七升八数学衔接讲义.docx
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七升八数学衔接讲义
七升八数学衔接讲义
第一讲与三角形有关的线段
知识点1、三角形的概念
☑不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。
组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。
☑三角形的表示方法
三角形用符号“△”表示，顶点是A,B,C的三角形，记作“△ABC”
三角形ABC用符号表示为△ABC。
三角形ABC的顶点C所对的边AB可用c表示,顶点B所对的边AC可用b表示,顶点A所对的边BC可用a表示.
知识点2、三角形的三边关系
【探究】任意画一个△ABC,假设有一只小虫要从B点出发,沿三角形的边爬到C,它有几种路线可以选择?
各条路线的长一样吗?
为什么？
☑三角形的两边之和大于第三边，可用字母表示为a+b＞c，b+c＞a，a+c＞b
拓展：
a+b＞c，根据不等式的性质得c-b＜a，即两边之差小于第三边。
即a-b＜c＜a+b（三角形的任意一边小于另二边和，大于另二边差）
【练习1】一个三角形的两边长分别为3cm和7cm，则此三角形的第三边的长可能是（ ）
A．3cm
B．4cm
C．7cm
D．11cm
【练习2】有下列长度的三条线段能否组成三角形？
为什么？
（1）3，5，8；
（2）5，6，10；（3）5，6，7.（4）5,6,12
【辨析】有三条线段a、b、c，a+b＞c，扎西认为：
这三条线段能组成三角形.你同意扎西的看法吗？
为什么？
【小结】三角形的两边之和是指任意两边之和
【例1】用一条长为18㎝的细绳围成一个等腰三角形。
（1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？
（2）能围成有一边长为4㎝的等腰三角形吗？
为什么？
知识点3三角形的三条重要线段
☑三角形的高
（1）定义：
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高（简称三角形的高）
（2）高的叙述方法
AD是△ABC的高
AD⊥BC，垂足为D
点D在BC上，且∠BDA=∠CDA=90度
[练习]
画出
、
、
三个△ABC各边的高,并说明是哪条边的高.
AB边上的高是线段____AB边上的高是线段____AB边上的高是线段____
BC边上的高是_________BC边上的高是_________BC边上的高是_________
AC边上的高是_________AC边上的高是_________AC边上的高是_________
[辨析]高与垂线有区别吗？
_____________________________________________
[探究]画出图1中三角形ABC三条边上的高，看看有什么发现？
如果△ABC是直角三角形、钝角三角形，上面的结论还成立吗？
试着画一画
【结论】________________________________________
☑三角形的中线
（1）定义：
在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线
[练习]
画出
、
、
三个△ABC各边的中线,并说明是哪条边的中线.
AB边上的中线是线段____AB边上的中线是线段____AB边上的中线是线段____
BC边上的中线是_________BC边上的中线是_________BC边上的中线是_________
AC边上的中线是________AC边上的中线是_________AC边上的中线是_________
图中有相等关系的线段：
___________________________________________________
[探究1]观察△ABC的三条边上的中线，看看有什么发现？
如果三角形是直角三角形、钝角三角形，上面的结论还成立吗？
【结论】_________________________________
[探究2]如图，AD为三角形ABC的中线，△ABD和△ACD的面积相比有何关系？
【结论】__________________________________________
【例2】如图，已知△ABC的周长为16厘米，AD是BC边上的中线，AD=
AB，AD=4厘米，△ABD的周长是12厘米，求△ABC各边的长。
☑三角形的角平分线
（1）定义：
三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
[辨析]三角形的角平分线与角的平分线是一样的吗？
画出△ABC各角的角平分线,并说明是哪角的角平分线.
