二次根式难题及答案.docx
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二次根式难题及答案
二次根式难题及答案
【篇一：
二次根式提高练习习题（含答案）】
判断题：
（每小题1分，共5分）
2
1．（?
2）ab＝－2ab．?
?
?
?
?
?
?
（）
2．－2的倒数是3＋2．（）
2
3．（x?
1）＝（x?
1）2．?
（）
4．ab、5．8x，
13
a3b、?
2a
是同类二次根式．?
（）xb
1
，9?
x2都不是最简二次根式．（）3
1
有意义．x?
3
（二）填空题：
（每小题2分，共20分）
6．当x__________时，式子7．化简－
15
8
2
8．a－a2?
1的有理化因式是____________．9．当1＜x＜4时，|x－4|＋
x2?
2x?
1＝________________．
ab?
c2d2ab?
cd
2
2
10．方程2（x－1）＝x＋1的解是____________．11．已知a、b、c为正数，d为负数，化简12．比较大小：
－
＝______．
127
_________－
14．
y?
3＝0，则（x－1）2＋（y＋3）2＝____
________．
15．x，y分别为8－的整数部分和小数部分，则2xy－y2＝____________．
（三）选择题：
（每小题3分，共15分）
16．已知x3?
3x2＝－xx?
3，则?
?
?
?
?
?
（）
（a）x≤0（b）x≤－3（c）x≥－3（d）－3≤x≤0
2222
17．若x＜y＜0，则x?
2xy?
y＋x?
2xy?
y＝?
?
?
?
?
?
?
?
?
（）
（a）2x（b）2y（c）－2x（d）－2y18．若0＜x＜1，则（x?
）?
4－（x?
（a）
1x
2
12
）?
4等于?
?
?
?
?
?
?
?
?
（）x
22
（b）－（c）－2x（d）2xxx
?
a3
（a＜0）得?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
（）19．化简a
（a）?
a（b）－a（c）－?
a（d）a
20．当a＜0，b＜0时，－a＋2ab－b可变形为?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
（）（a）（a?
b）2（b）－（a?
b）2（c）（?
a?
?
b）2（d）（?
a?
?
b）2
（四）计算题：
（每小题6分，共24分）
21．（5?
?
2）（5?
3?
2）；
22．
54?
－
42
－；
?
73?
23．（a2
abn－mm
mn＋
n
24．（a＋
a?
babb?
ab
abab?
bab?
aa?
（五）求值：
（每小题7分，共14分）
x3?
xy23?
2?
25．已知x＝，y＝，求4的值．3223
xy?
2xy?
xy3?
2?
2
26．当x＝1－2时，求
x
x?
a?
xx?
a
2
2
2
2
＋
2x?
x2?
a2x?
xx?
a
2
2
2
＋
1x?
a
2
2
的值．
六、解答题：
（每小题8分，共16分）
27．计算（2＋1）（
1111
＋＋＋?
＋）．
1?
22?
?
4?
28．若x，y为实数，且y＝?
4x＋4x?
1＋
（一）判断题：
（每小题1分，共5分）
1xyxy
．求?
2?
－?
2?
的值．2yxyx
2、【提示】
1?
2
3?
4?
2
2
3、（x?
1）＝|x－1|，（x≥1）．两式相等，必须x≥1．但等式左边x可取任何数．【答（x?
1）2＝x－1
1
3
a3b、?
2a
化成最简二次根式后再判断．【答案】√．xb
6、【提示】x何时有意义？
x≥0．分式何时有意义？
分母不等于零．【答案】x≥0且x≠9．7、【答案】－2aa．【点评】注意除法法则和积的算术平方根性质的运用．
8、【提示】（a－a2?
1）（________）＝a2－（a2?
1）2．a＋a2?
1．【答案】a＋a2?
1．9、【提示】x2－2x＋1＝（）2，x－1．当1＜x＜4时，x－4，x－1是正数还是负数？
x－4是负数，x－1是正数．【答案】3．10、【提示】把方程整理成ax＝b的形式后，a、b分别是多少？
2?
1，2?
1．【答案】x＝3＋22．11、【提示】c2d2＝|cd|＝－cd．
【答案】ab＋cd．【点评】∵ab＝（ab）2（ab＞0），∴ab－c2d2＝（ab?
cd）（ab?
cd）．12、【提示】27＝28，43＝48．
【答案】＜．【点评】先比较28，48的大小，再比较－
111
，的大小，最后比较－与284828
1
的大小．48
【点评】注意在化简过程中运用幂的运算法则和平方差公式．14、【答案】40．
【点评】x?
