一组对边相等一组对角相等的四边形是平行四边形吗.docx
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一组对边相等一组对角相等的四边形是平行四边形吗
一组对边相等一组对角相等的四边形是平行四边形吗
湖北省襄阳市樊城区牛首镇竹条一中 李敬峰 谷兴武
在学习《平行四边形的判定》时，学生遇到这样一道判断题：
一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形。
学生判断这个命题时，通过证明方法证不出来，画图总是受平行四边形思维的制约，请教老师，但是有的年青教师也不能画出准确的反例图形，所以笔者就这个问题，进行了深入的研究。
现归纳几种方法如下：
一、拼图法
笔者研究这个问题时也是从证明开始入手的。
如图1，四边形ABCD中，AB=CD，∠B=∠D，求：
四边形ABCD是不是平行四边形？
分析:
经验告诉我们，遇到四边形问题往往要转化成三角形问题来解决。
所以很自然想到连接AC，分四边形ABCD为两个三角形，如果能够证明△ABC≌△CDA，便可证明四边形ABCD是平行四边形。
可是能够为△ABC和△CDA找到的三个条件：
AB=CD，∠B=∠D，AC公用，满足的却是“两边及其中一边的对角对应相等”的关系（注:
为了简洁，笔者下文将两个三角形符合这样的条件简称“SSA”），不能证明△ABC≌△CDA，所以无法证明四边形ABCD是平行四边形。
但是我们知道判断两个直角三角形全等的方法“HL”满足的是“SSA”条件，所以当∠B=∠D=
时，△ABC≌△CDA，易证四边形ABCD是平行四边形（另外∠B=∠D＞
时也可证△ABC≌△CDA，这个留给读者验证）。
可见，一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形。
在上述证明过程中，笔者联想到人教版八年级（上）数学课本中证明“符合‘SSA’的两个三角形不一定全等”的基本图形（如图2），图2中△ABC与△ABD满足“SSA”的条件。
笔者考虑到：
在向学生讲述文章开头一段的问题时，直接证明有难度，何不把图2中的△ABC与△ABD剪下来，拼接出一个反例图形。
方法如下：
可以采用把一张白纸对折成双层，在上层纸的上面画出如图2的基本图形，并且标上相应的字母，注意画图时尽可能把锐角∠B画大点（∠B＞∠CAD，这样后面更容易拼接成一个凸四边形），然后用剪刀沿△ABD的三边的轮廓剪下，得到两个全等的三角形，把下层的三角形每个角写上与上层的△ABD相对应的字母
（与A点对应）、
（与B点对应）、D，得到
；再把上层的三角形沿线段AC剪开，得到△ABC；最后让学生把各自作得
与△ABC放在一张深色的纸板上拼接成一个符合要求的反例四边形，并且用透明胶带把这个四边形固定在深色纸板上，便于与同学之间互相交流或上讲台展示，教师还可以选部分同学的作品用小磁铁固定在磁性黑板上展示。
通过动手活动，学生积极性高，教学效果明显。
二、间接作图法
思路：
借助于某种具有两个等角和两条等边的图形，使其发生某种变换，构照出“仅有一对对角相等及一对对边相等的四边形”，从而作出反例图形。
学生很容易想到等腰三角形、平行四边形等图形能够提供一对等角和一对等边。
请看下面笔者总结的较为经典的几种方法：
（一）利用等腰三角形构造（如图3）
作法：
①如图3，任意作一等腰△ABC，AB=AC（要求底角∠B、∠C尽可能画大一些，这样后面更容易得到一个凸四边形的反例图形）
②在底边BC上任取一点D，使得BD≠DC（不要取BC的中点，原因留给读者思考）
③由点D作∠2=∠1（如图3），取DE=AC，连接AE。
∵易证△ADC≌△DAE ∴∠E=∠C=∠B，AE=DC 又∵DE=AC=AB，AE=DC≠BD
∴四边形ABDE即为所求的反例图形。
显然，四边形ABDE不是平行四边形
另外，也可以沿着AD把等腰△ABC剪开，再把剪下的两个△ABD和△ADC拼成一个符合要求的反例四边形。
请读者自己动手试试呀（图略）.
