高中数学11方程的根与函数的零点第1课时示范教案新人教A版必修1.docx

高中数学11方程的根与函数的零点第1课时示范教案新人教A版必修1.docx

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高中数学11方程的根与函数的零点第1课时示范教案新人教A版必修1

2019-2020年高中数学（1.1方程的根与函数的零点第1课时）示范教案新人教A版必修1

函数的应用是学习函数的一个重要方面.学生学习函数的应用,目的就是利用已有的函数知识分析问题和解决问题.通过函数的应用,对完善函数的思想，激发应用数学的意识,培养分析问题、解决问题的能力，增强实践的能力等，都有很大的帮助.

本章主要内容：

函数与方程、函数模型及其应用、实习作业和小结.在函数与方程这一节中课本从学生最熟悉的二次函数入手，通过研究方程的根与函数的零点的关系，使函数的图象与性质得到充分的应用，同时也展现了函数和方程的密切关系.求函数零点的近似解不仅展示了数学方法的严谨性、科学性，也为计算机的应用提供了广阔的空间.让学生进一步受到数学思想方法的熏陶，激发学生的学习热情.

在函数模型及其应用这一节中让学生近距离接近社会生活，从生活中学习数学，使数学在社会生活中得到应用和提高，让学生体会到数学是有用的，从而培养学生的学习兴趣.“数学建模”也是高考考查的重点.

本章还是数学思想方法的载体，学生在学习中会经常用到“函数方程思想”“数形结合思想”“转化思想”,从而提高自己的数学能力.

因此应从三个方面把握本章：

（1）知识间的联系;

（2）数学思想方法;（3）认知规律.

本章教学时间约需9课时，具体分配如下（仅供参考）：

3.1函数与方程

约3课时

3.2函数模型及其应用

约4课时

实习作业

约1课时

本章复习

约1课时

3.1函数与方程

3.1.1方程的根与函数的零点

整体设计

教学分析

函数作为高中的重点知识有着广泛应用，与其他数学内容有着有机联系.课本选取探究具体的一元二次方程的根与其对应的二次函数的图象与x轴的交点的横坐标之间的关系作为本节内容的入口，其意图是让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系.本节设计特点是由特殊到一般，由易到难，这符合学生的认知规律；本节体现的数学思想是：

“数形结合”思想和“转化”思想.本节充分体现了函数图象和性质的应用.因此，把握课本要从三个方面入手：

新旧知识的联系，学生认知规律，数学思想方法.另外，本节也是传统数学方法与现代多媒体完美结合的产物.

三维目标

1.让学生明确“方程的根”与“函数的零点”的密切联系，学会结合函数图象性质判断方程根的个数，学会用多种方法求方程的根和函数的零点.

2.通过本节学习让学生掌握“由特殊到一般”的认知规律，在今后学习中利用这一规律探索更多的未知世界.

3.通过本节学习不仅让学生学会数学知识和认知规律，还要让学生充分体验“数学语言”的严谨性，“数学思想方法”的科学性,体会这些给他们带来的快乐.

重点难点

根据二次函数图象与x轴的交点的个数判断一元二次方程的根的个数;函数零点的概念.

课时安排

2课时

教学过程

第1课时方程的根与函数的零点

导入新课

思路1.（情景导入）

据新华社体育记者报道：

昨晚足球比赛跌宕起伏，球迷经历了大喜到大悲,再到大喜的过程（领先则喜，落后即悲）.

请问：

整场足球比赛出现几次“比分相同”的时段?

学生思考或讨论回答：

三次:

（1）开场;

（2）由领先到落后必经过“比分相同”时段;（3）由落后到领先必经过“平分”时段.

教师点拨：

足球比赛有“落后”“领先”“比分相同”,函数值有“负”“正”“零”,函数图象与足球比赛一样跌宕起伏.由此导入课题,为后面学习埋好伏笔.

