分别是正弦余弦正切余切正割余割.docx

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分别是正弦余弦正切余切正割余割

分别就是正弦余弦正切余切正割余割

TCVBI

vtTinmat

——

BBC

角0得所有匚角函数

tane=v/xcote=x/ysec0=i7xcsc6=r/v

（斜边为r,对边为y,邻边为X。

）

以及两个不常用，已趋于被淘汰得函数：

正矢函数versine=1-cos0

余矢函数coversQ=1-sin0正弦（sin）:

角Q得对边比上斜边余弦（cos）:

角a得邻边比上斜边正切（tan）:

角a得对边比上邻边余切（cot）:

/fla得邻边比上对边正割（sec）:

角a得斜边比上邻边余割（CSC）:

角a得斜边比上对边

『编辑本段1

同角三角函数间得基本关系式:

•平方关系：

sin^2a+cos^2a=1

1+tan^2a=sec^2a

1+cot^2a=csc^2a

•积得关系：

sina=tanaxcosa

cosa=cotaxsina

tana=stnaxsecacota=cosaxcscaseca=tanaxcscacsca=secaxcota•倒数关系：

tana・cota=1sina■csca=1

cosa・seca=1

商得关系：

sina/cosa=tana=seca/csca

cosa/sina=cota=csca/seca

直角三角形ABC中，

角A得正弦值就等于角A得对边比斜边，

余弦等于角A得邻边比斜边

正切等于对边比邻边，

•⑴三角函数恒等变形公式

•两角与与差得三角函数：

cos（a+p）=cosacosp・sina・sinp

cos（a-p）=cosacosp+sinasinp

sin（a±p）=sinacosp±cosasinptan（a+p）=（tana+tanp）/（1-tanatanp）tan（a-p）=（tana-tanp）/（1+tanatanp）

•三角与得三角函数：

sin（a+p+Y）=sina*cospcosY+cosasinpcosY+cosacospsinv-sinasinp-sinYcos（a+p+Y）=cosacospcosY-cosasinp・sinY・sinacospsinY・sinasinpcosYtan（a+p+Y）=（tana+tanp+tanY・tana・tanp・tanY”（1・tanatanp・tanp・tanY・tanY・tana）

•辅助角公式：

Asina+Bcosa=（A²+B²）A（4/2）sin（a+arctan（B/A））,其中

sint=B/（A&SLJp2;+B²）A（1/2）

cost=A/（A²；+B²；）A（1/2）

tant=B/A

Asina-Bcosa=（A²+B²）A（1/2）cos（a・t）,tant=A/B

•倍角公式：

sin（2a）=2sinacosa=2/（tana+cota）

cos（2a）=cos²（a）・sin²（a）=2cos²（a）・1=1・2sin²（a）tan（2a）=2tana/[1-tan²（a）]

■三倍角公式：

sin（3a）=3sina-4sin³（a）=4sinasin（60+a）sin（60・a）

cos（3a）=4cos³（a）・3cosa=4cosacos（60+a）cos（60・a）

tan{3a）=tana•tanCn73+a）・tan（TT/3・a）

•半角公式：

stn（a/2）=±\（（1-cosa）/2）

cos（a/2）=±<（（1+cosa）/2）

tan（a/2）=±\X（1-cosa）/（1+cosa））=sina/（1+cosa）=（1-cosa）/sina

•降幕公式

sin²（a）=（1-cos（2a））/2=versin（2a）/2

COS²（a）=（1+cos（2a））/2=covers（2a）/2

tan²（a）=（1-cos（2a））/（1+cos（2a））

•万能公式：

sina=2tan（a/2）/[1+tan²（a/2）]

cosa=[1-tan²（a/2）]/[1+tan²（a/2）]tana=2tan（a/2）/[1-tan²（a/2）]

•积化与差公式：

sinacosp=（1/2）[sin（a+p）+sin（a-p）]cosasinp=（1/2）[sin（a+p）-sin（a-p）]cosacosp={1/2）[cos（a+p）+cos（a-p）]sina'sinp=-（1/2）[cos（a+p）-cos（a-p）]

•与差化积公式：

sina+sinp=2stn[（a+p）/2]cos[（a-p）/2]sina-sinp=2cos[（a+p）/2]sin[（a-p）/2]cosa+cosp=2cos[（a+p）⑵cos[（a・0）/2]cosa-cosp=-2sin[（a邛）/2]sin[（a・B）/2]

