完整版二次函数矩形的存在性问题含答案doc.docx

资源描述

完整版二次函数矩形的存在性问题含答案doc.docx

《完整版二次函数矩形的存在性问题含答案doc.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《完整版二次函数矩形的存在性问题含答案doc.docx（19页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

完整版二次函数矩形的存在性问题含答案doc.docx

完整版二次函数矩形的存在性问题含答案doc

二次函数中矩形的存在性问题

1.（2015

黑龙江省龙东地区

）如图，四边形

OABC是矩形，点A、C在坐标轴上，△ODE是△OCB绕点O顺

时针旋转

90°得到的，点D在x轴上，直线

BD交y轴于点F，交OE于点H，线段BC、OC的长是方程x2

﹣6x+8=0的两个根，且OC＞BC．

（1）求直线BD的解析式；

（2）求△OFH的面积；

（3）点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？

若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

二次函数中矩形的存在性问题

2.（2015重庆市綦江县）如图，抛物线yx22x3与x轴交与A，B两点（点A在点B的左侧），与

y轴交于点C.点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E.

（1）求直线AD的解析式；

（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH的周长的最大值；

（3）点M是抛物线的顶点，点

P是y轴上一点，点

Q是坐标平面内一点，以

A，M，P，Q为顶点的四边形

是AM为边的矩形，若点

T和点Q关于AM所在直线对称，求点

T的坐标.

26题图126题备用图126题备用图2

二次函数中矩形的存在性问题

3.（2016山东省东营市）】．】．在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别是

（0，4）、（﹣1，0），将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′．

（1）若抛物线经过点C、A、A′，求此抛物线的解析式；

（2）点M时第一象限内抛物线上的一动点，问：

当点M在何处时，△AMA′的面积最大？

最大面积是多少？

并求出此时M的坐标；

（3）若P为抛物线上一动点，N为x轴上的一动点，点Q坐标为（1，0），当P、N、B、Q构成平行四边形

时，求点P的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点N的坐标．

二次函数中矩形的存在性问题

4.（2016贵州省毕节地区）如图，已知抛物线y=x2+bx与直线y=2x+4交于A（a，8）、B两点，点P是抛物线上A、B之间的一个动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线与直线AB交于点C和点E．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若C为AB中点，求PC的长；

（3）如图，以PC，PE为边构造矩形PCDE，设点D的坐标为（m，n），请求出m，n之间的关系式．

二次函数中矩形的存在性问题

5.（2013湖南省常德市）如图，已知二次函数的图象过点

（0，－3），（

），对称轴为直线

，

点P是抛物线上的一动点，过点

P分别作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，在四边形

PMON上分别截取

1MP,MD

1OM,OE

1ON,NF

1NP.

（1）求此二次函数的解析式；

（2）求证：

以C，D，E，F为顶点的四边形CDEF是平行四边形；

（3）在抛物线上是否存在这样的点P，使四边形CDEF为矩形？

若存在，请求出所有符合条件的P点坐标；

若不存在，请说明理由.

二次函数中矩形的存在性问题

6．如图所示，抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图所示，直线BC下方的抛物线上有一点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF平行于x轴交直线BC

于点F，求△PEF周长的最大值；

（3）已知点M是抛物线的顶点，点N是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，若点P是抛物线上一点，