1≥0，
y?
3≥0．当x?
1＋y?
3＝0时，x＋1＝0，y－3＝0．
15、【提示】∵3＜＜4，∴_______＜8－＜__________．[4，5]．由于8－介于4与5之间，则其整数部分x＝？
小数部分y＝？
[x＝4，y＝4－]【答案】5．
【点评】求二次根式的整数部分和小数部分时，先要对无理数进行估算．在明确了二次根式的取值范
围后，其整数部分和小数部分就不难确定了．（三）选择题：
（每小题3分，共15分）16、【答案】d．
【点评】本题考查积的算术平方根性质成立的条件，（a）、（c）不正确是因为只考虑了其中一个算术平方根的意义．17、【提示】∵x＜y＜0，∴x－y＜0，x＋y＜0．
∴
x2?
2xy?
y2＝（x?
y）2＝|x－y|＝y－x．
x2?
2xy?
y2＝（x?
y）2＝|x＋y|＝－x－y．【答案】c．
【点评】本题考查二次根式的性质a2＝|a|．
18、【提示】（x－
12111
）＋4＝（x＋）2，（x＋）2－4＝（x－）2．又∵0＜x＜1，xxxx11
∴x＋＞0，x－＜0．【答案】d．
xx
【点评】本题考查完全平方公式和二次根式的性质．（a）不正确是因为用性质时没有注意当0＜x＜1时，x－
1
＜0．x
19、【提示】?
a3＝?
a?
a2＝?
aa2＝|a|?
a＝－a?
a．【答案】c．20、【提示】∵a＜0，b＜0，
∴－a＞0，－b＞0．并且－a＝（?
a）2，－b＝（?
b）2，ab＝（?
a）（?
b）．
【答案】c．【点评】本题考查逆向运用公式（a）2＝a（a≥0）和完全平方公式．注意（a）、（b）不正确是因为a＜0，b＜0时，a、b都没有意义．（四）计算题：
（每小题6分，共24分）
21、【提示】将?
看成一个整体，先用平方差公式，再用完全平方公式．【解】原式＝（5?
）2－
（2）2＝5－2＋3－2＝6－2．22、【提示】先分别分母有理化，再合并同类二次根式．
【解】原式＝
5（4?
）4（?
）2（3?
）
－－＝4＋－－－3＋7＝1．
16?
1111?
79?
7abnm1nm
－）22mn＋mmnabmn
1nnmmmm
?
－?
mn?
＋22
mabmabmnnnn
11a2?
ab?
1－＋＝．aba2b2a2b2
23、【提示】先将除法转化为乘法，再用乘法分配律展开，最后合并同类二次根式．
【解】原式＝（a2
1b21＝2
b
＝
【解】原式＝
24、【提示】本题应先将两个括号内的分式分别通分，然后分解因式并约分．
a?
?
b?
abaa（a?
）?
b（a?
b）?
（a?
b）（a?
b）
a?
bab（a?
）（a?
b）
a?
ba2?
aab?
bab?
b2?
a2?
b2
a?
bab（a?
）（a?
b）
＝
a?
bab（a?
b）（a?
）
＝－?
．
a?
b?
ab（a?
b）
【点评】本题如果先分母有理化，那么计算较烦琐．
（五）求值：
（每小题7分，共14分）25、【提示】先将已知条件化简，再将分式化简最后将已知条件代入求值．
【解】∵x＝
3?
2
＝（3?
2）2＝5＋2，
3?
23?
2y＝＝（3?
2）2＝5－26．
3?
2
∴x＋y＝10，x－y＝46，xy＝52－（26）2＝1．
2x（x?
y）（x?
y）x?
y46x3?
xy2
6．＝＝＝＝2243223
xy（x?
y）xy（x?
y）1?
105xy?
2xy?
xy
【点评】本题将x、y化简后，根据解题的需要，先分别求出“x＋y”、“x－y”、“xy”．从而使求值的过
程更简捷．
26、【提示】注意：
x2＋a2＝（x2?
a2）2，
∴x2＋a2－xx2?
a2＝x2?
a2（x2?
a2－x），x2－xx2?
a2＝－x（x2?
a2－x）．【解】原式＝
x
x?
a（x?
a?
x）
2
2
2
2
－
2x?
x2?
a2x（x?
a?
x）
2
2
＋
1x?
a
2
2
＝
x2?
x2?
a2（2x?
x2?
a2）?
x（x2?
a2?
x）
xx?
a（x?
a?
x）
xx2?
a2（x2?
a2?
x）
2
2
2
2
222222222
＝x?