•推导公式

tana+cota=2/sin2a

tana-cota=-2cot2a

1+cos2a=2cos²a

1-cos2a=2sin²a

1+sina=（sina/2+cosa/2）²

•其她：

sina+sin（a+2TT/n）+sin（a+2TT*2/n）+sin（a+2TT*3/n）++sin[a+2TT*（n-1）/n]=0

cosa+cos（a+2TT/n）+cos（a+2TT*2/n）+cos（a+2TT*3/n）++cos[a+2TT*（n-1）/n]=0

以及

sin²（a）+sin²（a-2TT/3）+sin²（a+2TT/3）=3/2tanAtanBtan（A+B）+tanA+tanB-tan（A+B）=O

cosx+cos2x+x、、+COSnx=[sin（n+1）x+sinnx・sinx]/2sinx证明：

左边=2sinx（cosx+cos2x+、、、+cosnx）/2sinx

=[sin2x-0+sin3x-sinx+sin4x-sin2x+x、、+sinnx-sin（n-2）x+sin（n+1）x-sin（n・1）xl/2sinx（积化与差）

=[sin（n+1）x+sinnx-sinx]/2sinx=右边

等式得证

sinx+sin2x+、、、+sinnx=-[cos（n+1）x+cosnx・cosx・1]/2sinx

证明：

左边=・2sinx[sinx+sin2x+、、、+sinnx]/（-2sinx）

=[cos2x・cos0+cos3x・cosx+、、、+cosnx-cos（n・2）x+cos（n+1）x・cos（n・1）x]/（・2sinx）

=・[cos（n+1）x+cosnx・cosx・1]/2sinx=右边

等式得证

三倍角公式推导

sin3a

=sin（2a+a）

=sin2acosa+cos2asina

=2sina（1-sin²a）+（1-2sin²：

a）sina

=3sina-4sin³a

cos3a

=cos（2a+a）

=cos2acosa-sin2asina

=（2cos²：

a-1）cosa-2（1-sin²:

a）cosa

=4cos³a・3cosa

sin3a=3sina-4sin³a

=4sina（3/4-sin²a）

=4sina[（\'3/2）²-sin²a]

=4sina（sin²60°・sin²：

a）

=4sina（sin60°+sina）（sin60°・sina）

=4sina*2sin[（60+a）/2]cos[（60''-a）/2]*2sin[（60''-a）/2]cos[（60%a）/2]

=4sinasin（60°+a）sin（60°・a）

cos3a=4cos³a-3cosa

=4cosa（cos²a・3/4）

=4cosa[cos²a・W3/2）²]

=4cosa（cos²：

a-cos²30°）

=4cosa（cosa+cos30o）（cosa・cos30。

）=4cosaTcos[（a+30o）/2]cos[（a・30o）/2r{・2sin[（a+30o）/2]sin[（a・30o）/2]}=-4cosasin（a+30o）sin（a-30。

）

=・4cosasim90°・（60°・a）]sin[・90°+（60°+a）]

=-4cosacos（60''-a）[-cos（60%a）]

=4cosacos（60o・a）cos（60%a）上述两式相比可得tan3a=tanatan（60°・a）tan（60%a）

[编辑本段]

三角函数得诱导公式

公式一：

设a为任意角,终边相同得角得同一三角函数得值相等:

I■对窟贱徇乗积为1

2•空白三*形的上両个15点的平方和等于下顶点的平方3•六边形相知的三个磧点1bC有关系5ic=b

sin（2kTT+a）=sina

cos（2kn+a）=cosa

tan（2kTT+a）=tana

cot（2kn+a）=cota

公式二：

设a为任意角,TT+a得三角函数值与a得三角函数值之间得关系：

sin（TT+a）=—sina

cos（TT+a）=—cosa

tan（TT+a）=tana

cot（TT+a）=cota

公式三：

任意角a与-a得三角函数值之间得关系：

sin（-a）=—sina

cos（—a）=cosa

tan（—a）=—tana

cot（—a）=—cota

公式四：

利用公式二与公式三可以得到TT-a^a得三角函数值之间得关系:

