完整版第十三章精编轴对称知识点归纳并练习.docx
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完整版第十三章精编轴对称知识点归纳并练习
第十三章（精编）轴对称
《轴对称、线段垂直平分线、、等腰三角形、等边三角形》
轴对称图形
如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，？
这个图形就叫做轴对
称图形，这条直线就是它的对称轴.有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条
对称轴.
轴对称
有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，？
那么就说这两个图形
关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.两个
图形关于直线对称也叫做轴对称.
图形轴对称的性质
如果两个图形成轴对称，？
那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称
图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤：
找到关键点，画出关键点的对应点，按照原
图顺序依次连接各点。
轴对称与轴对称图形的区别
轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，？
成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图
形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是
全等形，并且成轴对称.
考点一、关于“轴对称图形”与“轴对称”的认识
1234
1.下列几何图形中，O线段O角O直角三角形O半圆，其中一定是轴对称图形的有【
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2.图中,
轴对称图形的个数是【
]
A.4个
B.3个
C.2个
D・1个
3.正n边形有条对称轴，圆有条对称轴
线段的垂直平分线
（1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，？
叫做这条线段的垂直平分线（或线段的屮垂线）.
（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，？
与一条线段两
个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.因此线段的垂直平分线可以看成与线段
两个端点距离相等的所有点的集合.
考点二、线段垂直平分线的性质
4.如图，△ABC中，ZA=90°,BD为ZABC平分线，DE丄BC,E是BC的中点，求ZC的度数。
B
5.如图，△ABC中，AB=AC,PB=PC,连AP并延长交BC于
D,求证：
AD垂直平分BC
D
6.如图，DE是ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10厘米，贝ljEBC的
周长为【】
A.16厘米B.18厘米C.26厘米D.28厘米
A
7.如图，ZBAC=30°,P是ZBAC平分线上一点，PM〃AC,PD丄AC,PD=30,则
AM
轴对称变换
由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换.？
成轴对称的两个图形屮的任何一个可以看着由另一个图形经过轴对称变换后得到.
轴对称变换的性质
（1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样
（2）经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称点.
（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平
分.作一个图形关于某条直线的轴对称图形
（1）作出一些关键点或特殊点的对称点.
（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图
形.关于坐标轴对称
点P（x,y）关于x轴对称的点的坐标是（x,—y）
点P（x,y）关于y轴对称的点的坐标是（一x,y）
关于原点对称
点P（x,y）关于原点对称的点的坐标是（一x,—y）
关于坐标轴夹角平分线对称
y=x对称的点的坐标是（y,x）
y——x对称的点的坐标是（一y,—
2m—x,y）；
点P（x,y）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线
点P（x,y）关于第二、四彖限坐标轴夹角平分线
关于平行于坐标轴的直线对称点P（x,y）关于直线x=m对称的点的坐标是（
点P（x,y）关于直线y=n对称的点的坐标是（x,2n—y）；
考点三、轴对称变换及用坐标表示轴对称
8.
AH,5）
B（4,-5）
C（-4,
-5）D心，
11.平面内点Aa
2）和点B「1,6）的对称轴是
（）
A.x轴
B.y轴
C.
直线y二4
D.直线x二T
12.下列关于直线x=l对称的点是（
）
A点（0,
-3）与点（~2,~3）
B
点（2,3）与点
（~2,3）
C点（2,
3）与点（0,3）
D■
点（2,3）与点（
2,~3）
平移
点A（-3,2）关于y轴对称点的坐标是（）
A
（-3
-2）
B（3,2）C
（-3,2）D（2,-3）
9.点P
（a,b）
关于X
轴的对称点为P'（1,
F）,贝ljA、B的值分别为（）
A
1,6
B
一1,C一1,6
D1,-6
10.点P关于x轴对称点
13.
已知A「1,-2）和B（1,3）,将点A向关于y轴对称.
14.如下图：
若正方形ABCD关于x
点A的坐标为（2,1）,标出点B
B（,J_,C（,）
15.若A（mT,2n+3）与B（nT,
16.已知a<0,那么点P（p2-2,2p）关于x轴对称的对应点X、解答题
17.已知点M（Ip,2a+2）,若点M关于x轴的对称点在第三象限，求a的取值范围?
18.已知点A的坐标为（2x+y-3,xEy）。
它关于x轴对称的点A'的坐标为（x+3，厂4），求点A关于y轴对称的点的坐标。
19.
如图，从AABC到AA'B'C'是进行的平移变换还是轴对称变换，如果是轴对称变换,
20.
找出对称轴，如果是平移变换，是怎样平移的?