且位于抛物线的对称轴右侧，是否存在以P、M、N、Q为顶点且以PM为边的正方形？

若存在，直接写出点

P的横坐标；若不存在，说明理由．

二次函数中矩形的存在性问题

参考答案

1.（2015

黑龙江省龙东地区）如图，四边形

OABC是矩形，点A、C在坐标轴上，△ODE是△OCB绕点O顺

时针旋转

90°得到的，点D在x轴上，直线

BD交y轴于点F，交OE于点H，线段BC、OC的长是方程x2

﹣6x+8=0的两个根，且OC＞BC．

（1）求直线BD的解析式；

（2）求△OFH的面积；

（3）点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点

D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？

若存在，

请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

1.分析：

（1）解方程可求得OC、BC的长，可求得B、D的坐标，

利用待定系数法可求得直线BD的解析式；

（2）可求得E点坐标，求出直线OE的解析式，联立直线BD、OE解析式可求得H点的横坐标，可求得△OFH的面积；

（3）当△MFD为直角三角形时，可找到满足条件的点N，分∠MFD=90°、∠MDF=90°和∠FMD=90°三种情况，

分别求得M点的坐标，可分别求得矩形对角线的交点坐标，再利用中点坐标公式可求得N点坐标．

解答：

解：

（1）解方程x2﹣6x+8=0可得x=2或x=4，∵BC、OC的长是方程x2﹣6x+8=0的两个根，且OC＞BC，

∴BC=2，OC=4，∴B（﹣2，4），∵△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，

∴OD=OC=4，DE=BC=2，∴D（4，0），设直线BD解析式为y=kx+b，

把B、D坐标代入可得，解得，∴直线BD的解析式为y=﹣x+；

（2）由

（1）可知E（4，2），设直线OE解析式为y=mx，

把E点坐标代入可求得m=，

∴直线OE解析式为y=x，令﹣x+=x，

解得x=，∴H点到y轴的距离为，

又由

（1）可得F（0，），∴OF=，∴S△OFH=××=；

（3）∵以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形，∴△DFM为直角三角形，

①当∠MFD=90°时，则M只能在x轴上，连接FN交MD于点G，如图1，

由

（2）可知OF=，OD=4，则有△MOF∽△FOD，

∴=，即=，解得OM=，∴M（﹣，0），且D（4，0），∴G（，0），

设N点坐标为（x，y），则=，=0，解得x=，y=﹣，此时N点坐标为（，﹣）；

②当∠MDF=90°时，则M只能在y轴上，连接DN交MF于点G，如图2，

二次函数中矩形的存在性问题

则有△FOD∽△DOM，

∴=，即=，解得OM=6，

∴M（0，﹣6），且F（0，），

∴MG=MF=，则OG=OM﹣MG=6﹣=，

∴G（0，﹣），

设N点坐标为（x，y），则=0，=﹣，

解得x=﹣4，y=﹣，此时N（﹣4，﹣）；

③当∠FMD=90°时，则可知M点为O点，如图3，

∵四边形MFND为矩形，

∴NF=OD=4，ND=OF=，可求得N（4，）；

综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（，﹣）或（﹣4，﹣）或（4，）．

2.（2015重庆市綦江县）如图，抛物线yx22x3与x轴交与A，B两点（点A在点B的左侧），与

y轴交于点C.点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E.

（1）求直线AD的解析式；

（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH的周长的最大值；

（3）点M是抛物线的顶点，点

P是y轴上一点，点

Q是坐标平面内一点，以

A，M，P，Q为顶点的四边形

是AM为边的矩形，若点

T和点Q关于AM所在直线对称，求点

T的坐标.

26题图1

26题备用图1

26题备用图2

答案解：

⑴AD：

yx1

⑵过点

作

轴的垂线，交直线

于点

，易证△

≌△

FGHFGM

故C△FGHC△FGM

设F（m,

3）

则FM=

2m3（m1）m2

则C=FM

2FM

（12）FM

（12）（m

1）2

992

故最大周长为

9+9

二次函数中矩形的存在性问题

⑶①若AP为对角线

如图，由△PMS∽△MAR可得P（0,

AM的对称点T为（0,

）由点的平移可知

Q（2，）故Q点关于直线

）

②若AQ为对角线

如图，同理可知P

）

故Q点关于直线

AM的对称点T为

（0,

）

由点的平移可知

（2,

（0,）

3.（2016山东省东营市）】．】．在平面直角坐标系中，平行四边形

ABOC如图放置，点

A、C的坐标分别是

（0，4）、（﹣1，0），将此平行四边形绕点

O顺时针旋转90°，得到平行四边形

A′B′OC′．

（1）若抛物线经过点

C、A、A′，求此抛物线的解析式；

（2）点M时第一象限内抛物线上的一动点，问：

当点

M在何处时，

△AMA′的面积最大？

最大面积是多少？

并求出此时

M的坐标；

（3）若P为抛物线上一动点，N为x轴上的一动点，点Q坐标为

（1，0），当P、N、B、Q构成平行四边形时，求点P的坐标，

当这个平行四边形为矩形时，求点N的坐标．

分析

（1）由平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90°，

得到平行四边形A′B′OC′，且点A的坐标是（0，4），

可求得点A′的坐标，然后利用待定系数法即可求得经

过点C、A、A′的抛物线的解析式；

（2）首先连接AA′，设直线AA′的解析式为：

y=kx+b，利用待定系数法即可求得直线AA′的解析式，再设点

M的坐标为：

（x，﹣x2+3x+4），继而可得△AMA′的面积，继而求得答案；

（3）分别从BQ为边与BQ为对角线去分析求解即可求得答案．

解答解：

（1）∵平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′，且点A的坐标是（0，

4），

∴点A′的坐标为：

（4，0），

∵点A、C的坐标分别是（0，4）、（﹣1，0），抛物线经过点C、A、A′，

设抛物线的解析式为：

y=ax2+bx+c，

∴，解得：

，∴此抛物线的解析式为：

y=﹣x2+3x+4；

（2）连接AA′，设直线AA′的解析式为：

y=kx+b，

∴，解得：

，∴直线AA′的解析式为：

y=﹣x+4，

设点M的坐标为：

（x，﹣x2+3x+4），

则S△AMA′=×4×[﹣x2+3x+4﹣（﹣x+4）]=﹣2x2+8x=﹣2（x﹣2）2+8，

∴当x=2时，△AMA′的面积最大，最大值S△AMA′=8，

二次函数中矩形的存在性问题

∴M的坐标为：

（2，6）；

（3）设点P的坐标为（x，﹣x2+3x+4），当P，N，B，Q构成平行四边形时，∵平行四边形ABOC中，点A、C的坐标分别是（0，4）、（﹣1，0），∴点B的坐标为（1，4），