[探究]观察画出的三条角平线，你有什么发现？
______________________________________
[自我检测]如图，AD、AE、CF分别是△ABC的中线、角平分线和高，则：
（1）BD=______=
________；
（2）BC=2_______=2_______；
（3）∠BAE=_______=
_______；（4）∠BAC=2_______=2_______；（5）_______=________=90
知识点4三角形的稳定性
三角形的三边长一旦确定，三角形的形状就唯一确定，这个性质叫做三角形的稳定性。
四边形则不具有稳定性。
钢架桥、屋顶钢架和起重机都是利用三角形的稳定性，伸缩门则是利用四边形的不稳定性。
你还能举出一些例子吗？
【试一试】
1、如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD比△ACD的周长大6cm，则AB与AC的差为_______
2、如图，D为△ABC中AC边上一点，AD=1,DC=2,AB=4,E是AB上一点，且△ABC的面积等于△DEC面积的2倍，则BE的长为（ ）
3、若点P是△ABC内一点，试说明AB+AC＞PB+PC
[课后作业]
1、一位同学用三根木棒拼成如图所示的图形，其中符合三角形概念的是（）
A．
B．
C．
D．
2、如果三条线段的比是：
①1∶3∶4；②1∶2∶3；③1∶4∶6；④3∶3∶6；⑤6∶6∶10；⑥3∶4∶5，其中可构成三角形的有（）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3、已知三角形两边长分别为4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（）
A．13cm
B．6cm
C．5cm
D．4cm
4、为估计池塘两岸A、B间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P，测得PA=16m，PB=12m，那么AB间的距离不可能是（）
A．5m
B．15m
C．20m
D．28m
5、一个三角形的周长是偶数，其中的两条边分别为5和9，则满足上述条件的三角形个数为（）
A．2个
B．4个
C．6个
D．8个
6、三角形的角平分线、中线和高都是（）
A．直线
B．线段
C．射线
D．以上答案都不对
7、如图，如果把△ABC沿AD折叠，使点C落在AB上的点E处，那么折痕（线段AD）是△ABC的（）
A．中线
B．角平分线
C．高
D．既是中线，又是角平分线
8、如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，下列说法中，错误的是（ ）
A．△ABC中，AC是BC边上的高
B．△BCD中，DE是BC边上的高
C．△ABE中，DE是BE边上的高
D．△ACD中，AD是CD边上的高
9、若a、b、c表示△ABC的三边长，则|a-b-c|+|b-c-c|+|c-a-b|=________.
10、三角形的两边长分别为5cm和12cm，第三边与前两边中的一边相等，则三角形的周长为________.
11、如图所示，在△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，AF是高，填空：
（1）BD＝________＝
________;
（2）∠BAE＝________＝
________；
（3）∠AFB＝________＝90°；
（4）∠B的余角是________，∠C与________互余；
（5）S△ABC＝________，S△ABD________S△ADC＝
________．
12、如图，AD是△ABC的中线，DE=2AE，若△ABC的面积是18cm2，则△ABE的面积=__________
13、如图，
求
14、已知在△ABC中，三边长a,b,c都是整数，且满足a＞b＞c,a=8，那么满足条件的三角形共有多少个？
15、如图，在三角形ABC中，AD是BC边上的中线，三角形ABD的周长比三角形ACD的周长小5，你能求出AC与AB的边长的差吗？
16、如图所示，已知P是△ABC内一点，试说明PA+PB+PC＞
（AB+BC+AC）．
17、在△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ABD和△ADC的周长之差为4（AB＞AC），AB与AC的和为14，求AB和AC的长．
第二讲与三角形有关的角
知识点1、三角形的内角和定理：
三角形的内角和等于1800。
【导入】我们在小学就知道三角形内角和等于1800，这个结论是通过实验得到的，这个命题是不是真命题还需要证明，怎样证明呢？
回顾我们小学做过的实验，你是怎样操作的？
把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处，用量角器量出∠BCD的度数，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800。
想一想，还可以怎样拼？
①剪下∠A，按图
（2）拼在一起，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800。
图2
②把
和
剪下按图（3）拼在一起，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800。
如果把上面移动的角在图上进行转移，由图1你能想到证明三角形内角和等于1800的方法吗？
证明：
已知△ABC，求证：
∠A+∠B+∠C=1800。
【例1】如图，C岛在A岛的北偏东30°方向，B岛在A岛的北偏东100°方向，C岛在B岛的北偏西55°方向，从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？
知识点2、三角形的外角
☑定义：
三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。
[自我探究]画出图中三角形ABC的外角
1、判断图中∠1是不是△ABC的外角：
_______________
2、如图，
（1）∠1、∠2都是△ABC的外角吗？
________________
（2）△ABC共有多少个外角？
___________________
请在图中标出△ABC的其它外角.