21.已知两点A（-1,2）B（3,1）
（1）P点在X轴上移动。
求PA+PB的最小值。
（2）Q点在Y轴上移动。
求QA+QB的最小值。
（3）并求出P.Q的坐标。
考点四、作一个图形关于某条直线的轴对称图形
（1）作出一些关键点或特殊点的对称点.
（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形
22.如图，RtAABC,ZC=90°,ZB=30°,BC=8,D为AB中点，P为BC±一动点，连
接AP、DP,则AP+DP的最小值是
23.已知等边△ABC,E在BC的延长线上，CF平分ZDCE,P为射线BC±一点，Q为CF上
一点，连接AP、PQ.若AP=PQ,求证ZAPQ是多少度
作点Q关于BE的对称点R,交BE于点H,
从而可得QCH竺RCH,ZQCH二ZRCH二60度。
A,C,R在同一直线上。
易证PCQ竺APCR,从而ZQPH二ZRPH,PR二PQ,ZPQC=ZPRC.
又由于AP二PQ,从而AP二PR,得至ljZPRA二ZPAR
・・・ZBAP+ZPAC二ZPQC+ZQPC
・・・ZBAP二ZQPC
即有：
ZBAP+ZB二ZQPC+ZAPQ
即ZAPQ二60o
等腰三角形
有两条边相等的三角形是等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边.两腰所
夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角.
等腰三角形的性质
性质1:
等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）
性质2：
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.
特别的：
（1）等腰三角形是轴对称图形.
（2）等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应相等
等腰三角形的判定定理
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”特别的：
（1）有一边上的角平分线、屮线、高线互相重合的三角形是等腰三角形.
（2）有两边上的角平分线对应相等的三角形是等腰三角形.
（3）有两边上的中线对应相等的三角形是等腰三角形.
（4）有两边上的高线对应相等的三角形是等腰三角
形.考点五、等腰三角形的特征和识别
24.如图，△ABC屮，AB=AC=8,D在BC上，过D作DE〃AB交AC于E,DF〃AC
交AB于F,则四边形AFDE的周长为
25.如图，△ABC中，BD、CD分别平分ZABC与ZACB,EF过D且EF〃BC,若AB=
7,
BC=8,AC=6,则厶AEF周长为【】
A.15B.14C.13D.18
26.如图，点B、D、F在AN上,C、E在AM上，且AB=BC=CD=ED=EF,ZA=20°,则ZFEB
度.
27・已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°,则它的一个底角的度数是
28.如图：
在△ABC中，AB=AC,AD丄BC,DE丄AB于点E,DF±AC于点F。
试说明DE=
DFo
29.如图，E在AABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F,DF=EF,BD=CE.求证：
AABC是等腰三角形.
30.已知：
如图，△ABC屮，ZACB的平分线交AB于E,EF〃BC交AC于点F,交ZACB的外角平分线于点G.试判断AEFC的形状，并说明你的理由.
等边三角形
三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形.
等边三角形的性质
等边三角形的三个内角都相等，？
并且每一个内角都等于60°
等边三角形的判定方法
（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；
（3）有一个角是60。
的等腰三角形是等边三角
形•考点六、等边三角形的特征和识别
31.下列推理中，错误的是【】
A.•?
ZA=ZB=ZC,•••△ABC是等边三角形
B.・・・AB=AC,且ZB=ZC,AAABC是等边三角形
C・VZA=60°,ZB=60°,AAABC是等边三角形
D・・.・AB=AC,ZB=60°,AAABC是等边三角形
32.如图，等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE=CD,DM丄
BC,垂足为Mo求证：
M是BE的中点。
33.已知AABC是等边三角形，分别在AC、BC±取点E、F,且AE=CF,BE、AF
34.如图，D、E、F分别是等边△ABC各边上的点，且AD=BE=CF,则ADEF?
的形状是[]
A.等边三角形B•腰和底边不相等的等腰三角形C.直角三角形D•不等边三角形
角平分线的性质：
在角平分线上的点到角的两边的距离相等
0NB
角平分线的判定：
到角的两边距离相等的点在角的平分线上
0NB
三角形的角平分线的性质：
三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离
相等.
考点七、30°所对的直角边是斜边的一半
BC、DE垂直于横梁
35.如图，是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱AC,
AB=8m,ZA=30°,则DE等于【】
A-lmB•2mC.3mD•4m
36.—张折叠型方桌如图甲，其主视图如图乙，已知AO=BO=40cm,C0=D0=30cm,现
37.
