完整版二次函数矩形的存在性问题含答案doc.docx

1、完整版二次函数矩形的存在性问题含答案doc二次函数中矩形的存在性问题1. (2015黑龙江省龙东地区) 如图，四边形OABC是矩形，点 A、 C在坐标轴上， ODE是 OCB绕点 O顺时针旋转90得到的，点 D在 x 轴上，直线BD交 y 轴于点 F，交 OE于点 H，线段 BC、 OC的长是方程 x26x+8=0 的两个根，且 OCBC（ 1）求直线 BD的解析式；（ 2）求 OFH的面积；（ 3）点 M在坐标轴上，平面内是否存在点 N，使以点 D、F、 M、 N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点 N的坐标；若不存在，请说明理由1二次函数中矩形的存在性问题2. (2015 重庆市綦江

2、县 ) 如图，抛物线 y x2 2x 3 与 x 轴交与 A， B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与y 轴交于点 C. 点 D和点 C关于抛物线的对称轴对称，直线 AD与 y 轴相交于点 E.（1）求直线 AD的解析式；（2）如图 1，直线 AD上方的抛物线上有一点 F，过点 F 作 FG AD于点 G，作 FH平行于 x 轴交直线 AD于点 H，求 FGH的周长的最大值；（ 3）点 M是抛物线的顶点，点P 是 y 轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A， M，P， Q为顶点的四边形是 AM为边的矩形，若点T 和点 Q关于 AM所在直线对称，求点T 的坐标 .yyMyMCDCCFHEGABA

3、ABOxOxOx26题图 1 26题备用图 1 26题备用图 22二次函数中矩形的存在性问题3. (2016 山东省东营市 ) 】在平面直角坐标系中，平行四边形 ABOC如图放置，点 A、 C的坐标分别是（ 0， 4）、（ 1， 0），将此平行四边形绕点 O顺时针旋转 90，得到平行四边形 AB OC（ 1）若抛物线经过点 C、 A、A，求此抛物线的解析式；（ 2）点 M时第一象限内抛物线上的一动点， 问：当点 M在何处时， AMA的面积最大？最大面积是多少？并求出此时 M的坐标；（ 3）若 P 为抛物线上一动点， N 为 x 轴上的一动点，点 Q坐标为（ 1，0），当 P、 N、 B、Q构成

4、平行四边形时，求点 P的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点 N 的坐标3二次函数中矩形的存在性问题4. (2016 贵州省毕节地区 ) 如图，已知抛物线 y=x 2+bx 与直线 y=2x+4 交于 A（ a， 8）、 B 两点，点 P 是抛物线上 A、B 之间的一个动点，过点 P 分别作 x 轴、 y 轴的平行线与直线 AB交于点 C和点 E（1）求抛物线的解析式；（2）若 C为 AB 中点，求 PC的长；（3）如图，以 PC，PE为边构造矩形 PCDE，设点 D 的坐标为（ m， n），请求出 m， n 之间的关系式4二次函数中矩形的存在性问题5. (2013 湖南省常德市 ) 如图，已

5、知二次函数的图象过点(0 ， 3) ，（3,3），对称轴为直线x1AB，2点 P 是抛物线上的一动点，过点P 分别作 PM x 轴于点 M， PN y 轴于点 N，在四边形PMON上分别截取PC1 MP , MD1 OM ,OE1 ON , NF1 NP.3333（1）求此二次函数的解析式；（2）求证：以 C， D， E， F为顶点的四边形 CDEF是平行四边形；（ 3）在抛物线上是否存在这样的点 P，使四边形 CDEF为矩形？若存在，请求出所有符合条件的 P 点坐标；若不存在，请说明理由 .5二次函数中矩形的存在性问题6如图所示，抛物线 y=ax 2+bx 3 与 x 轴交于 A（ 1， 0

6、），B（ 3， 0）两点，与 y 轴交于点 C（ 1）求抛物线的解析式；（ 2）如图所示，直线 BC下方的抛物线上有一点 P，过点 P 作 PE BC于点 E，作 PF 平行于 x 轴交直线 BC于点 F，求 PEF周长的最大值；（ 3）已知点 M是抛物线的顶点，点 N 是 y 轴上一点，点 Q是坐标平面内一点，若点 P 是抛物线上一点，且位于抛物线的对称轴右侧，是否存在以 P、M、N、 Q为顶点且以 PM为边的正方形？若存在，直接写出点P 的横坐标；若不存在，说明理由6二次函数中矩形的存在性问题参考答案1. (2015黑龙江省龙东地区 ) 如图，四边形OABC是矩形，点 A、 C在坐标轴上，