3、探究题：
如图，这是我们证明三角形内角和定理时画的辅助线，你能就此图说明∠ACD与∠A、∠B的关系吗？
∵CE∥AB，∴∠A=_____，_____=∠2
又∠ACD=_______+________
∴∠ACD=_______+________
结论1______________________________________________
结论2_____________________________________（外角两性质）
【小结】三角形每个顶点处有两个外角，便在计算三角形外角和时，每个顶点处只算一个外角，外角和就是三个外角的和。
外角的作用：
1、已知外角和与它不相邻的两个内角中的一个，求另一个
2、可证一个角等于另两个角的和
3、证明两个角不相等的关系。
[练习]填空：
求出下列各图中∠1的度数.
（1）如图，∠1=______；
（2）如图，∠1=______；（3）如图，∠1=______；
（4）如图，∠1=______；（5）如图，∠1=______；（6）如图，∠1=______.
2、判断正误：
对的有______，错的有_________.
（1）三角形的一个外角等于两个内角的和.
（2）三角形的一个外角减去它的一个不相邻的内角，等于它的另一个不相邻的内角.（3）三角形的一个外角大于与它不相邻的一个内角.
[探究]
2.已知：
如图，∠1=30°，∠2=50°，∠3=45°，
则
（1）∠4=______°；
（2）∠5=______°.
3.已知：
如图∠1=40°，∠2=∠3，则
（1）∠4=______°；
（2）∠2=______°.
4.如图，AB∥CD，∠B=55°，∠C=40°，则
（1）∠D=______°；
（2）∠1=______°.
5.例2.如图，∠BAE，∠CBF，
∠ACD是△ABC的三个外角，
它们的和是多少？
解：
因为∠BAE=∠__+∠____，
∠CBF=∠__+∠___，
∠ACD=__________，
所以∠BAE+∠CBF+∠ACD
=（∠__+∠___）+（________）+（___________）
=2（∠1+_________）=2×180°=360°.
从例2.我们可以得到一个数学结论:
三角形________________________________.
[试一试]
6已知：
如图，∠B=30°，∠C=65°，∠BAD=50°，
求∠CAD的度数.
解：
在△ABC中，∠ADC=∠____+∠___=____°+___°=_______.
在△ADC中，∠CAD=180°-_____________
=180°-_____________=_________.
7.已知：
如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，
∠BAC=80°，∠C=40°，则∠BAD=________°.
8.已知：
如图，BD是△ABC的角平分线,
∠A=100°，∠C=30°，则∠ADB=________°.
9.*如图，AD、BE分别是△ABC的高和
角平分线，∠BAC=100°，∠C=30°，则∠1=________°.