2xx?
a?
（x?
a）?
xx?
a?
x=（x2?
a2）2?
xx2?
a2＝
xx2?
a2（x2?
a2?
x）
x2?
a2（x2?
a2?
x）xx2?
a2（x2?
a2?
x）
11．当x＝1－2时，原式＝＝－1－2．【点评】本题如果将前两个“分式”分拆成两个“分x1?
2
122x
式”之差，那么化简会更简便．即原式＝－2x?
x?
a＋
22222222
x?
ax?
a（x?
a?
x）x（x?
a?
x）
11111＝（＝1．?
）＋?
）－（2
xx?
a2?
xxx2?
a2x2?
a2?
xx2?
a2
＝
六、解答题：
（每小题8分，共16分）27、【提示】先将每个部分分母有理化后，再计算．
【解】原式＝（25＋1）（
2?
13?
24?
?
＋＋＋?
＋）2?
13?
24?
3100?
99
＝（25＋1）[（2?
1）＋（?
2）＋（4?
）＋?
＋（?
）]
＝（25＋1）（00
?
1）
＝9（25＋1）．
【点评】本题第二个括号内有99个不同分母，不可能通分．这里采用的是先分母有理化，将分母化为整数，从而使每一项转化成两数之差，然后逐项相消．这种方法也叫做裂项相消法．
1?
x?
?
?
1?
4x?
0?
4]
28、【提示】要使y有意义，必须满足什么条件？
[?
]你能求出x，y的值吗？
[?
14x?
1?
0.?
?
y?
.?
2?
1?
x?
?
?
1?
4x?
0111?
4
【解】要使y有意义，必须[?
，即?
∴x＝．当x＝时，y＝．
442?
4x?
1?
0?
x?
1.
?
4?
又∵
xxyxy
?
?
2?
－?
2?
＝（yyxyx
y2－xy2）（?
）
xyx
【篇二：
二次根式及经典习题及答案】
>知识点一：
二次根式的概念
形如（）的式子叫做二次根式。
注：
在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：
因为负数没有平方根，所以如，，式。
知识点二：
取值范围
等是二次根式，而
是，
为二次根式的前提条件，
等都不是二次根
1.二次根式有意义的条件：
由二次根式的意义可知，当a≧0
时，有意
义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2.二次根式无意义的条件：
因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，
有意义。
知识点三：
二次根式
（
即
0（
（
）的非负性
（
）是一个非负数，
没
）表示a的算术平方根，也就是说，）。
（
注：
因为二次根式）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正
数，0的算术平方根是0，所以非负数
（）的算术平方根是非负数，
即
0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。
这个性质在解答题目时应用较多，如若
，则a=0,b=0；若
知识点四：
二次根式（
）的性质
，则a=0,b=0
；若
，则a=0,b=0。
（）
文字语言叙述为：
一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：
二次根式的性质公式上面的公式也可以反过来应用：
若
（
，则
）是逆用平方根的定义得出的结论。
，如：
，
.
知识点五：
二次根式的性质
文字语言叙述为：
一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注：
1、化简
时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或
；若a是负数，则等于a的相反数-a,
；
中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，
时，先将它化成
与与
一定有意义；
0，则等于a本身，
即即2、
3、化简知识点六：
，再根据绝对值的意义来进行化简。
的异同点
表示的意义是不同的，
表示一个正数a的算术平
中
，
1、不同点：
方根的平方，而而
表示一个实数a的平方的算术平方根；在
与
中a可以是正实数，0，负实数。
但，
都是非负数，即
，
。
因而它的运算的结果是有差别的，
时，
=
；
时，
而
2、相同点：
当被开方数都是非负数，
即意义，而
.
无
二次根式
21.1二次根式：
1.
。
2.当__________
3.
?
1m?
1
有意义，则m的取值范围是。
4.当x
__________是二次根式。
5.在实数范围内分解因式：
x4?
9?
__________,x2?
?
2?
__________。
6.?
2x，则x的取值范围是7.
?
2?
x，则x的取值范围是。
8.x?
1?
的结果是9.当1?
x?
5x?
5?
_____________。
10.把
成立的条件是。
2005
11.
?
12.若a?
b?
1
与互为相反数，则?
a?
b?
13.
?
_____________
。
x?
0?
y?
?
2?
x?
0?
x?
y中，二次
根式有（）
a.2个b.3个c.4个d.5个14.