思路2.（事例导入）

（多媒体动画演示）一枚炮弹从地面发射后，炮弹的高度随时间变化的函数

关系式为h=20t-5t2,问炮弹经过多少秒回到地面？

炮弹回到地面即高度h=0，求方程20t-5t2=0的根,得t=4秒.如图3-1-1-1.

图3-1-1-1

思路3.（直接导入）

教师直接点出课题：

上一章我们研究函数的图象性质，这一节我们讨论函数的应用，方程的根与函数的零点.

推进新课

新知探究

提出问题

①求方程x2-2x-3=0的根，画函数y=x2-2x-3的图象.

②求方程x2-2x+1=0的根，画函数y=x2-2x+1的图象.

③求方程x2-2x+3=0的根，画函数y=x2-2x+3的图象.

④观察函数的图象发现：

方程的根与函数的图象和x轴交点的横坐标有什么关系?

⑤如何判断一元二次方程根的个数，如何判断二次函数图象与x轴交点的个数，它们之间有什么关系?

⑥归纳函数零点的概念.

⑦怎样判断函数是否有零点？

⑧函数的图象不易画出，又不能求相应方程的根时，怎样判断函数是否有零点？

活动：

先让学生思考或讨论后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路:

问题①:

先求方程的两个根，找出抛物线的顶点,画出二次函数的图象（图3-1-1-2）.

问题②:

方程有一个根，说明抛物线的顶点在x轴上（图3-1-1-3）.

问题③:

方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点，找出抛物线的顶点是画二次函数图象的关键（图3-1-1-4）.

问题④:

方程的根与函数的图象和x轴交点的横坐标都是实数.

问题⑤:

对于其他函数这个结论正确吗？

问题⑥:

函数的零点是一个实数.

问题⑦:

可以利用“转化思想”.

问题⑧:

足球比赛中从落后到领先是否一定经过“平分”？

由此能否找出判断函数是否有零点的方法？

函数图象穿过x轴则有零点，怎样用数学语言描述呢？

讨论结果：

①方程的两个实数根为-1，3.

②方程的实数根为1.

③方程没有实数根.

④方程的根就是函数的图象与x轴交点的横坐标.

⑤一元二次方程根的个数，就是二次函数图象与x轴交点的个数，可以用判别式来判定一元二次方程根的个数.a.当Δ>0时，一元二次方程有两个不等的实根x1、x2，相应的二次函数的图象与x轴有两个交点（x1,0）、（x2,0）;b.当Δ=0时，一元二次方程有两个相等的实根x1=x2，相应的二次函数的图象与x轴有唯一的交点（x1,0）;c.当Δ<0时，一元二次方程没有实根，相应的二次函数的图象与x轴没有交点.

⑥一般地，对于函数y=f（x），我们把使f（x）=0的实数x叫做函数y=f（x）的零点.

⑦方程f（x）=0有实根函数y=f（x）的图象与x轴有交点函数y=f（x）有零点.

⑧观察二次函数f（x）=x2-2x-3的图象，我们发现函数f（x）=x2-2x-3在区间［-2,1］

上有零点.计算f（-2）与f

（1）的乘积，发现这个乘积特点是小于零.在区间［2,4］

同样如此.可以发现，f（-2）f

（1）<0,函数y=x2-2x-3在区间（-2，1）内有零点x=-1，它是方程x2-2x-3=0的一个根.同样地，f

（2）f（4）<0，函数y=x2-2x-3在（2，4）内有零点x=3,它是方程x2-2x-3=0的另一个根.

图3-1-1-2图3-1-1-3图3-1-1-4

应用示例

思路1

例1已知函数f（x）=|x2-2x-3|-a分别满足下列条件，求实数a的取值范围.

（1）函数有两个零点;

（2）函数有三个零点;

（3）函数有四个零点.

活动：

根据零点概念，学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生.因为函数f（x）=|x2-2x-3|-a的零点个数不易讨论，所以可转化为方程|x2-2x-3|-a=0根的个数来讨论，即转化为方程|x2-2x-3|=a的根的个数问题,再转化为函数f（x）=|x2-2x-3|与函数f（x）=a交点个数问题.