10*.△ABC中，∠B=∠A+100，∠C=∠B+200，
求△ABC各内角的度数
【实战演练】
1、如图所示，D,E分别AC，AB边上的点，DB,EC相交于点F，则∠A+∠B+∠C+∠EFB=_________
2、如图所示，已知∠1=∠2，∠BAC=70度，求∠DEF的度数。
3、已知△ABC中，∠A,∠B,∠C的外角度数之比为3：
4：
5，求∠A,∠B,∠C的度数，并判断△ABC的形状。
4、
（1）如图所示，已知△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O．试说明∠BOC=90°+
∠A
（2）如图所示，BD、CD分别是∠ABC、∠ACB的外角平分线．试说明∠D=90°－
∠A；
（3）如图所示，已知BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC外角∠ACE的平分线，且与BD交于点D，试说明∠A=2∠D．
[课后作业]
1、（2011，济宁）若一个三角形三个内角度数的比为2∶7∶4，那么这个三角形是（）
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．等边三角形
2、如果一个三角形的两个外角之和为270°，那么这个三角形是（）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．无法确定
3、如图，在直角△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若∠B＝36°，则∠1＝_____，∠A＝________．
4、如图所示，∠1＋∠2＋∠3＋∠4的度数为________．
5、如图所示，已知AC∥ED，∠C＝26°，∠CBE＝37°，则∠BED的度数是_________
（第3题）（第4题）（第5题）
6、将一副常规的三角尺按如图方式放置，则图中∠AOB的度数为________
7、如图所示，AC⊥DE，垂足为O，∠B＝35°，∠E＝30°，则∠A＝________．
8、把一把直尺与一个三角板如图放置，若∠1＝45°，则∠2的度数为（）
（第6题）（第7题）（第8题）
9、已知△ABC中，∠B、∠C的外角平分线交于点D，∠A＝40°，那么∠D＝________．
10、在△ABC中，若∠A-2∠B=70°，2∠C-∠B=10°，则∠C=________.
11、如图，是用四根木棒搭成的平行四边形框架，AB=8cm，AD=6cm，使AB固定，转动AD，当∠DAB=________时，ABCD的面积最大，最大值是________.
12、（2012?
漳州）将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（ ）
13、一副三角板如图叠放在一起，则图中∠α的度数为（ ）
（第11题）（第12题）（第13题）
14、如图所示，AB∥CD，∠E=27°，∠C=52°，则∠EAB的度数为（ ）
15、如图，△ABC中，∠A=50°，点D，E分别在AB，AC上，则∠1+∠2的大小为（ ）
（第14题）（第15题）
16、（2006?
临沂）如图，已知AB∥CD，则（ ）
A．∠1=∠2+∠3
B．∠1=2∠2+∠3
C．∠1=2∠2-∠3
D．∠1=180°-∠2-∠3
17、（2005?
吉林）如图，在Rt△ADB中，∠D=90°，C为AD上一点，则x可能是（ ）
A．10°
B．20°
C．30°
D．40°
18、如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为（ ）
（第16题）（第17题）（第18题）
19、若一个三角形三个外角的度数之比为2：
3：
4，则与之对应的三个内角的度数的比为（ ）
A．5：
3：
1
B．3：
2：
4
C．4：
3：
2
D．3：
1：
5
20、如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O.
（1）若∠ABC=40°，∠ACB=60°，则∠BOC=________；
（2）若∠ABC+∠ACB=116°，则∠BOC=________；
（3）若∠A=76°，则∠BOC=________；
（4）若∠A=m°，则∠BOC=________；
（5）若∠BOC=120°，则∠A=________；
（6）∠A与∠BOC之间具有的数量关系是________.