∵点Q坐标为（1，0），P为抛物线上一动点，N为x轴上的一动点，①当BQ为边时，PN∥BQ，PN=BQ，∵BQ=4，∴﹣x2+3x+4=±4，当﹣x2+3x+4=4时，解得：

x1=0，x2=3，∴P1（0，4），P2（3，4）；

当﹣x2+3x+4=﹣4时，解得：

x3=，x2=，

∴P3（，﹣4），P4（，﹣4）；

②当PQ为对角线时，BP∥QN，BP=QN，此时P与P1，P2重合；

综上可得：

点P的坐标为：

P1（0，4），P2（3，4），P3（，﹣4），P4（，﹣4）；

如图2，当这个平行四边形为矩形时，点N的坐标为：

（0，0）或（3，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若C为AB中点，求PC的长；

（3）如图，以PC，PE为边构造矩形PCDE，

设点D的坐标为（m，n），请求出m，n之间的关系式．

分析

（1）把A点坐标代入直线方程可求得a的值，再代入抛物线可求得b的值，

可求得抛物线解析式；

（2）联立抛物线和直线解析式可求得B点坐标，过A作AQ⊥x轴，交x轴于点Q，

可知OC=AQ=4，可求得C点坐标，结合条件可知P点纵坐标，代入抛物线解析式

可求得P点坐标，从而可求得PC的长；

（3）根据矩形的性质可分别用m、n表示出C、P的坐标，根据DE=CP，可得到m、n

的关系式．

解：

（1）∵A（a，8）是抛物线和直线的交点，∴A点在直线上，

∴8=2a+4，解得a=2，∴A点坐标为（2，8），又A点在抛物线上，

∴8=22+2b，解得b=2，∴抛物线解析式为y=x2+2x；

（2）联立抛物线和直线解析式可得，

二次函数中矩形的存在性问题

解得，，

∴B点坐标为（﹣2，0），

如图，过A作AQ⊥x轴，交x轴于点Q，

则AQ=8，OQ=OB=2，即O为BQ的中点，

当C为AB中点时，则OC为△ABQ的中位线，即C点在y轴上，∴OC=AQ=4，∴C点坐标为（0，4），

又PC∥x轴，∴P点纵坐标为4，

∵P点在抛物线线上，

∴4=x2+2x，解得x=﹣1﹣或x=﹣1，

∵P点在A、B之间的抛物线上，∴x=﹣1﹣不合题意，舍去，

∴P点坐标为（﹣1，4），

∴PC=﹣1﹣0=﹣1；

（3）∵D（m，n），且四边形PCDE为矩形，∴C点横坐标为m，E点纵坐标为n，

∵C、E都在直线y=2x+4上，

∴C（m，2m+4），E（，n），

∵PC∥x轴，

∴P点纵坐标为2m+4，

∵P点在抛物线上，

﹣1或x=﹣

﹣1（舍去），

∴2m+4=x+2x，整理可得2m+5=（x+1

），解得x=

∴P点坐标为（

﹣1，2m+4），

∴DE=﹣m，CP=﹣1﹣m，

∵四边形PCDE为矩形，

∴DE=CP，即

﹣m=

﹣1﹣m，

整理可得n﹣4n﹣8m﹣16=0，

即m、n之间的关系式为

n2﹣4n﹣8m﹣16=0．

5.（2013

湖南省常德市）如图，已知二次函数的图象过点

A（0，－3），

B（

），对称轴为直线

，点P是抛物线上的一动点，

过点

分别作

⊥

轴于点

，

⊥

轴于点

，

PMx

MPNy

在四边形PMON上分别截取PC

1MP,MD

1OM,OE

1ON,NF

1NP.

（1）求此二次函数的解析式；

（2）求证：

以C，D，E，F为顶点的四边形CDEF是平行四边形；

（3）在抛物线上是否存在这样的点P，使四边形CDEF为矩形？

若存在，请求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由.

二次函数中矩形的存在性问题

解：

（1）设二次函数的解析式为

3）、对称轴方程分别代入可得：

yaxbxc,

将点

-3

）、B（

（，

33a

3bc，解得

∴此二次函数的解析式为yx2

x3.

（2）证明：

如图连接CD，DE，EF，FC.∵PM⊥x轴，PN⊥y轴，∴四边形OMPN是矩形.∴MP=ON，OM=PN.

又PC

MP,MD

OM,OE

ON,NF

NP,

∴DM

FN,MC

NE∴△CMD

△ENF,同理△ODE△FPC（SAS）,

∴CF=ED，CD=EF.,∴四边形CDEF是平行四边形.

（3）如图，作

CQ⊥y轴于点Q，设P点坐标为

3，

则QN

MP.∴EQ

.∴在Rt△ECQ

CE2

EQ2

CQ2

中，

x2.

QDE2

OD2

OE2

当

⊥

时，

CD2

DM2

CM2

CDDE

1x2

展开阅读全文