下列各式一定是二次根式的是（）
15.若2?
a
?
3
?
）
a.5?
2ab.1?
2ac.2a?
5d.2a?
116.若a?
?
（）
2
2
a.a2?
4b.a2?
2c.?
a2?
2?
d.?
a2?
4?
17.若a?
1）
a.?
a?
1
?
1?
a
c.?
a?
1
?
1?
a
18.
?
成立的x的取值范围是（）
a.x?
2b.x?
0c.x?
2d.x?
219.
?
的值是（）
a.0b.4a?
2c.2?
4ad.2?
4a或4a?
220.下面的推导中开始出错的步骤是（
）
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1?
?
?
?
?
2?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3?
?
2?
?
2?
?
?
?
?
?
?
?
?
4?
a.?
1?
b.?
2?
c.?
3?
d.?
4
?
21.?
y2?
4y?
4?
0，求xy的值。
22.
当a1取值最小，并求出这个最小值。
23.去掉下列各根式内的分母：
?
1?
x?
0?
?
2?
x?
1?
24.已知x2?
3x?
1?
0，求
25.已知a,
b
?
b?
1?
0，求a2005?
b2006的值。
【篇三：
八年级二次根式综合练习题及答案解析】
。
【答案】x≥4
【分析】二次根号内的数必须大于等于零，所以x-4≥0，解得x≥4
2.当__________
1
【答案】-2≤x≤
2
【分析】x+2≥0，1-2x≥0解得x≥－2，x≤
12
3.
1
有意义，则m的取值范围是。
m?
1
【答案】m≤0且m≠﹣1
【分析】﹣m≥0解得m≤0，因为分母不能为零，所以m＋1≠0解得m≠﹣1
4.当x
__________【答案】x为任意实数
是二次根式。
【分析】﹙1－x﹚2是恒大于等于0的，不论x的取值，都恒大于等于0，所以x为任意
实数
5.在实数范围内分解因式：
x4?
9?
__________,x2?
?
2?
__________。
【答案】﹙x2＋3﹚﹙x＋﹚﹙x－﹚，﹙x－2﹚2
4222
【分析】运用两次平方差公式：
x－9＝﹙x＋3﹚﹙x－3﹚＝﹙x＋3﹚﹙x＋﹚﹙x
22
－3﹚，运用完全平方差公式：
x－22x＋2＝﹙x－2﹚
6.?
2x，则x的取值范围是【答案】x≥0
【分析】二次根式开根号以后得到的数是正数，所以2x≥0，解得x≥0
7.
?
2?
x，则x的取值范围是。
【答案】x≤2
【分析】二次根式开根号以后得到的数是正数，所以2－x≥0，解得x≤2
8.x?
1?
的结果是【答案】1－x
【分析】x?
2x?
1＝（x?
1），因为?
x?
1?
≥0，x＜1所以结果为1－x
2
22
9.当1?
x?
5x?
5?
_____________。
【答案】4
【分析】因为x≥1所以
＋5－x＝4
x?
12＝x?
1，因为x＜5所以x－5的绝对值为5－x，x－1
10.
把的根号外的因式移到根号内等于。
【答案】﹣?
a
【分析】通过a?
1111?
2?
有意义可以知道a≤0，a?
≤0，所以a?
＝﹣a?
?
?
?
＝aaa?
a?
﹣?
a
11.
?
成立的条件是。
【答案】x≥1
【分析】x?
1和x?
1都有意义，所以x－1≥0，x＋1≥0解得x≥1
12.若a
?
b?
1互为相反数，则?
a?
b?
【答案】﹣1
2005
?
_____________。
【分析】互为相反数的两个数的和为0，所以a?
b?
＋a?
2b?
4＝0，?
?
a?
b?
1?
0
?
a?
2b?
4?
0
?
a?
?
2200520052005
解得?
所以?
a?
b?
＝?
?
2?
?
?
1?
?
＝?
?
1?
＝﹣1
b?
?
1?
13.当a?
0，
b?
0?
__________。
【答案】?
bab
【分析】负数的平方开根号的时候要在负数前加负号，ab3?
ab?
b2
?
?
bab14.
m?
_____,n?
______。
【答案】1,2
【分析】最简二次根式说明根号内的说不能开平方，即根号内的数的指数为1，
?
m?
n?
2?
1?
m?
1即?
解得?
3m?
2n?
2?
1n
?
2?
?
15.
?
?