7、 ODE是 OCB绕点 O顺时针旋转90得到的，点 D在 x 轴上，直线BD交 y 轴于点 F，交 OE于点 H，线段 BC、 OC的长是方程 x26x+8=0 的两个根，且 OCBC（ 1）求直线 BD的解析式；（ 2）求 OFH的面积；（ 3）点 M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点D、 F、 M、N 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由1.分析： （ 1）解方程可求得 OC、 BC的长，可求得 B、 D 的坐标，利用待定系数法可求得直线BD的解析式；（ 2）可求得 E 点坐标，求出直线 OE的解析式，联立直线 BD、OE解析式可求得 H点的横坐

8、标，可求得 OFH的面积；（ 3）当 MFD为直角三角形时，可找到满足条件的点 N，分 MFD=90、 MDF=90和 FMD=90三种情况，分别求得 M点的坐标，可分别求得矩形对角线的交点坐标，再利用中点坐标公式可求得 N 点坐标解答： 解：（ 1）解方程 x2 6x+8=0 可得 x=2 或 x=4， BC、 OC的长是方程 x2 6x+8=0 的两个根，且 OC BC，BC=2， OC=4， B（ 2，4）， ODE是 OCB绕点 O顺时针旋转 90得到的，OD=OC=4， DE=BC=2， D（ 4， 0），设直线 BD解析式为 y=kx+b ，把 B、 D坐标代入可得 ，解得 ，直线

9、 BD的解析式为 y= x+ ；（ 2）由（ 1）可知 E（ 4， 2），设直线 OE解析式为 y=mx，把 E 点坐标代入可求得 m= ，直线 OE解析式为 y= x ，令 x+ = x ，解得 x= ， H 点到 y 轴的距离为 ，又由（ 1）可得 F（ 0， ）， OF= ， S OFH= = ；（3）以点 D、 F、 M、 N 为顶点的四边形是矩形， DFM为直角三角形，当 MFD=90时，则 M只能在 x 轴上，连接 FN交 MD于点 G，如图 1，由（ 2）可知 OF= ，OD=4，则有 MOF FOD， = ，即 = ，解得 OM= ， M（ ， 0），且 D（ 4， 0）， G

10、（ ， 0），设 N 点坐标为（ x ， y），则 = ， =0，解得 x= ， y= ，此时 N点坐标为（ ， ）；当 MDF=90时，则 M只能在 y 轴上，连接 DN交 MF于点 G，如图 2，7二次函数中矩形的存在性问题则有 FOD DOM， = ，即 = ，解得 OM=6， M（ 0， 6），且 F（ 0， ）， MG= MF= ，则 OG=OM MG=6 = ， G（ 0， ），设 N 点坐标为（ x ， y），则 =0， = ，解得 x= 4， y= ，此时 N（ 4， ）；当 FMD=90时，则可知 M点为 O 点，如图 3，四边形 MFND为矩形，NF=OD=4， ND=OF

11、= ，可求得 N（ 4， ）；综上可知存在满足条件的 N 点，其坐标为（ ， ）或（ 4， ）或（ 4， ）2. (2015 重庆市綦江县 ) 如图，抛物线 y x2 2x 3 与 x 轴交与 A， B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与y 轴交于点 C. 点 D和点 C关于抛物线的对称轴对称，直线 AD与 y 轴相交于点 E.（1）求直线 AD的解析式；（2）如图 1，直线 AD上方的抛物线上有一点 F，过点 F 作 FG AD于点 G，作 FH平行于 x 轴交直线 AD于点 H，求 FGH的周长的最大值；（ 3）点 M是抛物线的顶点，点P 是 y 轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，

