完整版二次函数矩形的存在性问题含答案doc.docx
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完整版二次函数矩形的存在性问题含答案doc
二次函数中矩形的存在性问题
1.(2015
黑龙江省龙东地区
)如图,四边形
OABC是矩形,点A、C在坐标轴上,△ODE是△OCB绕点O顺
时针旋转
90°得到的,点D在x轴上,直线
BD交y轴于点F,交OE于点H,线段BC、OC的长是方程x2
﹣6x+8=0的两个根,且OC>BC.
(1)求直线BD的解析式;
(2)求△OFH的面积;
(3)点M在坐标轴上,平面内是否存在点N,使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形?
若存在,请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
1
二次函数中矩形的存在性问题
2.(2015重庆市綦江县)如图,抛物线yx22x3与x轴交与A,B两点(点A在点B的左侧),与
y轴交于点C.点D和点C关于抛物线的对称轴对称,直线AD与y轴相交于点E.
(1)求直线AD的解析式;
(2)如图1,直线AD上方的抛物线上有一点F,过点F作FG⊥AD于点G,作FH平行于x轴交直线AD于点H,求△FGH的周长的最大值;
(3)点M是抛物线的顶点,点
P是y轴上一点,点
Q是坐标平面内一点,以
A,M,P,Q为顶点的四边形
是AM为边的矩形,若点
T和点Q关于AM所在直线对称,求点
T的坐标.
y
y
M
y
M
C
D
C
C
F
H
E
G
A
B
A
A
B
O
x
O
x
O
x
26题图126题备用图126题备用图2
2
二次函数中矩形的存在性问题
3.(2016山东省东营市)】.】.在平面直角坐标系中,平行四边形ABOC如图放置,点A、C的坐标分别是
(0,4)、(﹣1,0),将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°,得到平行四边形A′B′OC′.
(1)若抛物线经过点C、A、A′,求此抛物线的解析式;
(2)点M时第一象限内抛物线上的一动点,问:
当点M在何处时,△AMA′的面积最大?
最大面积是多少?
并求出此时M的坐标;
(3)若P为抛物线上一动点,N为x轴上的一动点,点Q坐标为(1,0),当P、N、B、Q构成平行四边形
时,求点P的坐标,当这个平行四边形为矩形时,求点N的坐标.
3
二次函数中矩形的存在性问题
4.(2016贵州省毕节地区)如图,已知抛物线y=x2+bx与直线y=2x+4交于A(a,8)、B两点,点P是抛物线上A、B之间的一个动点,过点P分别作x轴、y轴的平行线与直线AB交于点C和点E.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若C为AB中点,求PC的长;
(3)如图,以PC,PE为边构造矩形PCDE,设点D的坐标为(m,n),请求出m,n之间的关系式.
4
二次函数中矩形的存在性问题
5.(2013湖南省常德市)如图,已知二次函数的图象过点
(0,-3),(
3,
3
),对称轴为直线
x
1
A
B
,
2
点P是抛物线上的一动点,过点
P分别作PM⊥x轴于点M,PN⊥y轴于点N,在四边形
PMON上分别截取
PC
1MP,MD
1OM,OE
1ON,NF
1NP.
3
3
3
3
(1)求此二次函数的解析式;
(2)求证:
以C,D,E,F为顶点的四边形CDEF是平行四边形;
(3)在抛物线上是否存在这样的点P,使四边形CDEF为矩形?
若存在,请求出所有符合条件的P点坐标;
若不存在,请说明理由.
5
二次函数中矩形的存在性问题
6.如图所示,抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图所示,直线BC下方的抛物线上有一点P,过点P作PE⊥BC于点E,作PF平行于x轴交直线BC
于点F,求△PEF周长的最大值;
(3)已知点M是抛物线的顶点,点N是y轴上一点,点Q是坐标平面内一点,若点P是抛物线上一点,
且位于抛物线的对称轴右侧,是否存在以P、M、N、Q为顶点且以PM为边的正方形?
若存在,直接写出点
P的横坐标;若不存在,说明理由.
6
二次函数中矩形的存在性问题
参考答案
1.(2015
黑龙江省龙东地区)如图,四边形
OABC是矩形,点A、C在坐标轴上,△ODE是△OCB绕点O顺
时针旋转
90°得到的,点D在x轴上,直线
BD交y轴于点F,交OE于点H,线段BC、OC的长是方程x2
﹣6x+8=0的两个根,且OC>BC.