sin（TT—a）=sina

cos（TT—a）=—cosa

tan（TT-a）=—tana

cot（TT—a）=—cota

公式五：

利用公式一与公式三可以得到2n-a仃a得三角函数值之间得关系：

sin（2n—a）=—sina

cos（2n—a）=cosa

tan（2TT—a）=—tana

cot（2TT—a）=—cota

公式六：

n/2±a及3TT/2±a与a得三角函数值之间得关系：

sin（TT/2+a）=cosa

cos（TT/2+a）=—sina

tan（n/2+a）=—cota

cot（TT/2+a）=—tana

sin（TT/2—a）=cosa

cos（n/2—a）=sina

tan（TT/2—a）=cota

cot（TT/2—a）=tana

sin（3n/2+a）=—cosa

cos（3TT/2+a）=sina

tan（3TT/2+a）=—cota

cot（3n/2+a）=—tana

sin（3n/2—a）=—cosa

cos（3tt/2—a）=—sina

tan（3TT/2—a）=cota

cot（3n/2—a）=tana

（以上keZ）

补充：

6x9=54种诱导公式得表格以及推导方法（；^^冬法则与定号法则）

f（BIf（0）=、Pi

sinp

cosp

tanp

cotp

seep

esep

360k+a

sina

cosa

tana

cota

seca

csca

90"

cosa

sina

cota

tana

csca

seca

90°+a

cosa

-sina

-cota

•tena

-csca

seca

180°・a

sina

-cosa

-tana

•cota

-seca

csca

180°+a

-sina

-cosa

tana

cota

-seca

-csca

270o・a

-cosa

-sina

cota

tana

-csca

-seca

270"+a

-cosa

sina

-cota

-tana

csca

-seca

360o・a

-sina

cosa

-tana

-cota

seca

•csca

•a

-sina

cosa

-tana

-cota

seca

•csca

定需法则

90嗨奇数倍+a得三角函数，其绝对值ba三角函数得绝对值互为余函数。

90。

得偶数倍+a得三角函数与a得三角函数绝对值相同。

也就就是“奇余偶同，奇变偶不变”

定号法则

将a瞧做锐角（注意就是“瞧做”），按所得得角得象限，取三角函数得符号。

也就就是"象限楚号,符号瞧象限”

比如:

90°+cu宦名:

90。

就是90。

得奇数倍，所以应取余函数淀号:

将a瞧做锐角，那么90°+。

就是第二象限角，第二象限角得正弦为负，余弦为正。

所以sin（90^+a）=cosa,cos（90"+a）=-sina这个非常神奇，屡试不爽~

『编辑本段1

三角形与三角函数

1、正弦定理:

在三角形中,各边与它所对得角得正弦得比相等，即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R.（其中R为外接圆得半径）

2、第一余弦宦理:

三角形中任意一边等于其她两边以及对应角余弦得交叉乘积得与，即a=ccosB+bcosC

3、第二余弦左理:

三角形中任何一边得平方等于其它两边得平方之与减去这两边与它们夹角得余弦得积得2倍，即a^2=b^2+c^2-2bccosA

4、正切立理（napier比拟）:

三角形中任意两边差与得比值等于对应角半角差与得正切比值,RP（a-b）/（a+b）=tan[（A-B）⑵/tan[（A+B）/2]=tan[（A-B）/2]/cot（C/2）

5、三角形中得恒等式：

对于任意非直角三角形中，如三角形ABC,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC证明：

已知（A+B）=（n-C）

所以tan（A+B）=tan（TT-C）

则（tanA+tanB）/（1-tanAtanB）二（tanTT-tanC）/（1+tanTTtanC）

整理可得

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

类似地，我们同样也可以求证:

当a+p+Y=nn（nGZ）时，总有tana+tanp+tanY=tanatanptany

[编辑本段]

部分高等内容

•高等代数中三角函数得指数表示（由泰勒级数易得）：

sinx=[e^（ix）-e^（-ix）]/（2i）

cosx=[e^（ix）+e^（-ix）]/2

tanx=[e^（ix）-e^（-tx）]/[ie^（ix）+ie^（-ix）]

泰勒展开有无穷级数,e^z=exp（z）=1+z/1!

+z^2/2!

+z^3/3!

+z^4/4!

+・・•+z^n/n!