12、M，P， Q为顶点的四边形是 AM为边的矩形，若点T 和点 Q关于 AM所在直线对称，求点T 的坐标 .yy My MCDCCFHEGABAABOxOxOx26题图 126题备用图 126题备用图 2答案解： AD： y x 1过点F作x轴的垂线，交直线AD于点，易证MFGH FGM故C FGH C FGM设 F (m,m22m3)则 FM=m22m 3 (m 1) m2m 2则 C=FM2 FM(1 2) FM(1 2)( m1 )29 9 2224故最大周长为9+9248二次函数中矩形的存在性问题若 AP 为对角线如图，由 PMS MAR可得 P(0,91AM的对称点 T 为 (0,1)

13、由点的平移可知Q( 2， ) 故 Q点关于直线)222若 AQ为对角线如图，同理可知 P17)故 Q点关于直线AM的对称点 T 为9(0,)由点的平移可知(2,(0, )2Q223. (2016 山东省东营市 ) 】在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、 C的坐标分别是（ 0， 4）、（ 1， 0），将此平行四边形绕点O顺时针旋转 90，得到平行四边形AB OC（ 1）若抛物线经过点C、 A、A，求此抛物线的解析式；（ 2）点 M时第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M在何处时， AMA的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标；（ 3）若 P 为抛物线上一动点， N 为

14、x 轴上的一动点，点 Q坐标为（1， 0），当 P、 N、B、 Q构成平行四边形时，求点 P 的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点N 的坐标分析 （ 1）由平行四边形 ABOC绕点 O 顺时针旋转 90，得到平行四边形 A B OC，且点 A 的坐标是（ 0， 4），可求得点 A的坐标，然后利用待定系数法即可求得经过点 C、 A、 A的抛物线的解析式；（ 2）首先连接 AA，设直线 AA的解析式为： y=kx+b ，利用待定系数法即可求得直线 AA的解析式，再设点M的坐标为：（ x ， x2+3x+4），继而可得 AMA的面积，继而求得答案；（ 3）分别从 BQ为边与 BQ为对角线去分析求解

15、即可求得答案解答 解：（ 1）平行四边形 ABOC绕点 O顺时针旋转 90，得到平行四边形 A B OC，且点 A 的坐标是（ 0，4），点 A的坐标为： （ 4， 0），点 A、 C 的坐标分别是（ 0， 4）、（ 1， 0） ，抛物线经过点 C、 A、 A，设抛物线的解析式为： y=ax 2+bx+c ， ，解得： ，此抛物线的解析式为： y= x2+3x+4 ；（ 2）连接 AA，设直线 AA的解析式为： y=kx+b ， ，解得： ，直线 AA的解析式为： y= x+4，设点 M的坐标为：（ x， x2 +3x+4），则SAMA= 4 x2+3x+4 （ x+4 ） = 2x2 +8x

16、= 2（x 2） 2+8，当 x=2 时， AMA的面积最大，最大值 S AMA =8，9二次函数中矩形的存在性问题 M的坐标为：（ 2， 6）；（3）设点 P 的坐标为（ x， x2 +3x+4），当 P， N，B， Q构成平行四边形时，平行四边形 ABOC中，点 A、 C 的坐标分别是（ 0， 4）、（ 1， 0），点 B 的坐标为（ 1， 4），点 Q坐标为（ 1， 0）， P 为抛物线上一动点， N 为 x 轴上的一动点，当 BQ为边时， PN BQ， PN=BQ， BQ=4， x2+3x+4= 4，当 x2 +3x+4=4 时，解得： x1=0， x 2=3， P1（ 0，4）， P

17、2（3， 4）；当 x2 +3x+4= 4 时，解得： x3= ， x2 = ， P3 （ ， 4）， P4（ ， 4）；当 PQ为对角线时， BP QN， BP=QN，此时 P 与 P1 ， P2 重合；综上可得：点 P 的坐标为： P1 （ 0， 4）， P2（3， 4）， P3（ ， 4）， P4（ ， 4）；如图 2，当这个平行四边形为矩形时，点 N 的坐标为：（ 0， 0）或（ 3， 0）4. (2016 贵州省毕节地区 ) 如图，已知抛物线 y=x 2+bx 与直线 y=2x+4 交于 A（ a， 8）、 B 两点，点 P 是抛物线上 A、B 之间的一个动点，过点 P 分别作 x