解：

设f（x）=|x2-2x-3|和f（x）=a分别作出这两个函数的图象（图3-1-1-5），它们交点的个数，即函数f（x）=|x2-2x-3|-a的零点个数.

图3-1-1-5

（1）若函数有两个零点，则a=0或a>4.

（2）若函数有三个零点，则a=4.

（3）函数有四个零点,则0

变式训练

1.判断函数y=|x-1|-2零点的个数.

解：

通过分类讨论把绝对值函数转化为分段函数,作出函数图象（图3-1-1-6），

图3-1-1-6

函数y=|x-1|-2的图象与x轴有两个交点，所以函数y=|x-1|-2有两个零点.

2.求证：

函数f（x）=2x2-3x-2有两个零点.

证法一:

因为一元二次方程2x2-3x-2=0的判别式Δ=32+4×2×2=25>0,

所以一元二次方程2x2-3x-2=0有两个不相等的实根，所以函数f（x）=2x2-3x-2有两个零点.

证法二:

因为一元二次方程2x2-3x-2=0可化为（2x+1）（x-2）=0,

所以一元二次方程2x2-3x-2=0有两个不相等的实根x1=2,x2=.

所以函数f（x）=2x2-3x-2有两个零点.

证法三:

因为函数f（x）=2x2-3x-2的图象是一条开口向上的抛物线，且顶点在x轴的下方,即f（0）=-2<0,所以函数f（x）=2x2-3x-2有两个零点.如图3-1-1-6.

图3-1-1-7

点评：

判断函数零点个数可以结合函数的图象.

方法：

零点函数方程的根两图象交点.

数学思想：

转化思想和数形结合思想.

例2若关于x的方程3x2-5x+a=0的一根在（-2，0）内，另一个根在（1，3）内，求a的取值范围.

活动：

学生自己思考或讨论，再写出（最好用实物投影仪展示写的正确的答案）.教师在学生中巡视其他学生的解答，发现问题及时纠正,并及时评价.

如果用求根公式与判别式来做，运算量很大,能否将问题转化？

借助二次函数的图象，从图象中抽出与方程的根有关的关系式，使得问题解答大大简化.引导学生画出函数的图象观察分析.

解：

设f（x）=3x2-5x+a,则f（x）为开口向上的抛物线,如图3-1-1-8：

图3-1-1-8

因为f（x）=0的两根分别在区间（-2，0）、（1，3）内，

所以

即

故所求a的取值范围是-12

变式训练

关于x的方程x2-ax+a2-7=0的两个根一个大于2，另一个小于2,求实数a的取值范围.

解：

设f（x）=x2-ax+a2-7,图象为开口向上的抛物线（如图3-1-1-9）.

因为方程x2-ax+a2-7=0的两个根一个大于2，另一个小于2,

所以函数f（x）=x2-ax+a2-7的零点一个大于2，另一个小于2.

即函数f（x）=x2-ax+a2-7的图象与x轴的两个交点在点（2，0）的两侧.

只需f

（2）<0,即4-2a+a2-7<0,所以-1

图3-1-1-9

思路2

例1若方程2ax2-x-1=0在（0，1）内有解，求实数a的取值范围.

活动：

学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导：

①有解包括有一解和有两解，要分类讨论.

②用一般解法固然可以，若结合函数图象观察分析，可以找到捷径.

③有两种情况：

a.a=0;b.a≠0,Δ≥0.

解：

令f（x）=2ax2-x-1，

（1）当方程2ax2-x-1=0在（0，1）内恰有一个解时，f（0）·f

（1）<0或a≠0且Δ=0,

由f（0）·f

（1）<0,得（-1）（2a-2）<0,所以a>1.由Δ=0,得1+8a=0,a=

∴方程为x2-x-1=0,即x=-2（0,1）（舍去）.综上可得a>1.

（2）当方程2ax2-x-1=0在（0，1）内有两个解时，则

或

容易解得实数a不存在.

综合

（1）

（2）,知a>1.