再则，作△DAE的方法也多种多样，可作AD的垂直平分线，再作C点关于AD的垂直平分线的对称点E（图略）；或者取AD的垂直平分线交AC于F（图略）,连结DF并延长到E,使EF=CF,则AC=DE；或者分别以A、D为圆心，线段CD、AC为半径画弧（图略），两弧交于点E，连接AE、DE。
不管哪种方法，其目的都是想得到与△ADC具有公共边AD的全等△DAE（如图3）。
（二）利用平行四边形构照
首先声明，由于方法多种多样，笔者下面即将介绍的方法（只包括图4、图5、图6），笔者意向让∠B作为反例图形中一对相等的对角之一，让AB边作为一对相等的对边之一。
1.旋转三角形法
作法：
①如图4、图5,作
ABCD，并且连接AC。
【注意：
当△ABC为锐角三角形时，让∠ACB为唯一的最大锐角，尽可能把∠ACB画得接近
，这样后面更容易得到一个凸四边形的反例图形（如图4）；当△ABC为钝角三角形时，∠ACB为钝角且不要画的度数太大，尽可能地接近
，同样也是为了让后面得到的反例图形是一个凸四边形（如图5）。
】
②将△ACD绕着点A顺时针（如图4）或逆时针旋转（如图5），可以使C点再次落在BC（或BC的延长线）上，记为
点，此时点D旋转到
处（如图4、图5）。
此步中的旋转三角形是启发于图2中摆动短木棒而想到的.
显然，△ADC≌
，这样
=CD=AB，∠
=∠D=∠B，又因
≠BC=AD=
所以四边形
显然不是平行四边形，即为所求的反例图形。
2.剪拼法
另外，对于图4，由于∠ACB为锐角，以A点为圆心，AC的长为半径画弧，必然与BC相交于
（如图4）,显然
=AC，
为等腰三角形，将等腰三角形
剪下，再将
和△ADC拼起来（
与C重合，记为点
），拼成一个四边形
（图略），此时四边形
即为所求反例图形。
3.利用圆周角和等弦知识的方法
再则，也可利用圆周角知识作图，如图6所示，作
ABCD，连接AC（要求△ABC与“旋转三角形法”的作法①中的要求相同），再作△ADC的外接圆⊙O，再以C为圆心，CD的长为半径画弧，与⊙O相交于点E，则四边形ABCE即为所求反例图形。
可以看出，利用此法，图4、图5还有一种作图方法，且都满足∠B作为反例图形中的一对相等的对角之一，AB边作为一对相等的对边之一。
这个留给读者朋友验证。
4.作全等三角形法
作法1：
首先作一个锐角△ABC（如图7，可以把锐角△ABC看成是某平行四边形被对角线分成的两个三角形之一，为了便于理解，读者可以把平行四边形的另一半三角形补上，使∠ABC是一个接近直角的锐角，即让∠ABC略小于
，这样可以等会儿得到反例图形是一个凸四边形），然后以点A为圆心，线段AB长为半径画弧，与BC相交于F点（由于∠ABC是锐角，所以这种作法总是可以实现的）。
好了，现在我们再作△BAE≌△AFC，使BE=AC，AE=CF（如图7），那么在四边形AEBC中，易证∠ACB＝∠E，AE＜BC，又因BE＝AC，所以它满足一组对角相等一组对边相等，但是，它显然不是平行四边形。
作法2：
或者作△FAE≌△ABC（如图8），使EF=AC，AE=BC，显然四边形AEFC也是符合条件的反例图形，且它也不是平行四边形。
其实图7中的四边形AEBC与图8中的四边形AEFC是全等图形，只是作图方法稍微有点区别而已。
事实上，我们可以把它们理解成是由两个符合“SSA”条件且不全等的三角形按照同样的方式拼接而成的全等四边形，只是拼接后的四边形的摆放位置不同。
而且看出，拼接它们的两个符合“SSA”条件三角形都有一个是原△ABC或与原△ABC全等的三角形。
图7、图8中，如果我们以AB为平行四边形的一条对角线把平行四边形补画完整（图略，请读者自己动手），那么读者可以验证一下，图7的画法相当于“利用圆周角和等弦知识的方法”画的一致，图8的画法相当于利用上面介绍的“旋转三角形法”画的一致。
图7、图8中，笔者一再强调∠ABC是锐角△ABC的一个接近直角的锐角，即尽可能略小于
，其目的想让∠ABC成为锐角△ABC最大的锐角，而另外两个锐角∠BAC和∠ACB要较小些。
从而（如图8）造成∠AFE＜∠AFB，使四边形AEFC的内角∠EFC＜
，那么按图8的方法就能做出一个凸四边形的反例图形。
由于图7、图8作出的反例图形是全等的，所以图8的方法能画，图7的方法也一定能画。
决不会出现图7的方法画出来的是凸四边形，图8的方法画出来的是凹四边形的情况。
图7、图8中，都是以∠ABC为锐角△ABC最大的锐角，画出的反例四边形都是以最大的锐角∠ABC所对的最长边AC为一对相等的对边之一，以较小的锐角∠ACB为一对相等的对角之一。