将桌子放平，两条桌腿叉开的角度ZA0B刚好为120°,求桌面到地面的距离是多少？
38•在△ABC中，ABAC,A120,AB的垂直平分线交BC于点F,交AB于EEF1BC
点.如果，求的长
AB于E,交BC于F.
39.已知：
在△ABC屮，AB=AC,ZBAC=120°,AB的垂直平分线交
求证：
CF=2BF.
作图题专练
1.如图：
已知ZAOB和C、D两点，求作一点P,使PC二PD,且P到ZAOB两边的距离相等.
2.已知：
A、B两点在直线1的同侧，试分别画出符合条件的点
（1）如图，在1上求作一点M,使得丨AM-BMI最小；作法：
（2）如图，在1上求作一点M,使得丨AM—BMI最大作法：
（3）如图，在1上求作一点M,使得AM+BM最小.
（4）如果两点位于直线异侧，请你去解决上述问题
变式练习
1、如图，己知直线MN与MN同侧两点A、B求作：
点P,使点P在MN上，且ZAPM=ZBPN
°A
2.如图点A、B、C在直线1的同侧，在直线1上，求作一点P,使得四边形APBC的周长最小;
3.如图已知线段a,点A、B在直线1的同侧，在直线1上，求作两点P、Q（点P在点Q的左侧）且PQ=a,四边形APQB的周长最小.
4、已知：
如图点M在锐角ZAOB的内部，在0A边上求作一点P,在0B边上求作一点Q,使得PMQ的周长最小；
5、已知：
如图3-14,点M在锐角ZAOB的内部，在0B边上求作一点P,使得点P到点M的距离与点P到0A边的距离之和最小.
轴对称专题训练
一、选择题（每题3分，共24分）
1、下列图案中，不是轴对称图形的是（
AA
AB
应A
CD
2、（易错易混点）下列长度的三线段，能组成等腰三角形的是
3.
如图，己知AC〃BD,OA=OC,则下列结论不一定成立的是（）
4.（易错易混点）下列说法正确的是（）
A.等腰三角形的高、屮线、角平分线互相重合
B.顶角相等的两个等腰三角形全等
C.等腰三角形一边不可以是另一边的二倍
D・等腰三角形的两个底角相等
5、如图，AABC与△ABC关于直线1对称，且A78°,C48°，则ZB的度
数为（）
A.48°B.54°C.74°D.78°
=65°,则ZAED'等于
8、如图，ZBAC二1100若MP和NQ分别垂直平分AB和AC,则ZPAQ的度数是（）
二、填空题（每题3分，共24分）
9•轴对称是指个图形的位置关系对称图形是指____个具有特殊形状的图形.
10、有一条对称轴的三角形是三角形，有三条对称轴的三角形是三角形•
11、如图，在ABC中，A9Oo,BD是ABC的平分线，DE是BC的垂直平分线，
则C二.
12、（易错易混点）在△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得
到锐角为50°,则ZB等于度.
13、如图，在ABC中，AB二AC,A50o,P是ABC内一点，且PBC二PCA,
贝ljBPC二.
14、如图，△ABC中,ZA=36°,AB=AC,BD平分ZABC,DE//BC，则图中等腰三角形有个.
15、如图,AABC屮，DE是AC的垂直平分线,AE=3cm,AABD的周长为13cm,则AABC的周长
16.如图，点P在ZAOB的内部，点M、N分别是点P关于直线OA、0B?
的对称点，线
16/19
段MN交0A、OB于点E、F,若APEF的周长是20cm,则线段MN的长是
三、解答题（17—20题每题10分，21题12分）17、右图（实线部分）补成以虚线L为对称轴的轴对称图形，你会得到一只美丽蝴蝶的图案
（不用写作法、保留作图痕迹）.请用一句话说明你的画图思路
18、如图，写出△ABC的各顶点坐标，并画出AABC关于Y轴对称的△AiBiCi,写出AABC关于X轴对称的厶A2B2C2的各点坐标。
19、如所示，ZBAC=ZABD,AC=BD,点0是AD.BC的交点，点E是AB的中点.判断0E和AB的位置关系，并出明.
20下及明程：
已知：
如，D是AABC中的BC上一点，EB二EC,ZABE二ZACE.
EBEC,
求:
ZBAE二ZCAE.明：
在△AEB和△AEC中，ZABEZACE,
AEAE,
・-.AAEB=AAEC・…第一步..IZBAE二ZCAE・…第二步.
上面的明程是否正确，若正确，写出每一步推理的依据;若不正确，指出
错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程.
21.等边ZXABC中，点P在AABC内，点Q在Z\ABC夕卜，且ZABP二ZACQ,BP二CQ,问
AAPQ是什么形状的三角形？
试说明你的结论.
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