变式训练

若方程ax2+3x+4a=0的根都小于1，求实数a的取值范围.

解：

（1）当a=0时，x=0满足题意.

（2）当a≠0时，设f（x）=ax2+3x+4a.

方法一:

若方程ax2+3x+4a=0的根都小于1，则

∴

∴0

综上

（1）

（2）,得0≤a≤.

方法二:

若方程ax2+3x+4a=0的根都小于1，则

∴

解得0

综上

（1）

（2）,得0≤a≤.

点评：

有两种方法:

（1）结合函数图象利用函数符号列不等式组.

（2）代数方法，利用根与系数关系结合判别式列不等式组.

例2设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a>0）,方程f（x）-x=0的两个根为x1、x2,满足0

（1）当x∈（0,x1）时，求证：

x

（2）设函数f（x）的图象关于直线x=x0对称，求证：

x0<.

活动：

根据方程与函数关系，学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生.因为方程f（x）-x=0的两个根为x1、x2，可考虑把f（x）-x设为双根式，然后判断其符号，再考虑二次函数的双根与二次函数对称轴的关系.

证明:

（1）∵x1、x2是方程f（x）-x=0的两个根，且0

∴当x∈（0,x1）时,有f（x）-x=a（x-x1）（x-x2）=a（x1-x）（x2-x）>0,即f（x）-x>0.

又∵f（x）-x=a（x1-x）（x2-x）

（2）∵f（x）-x=ax2+（b-1）x+c,且f（x）-x=0的两个根为x1、x2,

∴二次函数f（x）-x的对称轴为x==.∴=.

又由已知，得x0=，∴=x0+.

又∵x2<,∴>0.故=x0+>x0,即x0<.

变式训练

1.已知二次函数f（x）满足f（3-x）=f（3+x）,且其两零点分别为x1、x2,求x1+x2.

解：

∵对任意x都有f（3-x）=f（3+x），∴函数f（x）的图象上有两点（3-x,y）、（3+x,y）关于x=3对称.

∴二次函数f（x）的对称轴为x=3.

∵x1、x2为二次函数f（x）的两个零点，

∴x1+x2=6.

2.若函数f（x）满足f（3-x）=f（3+x），且函数f（x）有6个零点，求所有零点的和.

解：

同理函数f（x）的对称轴为x=3，∴3（x1+x2）=18.

点评：

①二次函数的双根与二次函数解析式的关系是：

若二次项系数为a,两个根为x1、x2,则二次函数解析式为f（x）=a（x-x1）（x-x2）.

②二次函数的双根与二次函数对称轴的关系是：

二次函数f（x）的对称轴为x=.

总之：

二次函数的双根是联系函数与方程的桥梁和纽带，应仔细体会、准确把握.

知能训练

讨论函数y=ex+4x-4的零点的个数.

活动：

鼓励学生说出自己的见解，并说明理由.函数零点问题是函数的重要应用，离不开函数的图象和性质.

（1）利用f（a）f（b）<0及函数的单调性.

（2）作出y=ex和y=4-4x的图象，把函数y=ex+4x-4的零点的个数转化为方程ex=4-4x根的个数，再转化为上述两函数图象交点的个数.

解：

（方法一）利用计算机作出x，f（x）的对应值表：

x

0

1

f（x）

-3

2.71828

由表和图可知，f（0）<0,f

（1）>0,则f（0）f

（1）<0，这说明f（x）在区间（0,1）内有零点,由于函数在定义域（-∞,+∞）内是增函数，所以它仅有一个零点.

（方法二）作出y=ex和y=4-4x的图象（图3-1-1-10）,即可直观地看出零点的个数为1.

图3-1-1-10

总结点评：

讨论函数零点个数问题是函数的重要应用，由于函数与方程的特殊关系，所以这个问题常用的方法是：

（1）解方程;

（2）画图象;（3）利用f（a）f（b）<0及函数的单调性;同时这些方法是有机联系的.