18、轴、 y 轴的平行线与直线 AB交于点 C和点 E（1）求抛物线的解析式；（2）若 C为 AB 中点，求 PC的长；（3）如图，以 PC，PE为边构造矩形 PCDE，设点 D 的坐标为（ m， n），请求出 m，n 之间的关系式分析 （ 1）把 A 点坐标代入直线方程可求得 a 的值，再代入抛物线可求得 b 的值，可求得抛物线解析式；（2）联立抛物线和直线解析式可求得B 点坐标，过 A 作 AQ x 轴，交 x 轴于点 Q，可知 OC= AQ=4，可求得 C点坐标，结合条件可知P 点纵坐标，代入抛物线解析式可求得 P 点坐标，从而可求得 PC的长；（ 3）根据矩形的性质可分别用 m、n 表示出

19、 C、P 的坐标，根据 DE=CP，可得到 m、n的关系式解：（ 1） A（ a， 8）是抛物线和直线的交点， A 点在直线上，8=2a+4 ，解得 a=2， A 点坐标为（ 2， 8），又 A 点在抛物线上，8=22 +2b，解得 b=2，抛物线解析式为 y=x 2 +2x；（ 2）联立抛物线和直线解析式可得 ，10二次函数中矩形的存在性问题解得 ， ， B 点坐标为（ 2， 0），如图，过 A 作 AQ x 轴，交 x 轴于点 Q，则AQ=8， OQ=OB=2，即 O为 BQ的中点，当C 为 AB 中点时，则 OC为 ABQ的中位线，即 C 点在 y 轴上， OC= AQ=4， C 点坐标

20、为（ 0， 4），又 PC x 轴， P 点纵坐标为 4， P 点在抛物线线上， 4=x2 +2x，解得 x= 1 或 x= 1，P 点在 A、 B 之间的抛物线上， x= 1 不合题意，舍去， P 点坐标为（ 1， 4）， PC= 1 0= 1；（3） D（ m， n），且四边形 PCDE为矩形， C 点横坐标为 m， E 点纵坐标为 n， C、 E 都在直线 y=2x+4 上， C（ m， 2m+4）， E（ ， n），PCx 轴， P 点纵坐标为 2m+4， P 点在抛物线上，22 1 或 x= 1（舍去）， 2m+4=x +2x ，整理可得 2m+5=（ x+1） ，解得 x= P 点

21、坐标为（ 1， 2m+4），DE= m， CP= 1 m，四边形 PCDE为矩形， DE=CP，即 m= 1 m，2整理可得 n 4n 8m 16=0，即 m、 n 之间的关系式为n2 4n 8m 16=05. (2013湖南省常德市 ) 如图，已知二次函数的图象过点A(0 ， 3) ，B（3,3），对称轴为直线x1，点 P是抛物线上的一动点，2P过点分别作轴于点，轴于点，PM xM PN yN在四边形 PMON上分别截取 PC1 MP , MD1 OM ,OE1ON , NF1 NP.3333（1）求此二次函数的解析式；（2）求证：以 C， D， E， F为顶点的四边形 CDEF是平行四边形

22、；（3）在抛物线上是否存在这样的点P，使四边形 CDEF为矩形？若存在，请求出所有符合条件的P 点坐标；若不存在，请说明理由 .11二次函数中矩形的存在性问题解：（ 1）设二次函数的解析式为23,3 ）、对称轴方程分别代入可得：y ax bx c ,将点A 0-3）、B（ ，3c,a1,3 3a3b c ，解得a1,此二次函数的解析式为 y x2x 3 .b1 .b3.2a2（2）证明：如图连接 CD， DE， EF， FC.PM x 轴， PNy 轴，四边形 OMPN是矩形 . MP=ON， OM=PN.又 PC1111MP , MDOM ,OEON , NFNP,3333 DMFN , MCNE CMDENF, 同理 ODE FPC(SAS),CF=ED， CD=EF., 四边形 CDEF是平行四边形 .（ 3）如图，作CQ y 轴于点 Q，设 P点坐标为x,x2x3 ，则 QNPCOE1MP . EQ1x2x3. 在 Rt ECQ33CE 2EQ2CQ 2中，1x2x2x2 .39Q DE 2OD 2OE22 x212x2x34313222x9xx3,9当时，CD2DM 2CM 2CD DE1 x242x2x3,