(1)求直线BD的解析式;
(2)求△OFH的面积;
(3)点M在坐标轴上,平面内是否存在点N,使以点
D、F、M、N为顶点的四边形是矩形?
若存在,
请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
1.分析:
(1)解方程可求得OC、BC的长,可求得B、D的坐标,
利用待定系数法可求得直线BD的解析式;
(2)可求得E点坐标,求出直线OE的解析式,联立直线BD、OE解析式可求得H点的横坐标,可求得△OFH的面积;
(3)当△MFD为直角三角形时,可找到满足条件的点N,分∠MFD=90°、∠MDF=90°和∠FMD=90°三种情况,
分别求得M点的坐标,可分别求得矩形对角线的交点坐标,再利用中点坐标公式可求得N点坐标.
解答:
解:
(1)解方程x2﹣6x+8=0可得x=2或x=4,∵BC、OC的长是方程x2﹣6x+8=0的两个根,且OC>BC,
∴BC=2,OC=4,∴B(﹣2,4),∵△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的,
∴OD=OC=4,DE=BC=2,∴D(4,0),设直线BD解析式为y=kx+b,
把B、D坐标代入可得,解得,∴直线BD的解析式为y=﹣x+;
(2)由
(1)可知E(4,2),设直线OE解析式为y=mx,
把E点坐标代入可求得m=,
∴直线OE解析式为y=x,令﹣x+=x,
解得x=,∴H点到y轴的距离为,
又由
(1)可得F(0,),∴OF=,∴S△OFH=××=;
(3)∵以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形,∴△DFM为直角三角形,
①当∠MFD=90°时,则M只能在x轴上,连接FN交MD于点G,如图1,
由
(2)可知OF=,OD=4,则有△MOF∽△FOD,
∴=,即=,解得OM=,∴M(﹣,0),且D(4,0),∴G(,0),
设N点坐标为(x,y),则=,=0,解得x=,y=﹣,此时N点坐标为(,﹣);
②当∠MDF=90°时,则M只能在y轴上,连接DN交MF于点G,如图2,
7
二次函数中矩形的存在性问题
则有△FOD∽△DOM,
∴=,即=,解得OM=6,
∴M(0,﹣6),且F(0,),
∴MG=MF=,则OG=OM﹣MG=6﹣=,
∴G(0,﹣),
设N点坐标为(x,y),则=0,=﹣,
解得x=﹣4,y=﹣,此时N(﹣4,﹣);
③当∠FMD=90°时,则可知M点为O点,如图3,
∵四边形MFND为矩形,
∴NF=OD=4,ND=OF=,可求得N(4,);
综上可知存在满足条件的N点,其坐标为(,﹣)或(﹣4,﹣)或(4,).
2.(2015重庆市綦江县)如图,抛物线yx22x3与x轴交与A,B两点(点A在点B的左侧),与
y轴交于点C.点D和点C关于抛物线的对称轴对称,直线AD与y轴相交于点E.
(1)求直线AD的解析式;
(2)如图1,直线AD上方的抛物线上有一点F,过点F作FG⊥AD于点G,作FH平行于x轴交直线AD于点H,求△FGH的周长的最大值;
(3)点M是抛物线的顶点,点
P是y轴上一点,点
Q是坐标平面内一点,以
A,M,P,Q为顶点的四边形
是AM为边的矩形,若点
T和点Q关于AM所在直线对称,求点
T的坐标.
y
yM
yM
C
D
C
C
F
H
E
G
A
B
A
A
B
O
x
O
x
O
x
26题图1
26题备用图1
26题备用图2
答案解:
⑴AD:
yx1
⑵过点
F
作
x
轴的垂线,交直线
AD
于点
,易证△
≌△
M
FGHFGM
故C△FGHC△FGM
设F(m,
m2
2m
3)
则FM=
m2
2m3(m1)m2
m2
则C=FM
2FM
(12)FM
(12)(m
1)2
992
2
2
4
故最大周长为
9+9
2
4
8
二次函数中矩形的存在性问题
⑶①若AP为对角线
如图,由△PMS∽△MAR可得P(0,
9
1
AM的对称点T为(0,
1
)由点的平移可知
Q(2,)故Q点关于直线
)
2
2
2
②若AQ为对角线
如图,同理可知P
1
7
)
故Q点关于直线
AM的对称点T为
9
(0,
)
由点的平移可知
(2,
(0,)
2
Q
2
2
3.(2016山东省东营市)】.】.在平面直角坐标系中,平行四边形
ABOC如图放置,点
A、C的坐标分别是
(0,4)、(﹣1,0),将此平行四边形绕点
O顺时针旋转90°,得到平行四边形
A′B′OC′.