21、
（1）如图，∠MON=80°，点A、B分别在射线OM、ON上移动，△AOB的角平分线AC与BD交于点P．试问：
随着点A、B位置的变化，∠APB的大小是否会变化？
若保持不变，请求出∠APB的度数．若发生变化，求出变化范围．
（2）画两条相交的直线OX、OY，使∠XOY=60°，②在射线OX、OY上分别再任意取A、B两点，③作∠ABY的平分线BD，BD的反向延长线交∠OAB的平分线于点C，随着点A、B位置的变化，∠C的大小是否会变化？
若保持不变，请求出∠C的度数．若发生变化，求出变化范围．
第三讲多边形及其内角和
知识点1、多边形的有关概念
☑定义：
在平面内，由一些不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形
多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形……、n边形。
这就是说，一个多边形由几条线段组成，就叫做几边形，三角形是最简单的多边形。
与三角形类似地，多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，如图中的∠A、∠B、∠C、∠D、∠E。
多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．如图中的∠1是五边形ABCDE的一个外角。
连接多边形的不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线
凸多边形和凹多边形
如图，下面的两个多边形有什么不同？
在图
（1）中，画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形，这样的多边形称为凸多边形；而图
（2）就不满足上述凸多边形的特征，因为我们画BD所在直线，整个多边形不都在这条直线的同一侧，我们称它为凹多边形。
注意：
今后我们讨论的多边形指的都是凸多边形．
我们知道，等边三角形、正方形的各个角都相等，各条边都相等，像这样各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。
知识点2、多边形的内角和
[探究]观察下面的图形，填空：
五边形六边形
从五边形一个顶点出发可以引对角线，它们将五边形分成三角形，五边形的内角和等于；
从六边形一个顶点出发可以引对角线，它们将六边形分成三角形，六边形的内角和等于；
从n边形一个顶点出发，可以引对角线，它们将n边形分成三角形，n边形的内角和等于。
【小结】从一个顶点引对角线时，这个顶点和相邻的两个顶点不能引对角线，那么还剩下（n-3）个顶点，就能引出（n-3）条对角线，从而得出结论：
从n边形的一个顶点可引出（n-3）条对角线，每一个顶点可引出（n-3）条对角线，有n个顶点，共有n（n-3）条对角线，但每条对角线都算了两次，所以n边形共有对角线的条数为
多边形内角和的证明
方法1、如图1，在五边形ABCDE内任取一点O，连结OA、OB、OC、OD、OE，则得五个三角形。
∴五边形的内角和为5×180°一2×180°＝（5—2）×180°=540°。
方法2、如图2，在边AB上取一点O，连OE、OD、OC，则可以（5－1）个三角形。
∴五边形的内角和为（5—1）×180°一180°＝（5—2）×180°
如果把五边形换成n边形，用同样的方法可以得到n边形内角和＝（n一2）×180°．
☑多边形的外角和
n边形的任何一个外角加上与它相邻的内角都等于180度，n个外角连同它们各自相邻的内角共有2n个角，这些角的总和等于
，所以外角和为
[自我检测]
1.一个多边形的内角和为720°,那么它是________边形.
2.一个多边形每一个内角等于144°,则其边数是________.
3.下列角度中,不能成为多边形内角和的是（）
A.600°B.420°C.900°D.1800°
4如果五边形的三个内角是直角,另两个内角都为n°,则n的值为（）
A.105B.120C.125D.135
5.一个四边形的内角中,钝角最多有（）A.一个B.两个C.三个D.四个
6.一个四边形四个内角∠A、∠B、∠C、∠D的度数比是2:
3:
4:
3，求这个四边形的四个内角.
分析与简解:
我们从∠A、∠B、∠C、∠D的度数比是2:
3:
4:
3，所以如果我们设∠A的度数为2x则∠B、∠C、∠D的度数为___，____，_____.根据题意，列方程:
___________________
解得x=30.所以，∠A=2x°=2×____°=_____°.类似，∠B=_____、∠C=_______、∠D=_________
7.四边形ABCD中若∠A+∠B=180°且:
∠B:
∠C:
∠D=1:
2:
3则∠A=___________
8.一个五边形剪去一个角后,剩下的内角和是多少度:
________________________________
9.如果一个多边形除了一个内角外,其余各内角这和为1190°,则这个内角为_________度,是一个__________边形.
10.一个多边形截去一个角（不过顶点）后,所形成的一个多边形的内角和是2520°,那么原多边形的边数是（）A.13B.15C.17D.19
8.填空：
如果一个多边形的内角和与外角和相等，那么这个多边形是______边形.
9.填空：
如果一个多边形的各外角都等于60°，那么这个多边形是______边形.
10.填空：
如果一个多边形的各内角都等于120°，那么这个多边形是______边形.
11.一个多边形的内角和是外角和的2.5倍，它是几边形？
解：
设这个多边形为n边形.----注意学习解题格式
根据题意，列方程
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