOB；若OC是∠AOB的

角平分线,则_________=2∠AOC。

4、下列说法错误的是（）

A、角的大小与角的边画出部分的长短没有关系；

B、角的大小与它们的度数大小是一致的；

C、角的和差倍分的度数等于它们的度数的和差倍分；

D、若∠A+∠B>∠C,那么∠A一定大于∠C。

5、用一副三角板不能画出（）

A、75°角B、135°角C、160°角D、105°角

6、如图3,若∠AOC=∠BOD,那么∠AOD与∠BOC的关系是（）

A、∠AOD>∠BOCB、∠AOD<∠BOC;C、∠AOD=∠BOCD、无法确定

7、如果∠1-∠2=∠3,且∠4+∠2=∠1,那么∠3和∠4间的关系是（）

A、∠3>∠4B、∠3=∠4;C、∠3<∠4D、不确定

8、OC是从∠AOB的顶点O引出的一条射线,若∠AOB=90°,∠AOB=2∠BOC,求∠AOC的度数。

9、如图,∠AOB是平角,OD、OC、OE是三条射线,OD是∠AOC的平分线,请你补充一个条件,

使∠DOE=90°,并说明你的理由。