(1)若抛物线经过点
C、A、A′,求此抛物线的解析式;
(2)点M时第一象限内抛物线上的一动点,问:
当点
M在何处时,
△AMA′的面积最大?
最大面积是多少?
并求出此时
M的坐标;
(3)若P为抛物线上一动点,N为x轴上的一动点,点Q坐标为
(1,0),当P、N、B、Q构成平行四边形时,求点P的坐标,
当这个平行四边形为矩形时,求点N的坐标.
分析
(1)由平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90°,
得到平行四边形A′B′OC′,且点A的坐标是(0,4),
可求得点A′的坐标,然后利用待定系数法即可求得经
过点C、A、A′的抛物线的解析式;
(2)首先连接AA′,设直线AA′的解析式为:
y=kx+b,利用待定系数法即可求得直线AA′的解析式,再设点
M的坐标为:
(x,﹣x2+3x+4),继而可得△AMA′的面积,继而求得答案;
(3)分别从BQ为边与BQ为对角线去分析求解即可求得答案.
解答解:
(1)∵平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90°,得到平行四边形A′B′OC′,且点A的坐标是(0,
4),
∴点A′的坐标为:
(4,0),
∵点A、C的坐标分别是(0,4)、(﹣1,0),抛物线经过点C、A、A′,
设抛物线的解析式为:
y=ax2+bx+c,
∴,解得:
,∴此抛物线的解析式为:
y=﹣x2+3x+4;
(2)连接AA′,设直线AA′的解析式为:
y=kx+b,
∴,解得:
,∴直线AA′的解析式为:
y=﹣x+4,
设点M的坐标为:
(x,﹣x2+3x+4),
则S△AMA′=×4×[﹣x2+3x+4﹣(﹣x+4)]=﹣2x2+8x=﹣2(x﹣2)2+8,
∴当x=2时,△AMA′的面积最大,最大值S△AMA′=8,
9
二次函数中矩形的存在性问题
∴M的坐标为:
(2,6);
(3)设点P的坐标为(x,﹣x2+3x+4),当P,N,B,Q构成平行四边形时,∵平行四边形ABOC中,点A、C的坐标分别是(0,4)、(﹣1,0),∴点B的坐标为(1,4),
∵点Q坐标为(1,0),P为抛物线上一动点,N为x轴上的一动点,①当BQ为边时,PN∥BQ,PN=BQ,∵BQ=4,∴﹣x2+3x+4=±4,当﹣x2+3x+4=4时,解得:
x1=0,x2=3,∴P1(0,4),P2(3,4);
当﹣x2+3x+4=﹣4时,解得:
x3=,x2=,
∴P3(,﹣4),P4(,﹣4);
②当PQ为对角线时,BP∥QN,BP=QN,此时P与P1,P2重合;
综上可得:
点P的坐标为:
P1(0,4),P2(3,4),P3(,﹣4),P4(,﹣4);
如图2,当这个平行四边形为矩形时,点N的坐标为:
(0,0)或(3,0).
4.(2016贵州省毕节地区)如图,已知抛物线y=x2+bx与直线y=2x+4交于A(a,8)、B两点,点P是抛物线上A、B之间的一个动点,过点P分别作x轴、y轴的平行线与直线AB交于点C和点E.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若C为AB中点,求PC的长;
(3)如图,以PC,PE为边构造矩形PCDE,
设点D的坐标为(m,n),请求出m,n之间的关系式.