拓展提升

1.xx山东青岛高三教学质量检测,理19已知m∈R,设P:

x1和x2是方程x2-ax-2=0的两个根,不等式|m-5|≤|x1-x2|对任意实数a∈［1，2］恒成立；Q：

函数f（x）=3x2+2mx+m+有两个不同的零点,求使P和Q同时成立的实数m的取值范围.

解：

由题意知x1+x2=a,x1x2=-2,∴|x1-x2|==.

当a∈［1,2］时,的最小值为3.

要使|m-5|≤|x1-x2|对任意实数a∈［1，2］恒成立，只需|m－5|≤3,即2≤m≤8.

由已知得Q中:

f（x）=3x2+2mx+m+的判别式Δ=4m2-12（m+）=4m2-12m-16>0，得m<-1或m>4.

综上，要使P和Q同时成立，只需解得实数m的取值范围是（4,8］.

2.如果函数y=f（x）在区间［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且f（a）f（b）>0，那么函数y=f（x）在区间（a,b）内是否有零点？

可能有几个零点？

活动：

学生先思考或讨论，再回答.利用函数图象进行探索分析:

①有没有零点？

②零点的个数是奇数还是偶数？

解析:

零点个数可以是任意自然数.下面讨论在区间［-3,3］上函数零点个数，

（1）可能没有零点如图（图3-1-1-11）.

图3-1-1-11图3-1-1-12

（2）可能有一个零点如图（图3-1-1-12）.

（3）可能有两个零点如图（图3-1-1-13）.

图3-1-1-13图3-1-1-14

（4）可能有三个零点如图（图3-1-1-14）.

（5）可能有n（n∈N*）个零点,图略.

点评：

在区间［-3,3］上函数零点个数可以是任意自然数.借助计算机可以验证同学们的判断，激发学生学习兴趣.

课堂小结

本节学习了:

①零点的概念;②零点的判断方法;③利用函数的单调性证明零点的个数;④零点的应用.

学习方法：

由特殊到一般的方法.

数学思想：

转化思想、数形结合思想.

作业

课本P88练习1.

设计感想

本节以事例导入,该事例是学生很感兴趣的话题,发人深思而紧贴本节主题,为后面讲解埋好了伏笔.因为二次函数、二次方程永远是高考的重点,所以本节结合二次函数的图象性质详实讨论了有关二次函数的零点和二次方程的根的问题.本节不仅选用了一些传统经典的题目进行方法总结,还搜集了一些最新的高三模拟题加以充实提高.另外,本节目的明确、层次分明、难度适中,对学生可能产生兴趣的问题进行了拓展,希望大家喜欢.

2019-2020年高中数学（1.1方程的根与函数的零点第2课时）示范教案新人教A版必修1

复习

提出问题

①已知函数f（x）=mx2+mx+1没有零点，求实数m的范围.

②证明函数f（x）=x2+6x+10没有零点.

③已知函数f（x）=2mx2-x+m有一个零点，求实数m的范围.

④已知函数f（x）=2（m+1）x2+4mx+2m-1有两个零点，求实数m的范围.

活动：

先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.

讨论结果：

①因为Δ=m2-4m<0或m=0,∴0≤m<4.

②因为Δ=36-40=-4<0,∴没有零点.

③Δ=1-4m2=0或m=0,∴m=或m=或m=0.

④Δ=16m2-8（m+1）（2m-1）=-8m+8>0且2（m+1）≠0,∴m<1且m≠-1.

导入新课

思路1.（情景导入）

歌中唱到：

再“穿过”一条烦恼的河流明天就会到达，同学们知道生活中“穿过”的含义.

请同学们思考用数学语言是怎样描述函数图象“穿过”x轴的？

学生思考或讨论回答：

利用函数值的符号，即f（a）f（b）<0.

思路2.（直接导入）

教师直接点出课题：

这一节我们将进一步巩固有关方程的根与函数的零点的知识，总结求方程的根与函数的零点的方法，探寻其中的规律.

推进新课

新知探究

提出问题

①如果函数相应的方程不易求根，其图象也不易画出,怎样讨论其零点?