+…

此时三角函数左义域已推广至整个复数集。

■三角函数作为微分方程得解：

对于微分方程组y=-y“;y=yT有通解Q可证明

Q=Asinx+Bcosx,因此也可以从此出发定义三角函数。

补充:

由相应得指数表示我们可以立义一种类似得函数一双曲函数，其拥有很多

与三角函数得类似得性质，二者相映成趣。

角度a0。

30。

45。

60。

90。

180。

1、sina01/2\2/2\3/210

2、cosa1\3/2\2I21/20-1

3、tana0\3/31\3/0

4、cotaI\31\3/30/

（注:

叫”为根号）

［编辑本段］

三角函数得计算

帚级数

co+c1x+c2x2+、、、+cnxn+、、、=Xcnxn（n=0..«）c0+c1（x・a）+c2（x・a）2+、、.+cn（x・a）n+、、、=Xcn（x-a）n（n=0、、8）

它们得各项都就是正整数摹得卑函数，其中CO,C1.C2及a都就是常数,

这种级数称为帚级数、

泰勒展开式（暮级数展开法）：

f（x）=f（a）+r（a）/1!

*（x-a）+f"（a）/2r（x-a）2+^、、f（n）（a）/nr（x・a）n+、、、

实用幕级数：

ex=1+x+x2/2!

+x3/3!

+、、、+xn/n!

+.、、

ln（1+x）=X-X2/3+X3/3-.、、（・1）k・1・xk/k+、、、（|x|<1）

sinX=x・x3/3!

+x5/5!

・、、、（-1）k-1*x2k-1/（2k-1）!

+^、、（-<«

（・8VX<8）

（|X|<1）

…）（|x|<1）

cosX=1・x2/2!

+x4/4!

・、、、（•1）k・x2k/（2k）!

+、、、arcsinx=x+1/2*x3/3+1*3/（2*4）*x5/5+、、、arccosx=tt-（x+1/2*x3/3+1*3/（2*4）*x5/5+arctanx=x-x^3/3+x^5/5・、、、（x<1）sinhX=x+x3/3!

+x5/5!

+、、、（-1）k-Vx2k-1/（2k-1）!

+x、、（-^

coshX=1+x2/2!

+x4/4!

+x、、（-1）k*x2k/（2k）!

+^、、（-<«

在解初等三角函数时，只需记住公式便可轻松作答，在竞赛中，往往会用到打图像结合得方法求三角函数值、三角函数不等式、而积等等。

傅立叶级数（三角级数）f（x）=a0/2+》（n=0、aO=1/TTf（TT.、•TT）an=1/TTf（TT.、-TT）bn=1/TTf（TT.、-TT）

三角函数定义域与值域

sin（x）,cos（x）得立义域为R,值域为（-1,1〕tan（x）得是义域为X不等于TT/2+kTT,值域为Rcot（x）得主义域为X不等于kTT,值域为R

［编辑本段］

初等三角函数导数

y=sinx…y・=cosx

y=cosx—y=-sinx

y=tanx—y=1/（cosx）^2;=（secx）^2;y=cotx—y*=-1/（sinx）^2=-（cscx）^2：

y=secx—y'=secxtanx

y=cscx—y=-cscxcotx

y=arcsinx…y'=1/#1・x八2;

y=arccosx—y'=-1/<1-x^2:

y=arctanx—y=1/（1+x^2;）y=arccotx—y=-1/（1+x^2;）

［编辑本段］

反三角函数

三角函数得反函数•就是多值函数。

它们就是反正弦Arcsinx,反余弦Arccosx.反正切Arctanx,反余切Arccotx等，各自表示其正弦、余弦、正切、余切、正割、余割为X得角。

为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数得值y限在y=-TT/2

反三角函数实际上并不能叫做函数，因为它并不满足一个自变量对应一个函数值得要求，其图像与其原函数关于函数y=x对称。

其概念首先由欧拉提出,并且首先使用了arc+函数名得形式表示反三角函数，而不就是f-l（x）.

反三角函数主要就是三个：

y=arcstn（x）,>k义域［-1,1］,值域［-n/2.TT/2］.图象用红色线条；

y=arccos（x）淀义域［-1.1］,值域图象用兰色线条；y=arctan（x）,>k义域（-~+~）.值域（-n/2,TT/2）.图象用绿色线条；sinarcsin（x）=x,>k义域卜1,1］,值域【】

证明方法如下:

设arcsin（x）=y,则sm（y）=x，将这两个式子代如上式即可得

其她几个用类似方法可得。