现在我们把图7、图8中锐角△ABC变换位置思考，还是∠ABC为锐角△ABC最大的锐角，能不能按图7、图8介绍的方法画出2个以最大的锐角∠ABC所对的最长边AC为一对相等的对边之一，而以另一个较小的锐角∠BAC为一对相等的对角之一的反例凸四边形呢（图略，留给读者验证）？
答案是肯定的。
这样，仅含有一个最大锐角的锐角三角形可以按上述介绍的“作全等三角形法”能画出4个反例凸四边形。
当两个较小的锐角相等时，4个反例凸四边形全等；当两个较小的锐角不相等时，4个反例凸四边形分成两对不同的分别全等的凸四边形。
当△ABC为钝角三角形时，且令∠ACB＞
（如图5，在此借用一下图5），设∠ACB=α，∠BAC=β，∠ABC=γ（如图9），为了能使反例凸四边形
的内角
＜
，
先求出
=
=
，又因∠CAD=∠ACB=α，所以易求得钝角α满足α＜
时，可以按照图7、图8方法作2个，以钝角∠ACB所对的最长边AB为一对相等的对边之一，以锐角γ（即∠ABC）为一对相等的对角之一的全等的反例凸四边形。
变换位置思考，如果钝角α满足α＜
时，可以按前面介绍的“利用圆周角和等弦知识的方法”和“旋转三角形法”分别作出一个以钝角∠ACB所对的最长边AB为一对相等的对边之一，以锐角β（即∠BAC）为一对相等的对角之一且全等的反例凸四边形。
可见，当锐角β=γ（即锐角∠BAC=∠ABC），这4个反例凸四边形全等，但位置不同。
【结论】那么，到底什么样的平行四边形能构造“一组对边相等，一组对角相等的凸四边形不是平行四边形”的例子呢？
由于平行四边形被一条对角线分成两个全等的三角形，而从上面的研究发现，不管哪一种方法得到反例四边形都是由两个符合“SSA”条件且不全等的三角形拼接而成的，并且这两个不全等的三角形中总有一个是平行四边形的一条对角线分成的三角形或者是与其全等的三角形，所以我们可以把平行四边形问题转化为三角形问题来理解：
平行四边形的两邻边与一条对角线构成什么样的三角形能构造“一组对边相等，一组对角相等的凸四边形不是平行四边形”的例子呢？
如图10、图11，我们令
ABCD的两邻边AB、BC与对角线AC构成△ABC中∠ACB=α，∠BAC=β，∠ABC=γ，那么△ABC必须满足：
①△ABC为锐角三角形时，有且只有一个最大的锐角。
而且对于图10而言，α、β、γ都有可能是最大锐角，最大锐角一旦确定，当另外两个较小的锐角不相等时，共可作出2对以最大锐角所对边为一对相等的对边之一，分别以另外两个较小的锐角为一对相等的对角之一的反例凸四边形，而且每一对的两个反例凸四边形全等；当两个较小的锐角相等时，这4个反例凸四边形全等.
②△ABC为钝角三角形时，如图11，令α是钝角（α也是最大角，提醒读者注意，β、γ都有可能成为钝角），则β、γ为较小的锐角，当α＜
或α＜
这两条件不能同时成立时，能作出一对以钝角所对边为一对相等的对边之一，以较小的锐角γ或β为一对相等的对角之一的反例凸四边形；当α＜
或α＜
这两条件同时成立且β≠γ时，一共能作2对反例凸四边形，而且每一对的两个反例凸四边形全等；当α＜
或α＜
这两条件同时成立且β=γ时，能作4个全等的反例凸四边形。
综合上面的结论①②考虑，图10中，有一个内角是锐角的
ABCD被对角线AC分成一对全等的锐角三角形，被对角线BD分成一对全等的钝角三角形，显然△ABC与△DBC不全等，如果△ABC与△DBC分别符合上面的结论①、②，那么
ABCD通过上述介绍的方法有可能构造出6个或8个符合条件的反例四边形；同样，图11中，
ABCD被对角线AC、BD分别分成一对全等的钝角三角形，显然钝角△ABC与钝角△DBC也不全等，如果△ABC与△DBC同时都符合上面的结论②，那么
ABCD通过上述介绍的方法有可能构造出4个或6个或8个符合条件的反例四边形。
这个问题留给读者验证。
限于篇幅，笔者至此就不一一赘述了。
三、直接作图法
已知:
线段a，锐角α（笔者规定α＜
）
求作凸四边形，使该四边形满足一组对边相等且为a,一组对角相等为α的条件。
作法:
①作∠MBN=α（如图12）；
②在射线BM上截取BA=a；
③过点A作AO⊥BN，垂足为O；
④在射线BN上，O点的两旁分别截取OC=
且使C、
两点靠近O点；
⑤分别以A，C为圆心，线段
，AB为半径画弧，两弧交于点D；（就图12而言，这一步还有一种作法，请读者基于对前面介绍的间接作图法的理解再思考,动动手）
⑥连接线段AD，CD.
∴四边形ABCD即为所求的符合要求的四边形。
由于OC=
是任意截取的，所以作出来的四边形ABCD的形状并不是唯一的。
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