②用数学语言总结判断零点存在性定理,并找出好的理解记忆方法.

活动：

先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.

讨论结果：

①在闭区间［a,b］上，若f（a）f（b）<0，y=f（x）连续，则（a,b）内有零点.

②如果函数y=f（x）在区间［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且f（a）f（b）<0，那么函数y=f（x）在区间（a,b）内有零点，即存在c∈（a,b），使得f（c）=0,这个c也就是方程f（x）=0的根.我们把它叫做零点存在性定理.

因为闭区间端点符号相反的连续函数在开区间内有零点,可以简记为：

“闭端反连（脸），开内零点.”

应用示例

思路1

例1求函数f（x）=lnx+2x-6的零点的个数.

活动：

根据零点概念，学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示:

因为方程lnx+2x-6=0的根不易求得，函数f（x）=lnx+2x-6的图象不易画出，如果不借助计算机，怎么判断零点个数？

可以利用f（a）f（b）<0，及函数单调性.

解：

利用计算机作出x，f（x）的对应值表：

x

1

2

3

4

5

6

7

8

9

f（x）

-4

-1.3069

1.0986

3.3863

5.6094

7.7918

9.9450

12.0794

14.1972

由表和图3-1-1-15可知，f

（2）<0,f（3）>0,则f

（2）f（3）<0，这说明f（x）在区间（2,3）内有零点.由于函数在定义域（0,+∞）内是增函数，所以它仅有一个零点.

图3-1-1-15图3-1-1-16

变式训练

证明函数f（x）=lgx+x-8有且仅有一个零点.

证明:

如图3-1-1-16,因为f

（1）=-7,f（10）=3,

∴f

（1）f（10）<0.

∴函数f（x）=lgx+x-8有一个零点.

∵y=lgx为增函数，y=x-8是增函数，

∴函数f（x）=lgx+x-8是增函数.

∴函数f（x）=lgx+x-8有且仅有一个零点.

点评：

判断零点的个数:

（1）利用零点存在性定理判断存在性;

（2）利用单调性证明唯一性.

例2已知函数f（x）=3x+,

（1）判断函数零点的个数.

（2）找出零点所在区间.

解：

（1）设g（x）=3x,h（x）=,

作出它们的图象（图3-1-1-17），两函数图象交点的个数即为f（x）零点的个数.

所以两函数图象有且仅有一个交点，即函数f（x）=3x+有且仅有一个零点.

图3-1-1-17

（2）因为f（0）=-1,f

（1）=2.5,所以零点x∈（0,1）.

变式训练

证明函数f（x）=2x+4x-4有且仅有一个零点.

证明:

利用计算机作出x，f（x）的对应值表：

x

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

f（x）

-7.5

-3

2

8

16

28

48

84

172

图3-1-1-18

由表和图3-1-1-18可知，f（0）<0,f

（1）>0,则f（0）f

（1）<0，这说明f（x）在区间内有零点.下面证明函数在定义域（-∞,+∞）内是增函数.

设x1,x2∈（-∞,+∞）,且x1

f（x1）-f（x2）=2+4x1-4-（2+4x2-4）=2-2+4（x1-x2）=2（2-x2-1）+4（x1-x2）.

∵x10.

∴f（x1）-f（x2）<0.

∴函数在定义域（-∞,+∞）内是增函数.

则函数f（x）=2x+4x-4有且仅有一个零点.

思路2

例1证明函数y=2|x|-2恰有两个零点.

图3-1-1-19

证明:

如图3-1-1-19,∵f（-2）=2,f（0）=-1,f

（2）=2,

∴f（-2）f（0）<0,f（0）f

（2）<0.

∴函数y=2|x|-2有两个零点.

要证恰有两个零点,

需证函数y=2|x|-2在（0，+∞）上为单调的，函数y=2|x|-2在（-∞，0）上为单调的.

∵在（0，+∞）上，函数y=2|x|-2可化为y=2x-1,

下面证明f（x）=2