分析
(1)把A点坐标代入直线方程可求得a的值,再代入抛物线可求得b的值,
可求得抛物线解析式;
(2)联立抛物线和直线解析式可求得B点坐标,过A作AQ⊥x轴,交x轴于点Q,
可知OC=AQ=4,可求得C点坐标,结合条件可知P点纵坐标,代入抛物线解析式
可求得P点坐标,从而可求得PC的长;
(3)根据矩形的性质可分别用m、n表示出C、P的坐标,根据DE=CP,可得到m、n
的关系式.
解:
(1)∵A(a,8)是抛物线和直线的交点,∴A点在直线上,
∴8=2a+4,解得a=2,∴A点坐标为(2,8),又A点在抛物线上,
∴8=22+2b,解得b=2,∴抛物线解析式为y=x2+2x;
(2)联立抛物线和直线解析式可得,
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二次函数中矩形的存在性问题
解得,,
∴B点坐标为(﹣2,0),
如图,过A作AQ⊥x轴,交x轴于点Q,
则AQ=8,OQ=OB=2,即O为BQ的中点,
当C为AB中点时,则OC为△ABQ的中位线,即C点在y轴上,∴OC=AQ=4,∴C点坐标为(0,4),
又PC∥x轴,∴P点纵坐标为4,
∵P点在抛物线线上,
∴4=x2+2x,解得x=﹣1﹣或x=﹣1,
∵P点在A、B之间的抛物线上,∴x=﹣1﹣不合题意,舍去,
∴P点坐标为(﹣1,4),
∴PC=﹣1﹣0=﹣1;
(3)∵D(m,n),且四边形PCDE为矩形,∴C点横坐标为m,E点纵坐标为n,
∵C、E都在直线y=2x+4上,
∴C(m,2m+4),E(,n),
∵PC∥x轴,
∴P点纵坐标为2m+4,
∵P点在抛物线上,
2
2
﹣1或x=﹣
﹣1(舍去),
∴2m+4=x+2x,整理可得2m+5=(x+1
),解得x=
∴P点坐标为(
﹣1,2m+4),
∴DE=﹣m,CP=﹣1﹣m,
∵四边形PCDE为矩形,
∴DE=CP,即
﹣m=
﹣1﹣m,
2
整理可得n﹣4n﹣8m﹣16=0,
即m、n之间的关系式为
n2﹣4n﹣8m﹣16=0.
5.(2013
湖南省常德市)如图,已知二次函数的图象过点
A(0,-3),
B(
3,
3
),对称轴为直线
x
1
,点P是抛物线上的一动点,
2
P
过点
分别作
⊥
轴于点
,
⊥
轴于点
,
PMx
MPNy
N
在四边形PMON上分别截取PC
1MP,MD
1OM,OE
1ON,NF
1NP.
3
3
3
3
(1)求此二次函数的解析式;
(2)求证:
以C,D,E,F为顶点的四边形CDEF是平行四边形;
(3)在抛物线上是否存在这样的点P,使四边形CDEF为矩形?
若存在,请求出所有符合条件的P点坐标;若不存在,请说明理由.
11
二次函数中矩形的存在性问题
解:
(1)设二次函数的解析式为
2
3,
3)、对称轴方程分别代入可得:
yaxbxc,
将点
A0
-3
)、B(
(,
3
c,
a
1,
33a
3bc,解得
a
1,
∴此二次函数的解析式为yx2
x3.
b
1.
b
3.
2a
2
(2)证明:
如图连接CD,DE,EF,FC.∵PM⊥x轴,PN⊥y轴,∴四边形OMPN是矩形.∴MP=ON,OM=PN.
又PC
1
1
1
1
MP,MD
OM,OE
ON,NF
NP,
3
3
3
3
∴DM
FN,MC
NE∴△CMD
△ENF,同理△ODE△FPC(SAS),
∴CF=ED,CD=EF.,∴四边形CDEF是平行四边形.
(3)如图,作
CQ⊥y轴于点Q,设P点坐标为
x,
x2
x
3,
则QN
PC
OE
1
MP.∴EQ
1
x2
x
3
.∴在Rt△ECQ
3
3
CE2
EQ2
CQ2
中,
1
x2
x
2
x2.
3
9
QDE2
OD2
OE2
2x
2
1
2
x2
x
3
4
3
1
3
2
2
2
x
9
x
x
3
9
当
⊥
时,
CD2
DM2
CM2
CDDE
1x2
4
2
x2
x
3