__________。
【答案】6，18
【分析】二次根式的乘法，直接根号内的数相乘，然后得到的结果再开根号化简。
2?
3?
2?
3?
6，?
9?
62?
32?
62?
32?
6?
3?
1816.
计算：
?
_____________。
【答案】?
5【分析】
48?
327?
?
?
?
3?
3
?
3?
?
4?
9?
?
?
53?
3?
?
5
?
?
?
?
?
17.
。
【答案】
【分析】是否是同类二次根式，我们需要将二次根式化简为最简二次根式：
8?
22，?
2，?
32，20?
218.若最简二次根
式
a?
____,b?
____。
与是同类二次根式，则
【答案】1,1
【分析】由题两个根式都是二次根式可知：
a?
1?
2，由同类二次根式可知：
2a?
5?
3b?
4a，解得a?
1，b?
1
19.
，则它的周长是cm。
【答案】52?
2
【分析】三角形的周长为三遍的长度和，所以?
?
?
2?
2?
32?
52?
2320.
【答案】?
1
【分析】同类二次根式说明根号内的数是相同的即4a2?
1?
6a2?
1解得a?
?
121.
已知x?
y?
x3y?
xy3?
_________。
【答案】10
【分析】先因式分解，再求值：
a?
______。
xy?
xy?
xyx?
y?
22.
已知x?
33
?
22
?
3?
2
2
?
3?
2?
2?
?
?
?
?
?
2?
=10
?
?
?
2
x2?
x?
1?
________。
【答案】4?
3
【分析】先将x化简得x?
，所以x2?
x?
1?
23.
?
?
2
3?
1?
4?
3
2
?
2000
?
2
?
2001
?
______________。
【答案】?
2
【分析】先化简再求值：
?
?
?
2?
?
?
2?
?
3?
2?
?
=?
3?
23?
2?
?
?
2?
?
?
3?
4?
?
2?
?
?
2
2000
2001
2000
2000
2000
2000
?
2?
2
?
24.当a=-3时，二次根式1－a的值等于。
【答案】2
【分析】?
a?
?
?
3?
4?
2
25.若（x?
2）（3?
x）?
x?
2?
3?
x成立。
则x的取值范围为。
【答案】2≤x≤3
【分析】二次根式有意义说明根号内的数是大于等于0的，所以?
?
x?
2?
0
解得2?
x?
3
?
3?
x?
0
26.实数a在数轴上的位置如图所示，化简:
=___________.
【答案】1
【分析】由a在数轴上的位置可知1＜a＜2，所以
a?
1?
a?
2
2?
a?
1?
?
2?
a?
?
a?
1?
2?
a?
1
a2b
27.若ab＜0,则化简的结果是_____________.
【答案】?
ab
【分析】由ab＜0可知a和b异号，二次根式成立，根号内的数必须是非负数，即ab＞0，所以b＞0，a＜0，开根号的数必须为正数，所以结果为?
a
2
28.已知y1，则
y
?
。
x
【答案】
12
【分析】由二次根式成立可知：
?
?
2?
x?
01
解得x?
2，当x＝2时，y＝1，所以结果为
2?
x?
2?
0
（2-a）2+（a-3）2
29.已知：
当a的值是一个常数（确
定值），则这个常数是；【答案】1
【分析】代数式中的两个二次根式中的数都是恒大于等于0的，a可以取任意实数，当a＜2时，代数式化简为：
2－a＋3－a＝5－2a，当a＝2时，代数式化简为：
3－a，当2＜a＜3时，代数式化简为：
a－2＋3－a＝1，当a＝3时，代数式化简为：
a－2，当a＞3时，代数式化简为a－2＋a－3＝2a－5，所以符合题意的答案为1
30.若x?
1?
x?
y?
0，则x2006?
y2005的值为【答案】0
?
x?
1?
0
?
2005x?
1200620052006
?
?
【分析】由题意得?
x?
y?
0解得?
所以x?
y?
1?
?
1?
0?
?
y?
?
1
31.若正三角形的边长为25cm，则这个正三角形的面积是_______cm2。
【答案】5
【分析】正三角形的高为：
13
?
25?
三角形面积=?
25?
?
53
22
32.在平面直角坐标系中，点p（-3，-1）到原点的距离是。
【答案】2
【分析】直角坐标系中点到原点的距离可以根据勾股定理得：
3?
1
2
2
?
4?
2
33.观察下列等式：
①
14?
12?
1
=2+1；②
1?
2
=+2；③
=4+；……，请用字母表示你所发现的规律：
。
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