大一高数试题及答案.docx
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大一高数试题及答案
大一高数试题及答案
一、填空题（每小题１分，共１０分）
________ １
１．函数ｙ＝ａｒｃｓｉｎ√１－ｘ 2 ＋ ────── 的定义域为
_________
√ １－ｘ 2
_______________ 。
２．函数ｙ＝ｘ＋ｅ x 上点（０，１）处的切线方程是______________。
ｆ（Xo＋２h）－ｆ（Xo－３h）
３．设ｆ（X）在Xo可导且ｆ'（Xo）＝Ａ，则ｌｉｍ ───────────────
h→o h
＝ _____________。
４．设曲线过（０，１），且其上任意点（Ｘ，Ｙ）的切线斜率为２Ｘ，则该曲线的方程是
____________ 。
ｘ
５．∫─────ｄｘ＝_____________。
１－ｘ 4
１
６．ｌｉｍＸｓｉｎ───＝___________。
x→∞ Ｘ
７．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｓｉｎ（ｘｙ），则ｆx（ｘ，ｙ）＝____________。
_______
R √R2 －ｘ 2
８．累次积分∫ ｄｘ ∫ ｆ（Ｘ 2 ＋Ｙ 2 ）ｄｙ化为极坐标下的累次积分为
____________ 。
0 0
ｄ 3 ｙ ３ ｄ 2 ｙ
９．微分方程─── ＋ ──（─── ） 2 的阶数为____________。
ｄｘ 3 ｘ ｄｘ 2
∞ ∞
１０．设级数 ∑ ａ n 发散，则级数 ∑ ａ n _______________。
n=1 n=1000
二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（ ）内，
１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分）
（一）每小题１分，共１０分
１
１．设函数ｆ（ｘ）＝── ，ｇ（ｘ）＝１－ｘ，则ｆ［ｇ（ｘ）］＝ （ ）
ｘ
１ １ １
① １－ ── ②１＋ ── ③──── ④ｘ
ｘ ｘ １－ｘ
１
２．ｘ→0 时，ｘｓｉｎ──＋１是 （ ）
ｘ
① 无穷大量 ②无穷小量 ③有界变量 ④无界变量
３．下列说法正确的是 （ ）
① 若ｆ（ X ）在 X＝Xo连续， 则ｆ（ X ）在X＝Xo可导
② 若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可导，则ｆ（ X ）在X＝Xo不连续
③ 若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可微，则ｆ（ X ）在X＝Xo极限不存在
④ 若ｆ（ X ）在 X＝Xo不连续，则ｆ（ X ）在X＝Xo不可导
４．若在区间（ａ，ｂ）内恒有ｆ'（ｘ）〈０，ｆ"（ｘ）〉０，则在（ａ，ｂ）
内曲线弧ｙ＝ｆ（ｘ）为 （ ）
① 上升的凸弧 ②下降的凸弧 ③上升的凹弧 ④下降的凹弧
５．设Ｆ'（x） ＝ Ｇ'（x），则 （ ）
① Ｆ（X）＋Ｇ（X） 为常数
② Ｆ（X）－Ｇ（X） 为常数
③ Ｆ（X）－Ｇ（X） ＝０
ｄ ｄ
④──∫ Ｆ（ｘ）ｄｘ ＝ ──∫Ｇ（ｘ）ｄｘ
ｄｘ ｄｘ
1
６．∫│ｘ│ｄｘ ＝ （ ）
-1
① ０ ② １ ③ ２ ④ ３
７．方程２ｘ＋３ｙ＝１在空间表示的图形是 （ ）
① 平行于ｘｏｙ面的平面
② 平行于ｏｚ轴的平面
③ 过ｏｚ轴的平面
④ 直线
ｘ
８．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ 3 ＋ｙ 3 ＋ｘ 2 ｙｔｇ── ，则ｆ（ｔｘ，ｔｙ）＝ （ ）
ｙ
① ｔｆ（ｘ，ｙ） ②ｔ 2 ｆ（ｘ，ｙ）
１
③ ｔ 3 ｆ（ｘ，ｙ） ④ ──ｆ（ｘ，ｙ）
ｔ 2
ａ n ＋１ ∞
９．设ａ n ≥０，且ｌｉｍ ───── ＝ｐ，则级数 ∑ａ n （ ）
n→∞ ａ n=1
① 在ｐ〉１时收敛，ｐ〈１时发散
② 在ｐ≥１时收敛，ｐ〈１时发散
③ 在ｐ≤１时收敛，ｐ〉１时发散
④ 在ｐ〈１时收敛，ｐ〉１时发散
１０．方程ｙ'＋３ｘｙ＝６ｘ 2 ｙ是 （ ）
① 一阶线性非齐次微分方程
② 齐次微分方程
③ 可分离变量的微分方程
④ 二阶微分方程
（二）每小题２分，共２０分
１１．下列函数中为偶函数的是 （ ）
① ｙ＝ｅ x ②ｙ＝ｘ 3 ＋１
③ ｙ＝ｘ 3 ｃｏｓｘ ④ｙ＝ｌｎ│ｘ│
１２．设ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）可导，ａ〈ｘ 1 〈ｘ 2 〈ｂ，则至少有一点ζ∈（ａ，ｂ）使（ ）
① ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ）
② ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'（ζ）（ｘ 2 －ｘ 1 ）
③ ｆ（ｘ 2 ）－ｆ（ｘ 1 ）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ）
④ ｆ（ｘ 2 ）－ｆ（ｘ 1 ）＝ｆ'（ζ）（ｘ 2 －ｘ 1 ）
１３．设ｆ（X）在 X＝Xo 的左右导数存在且相等是ｆ（X）在 X＝Xo 可导的 （ ）
① 充分必要的条件
② 必要非充分的条件
③ 必要且充分的条件
④ 既非必要又非充分的条件
ｄ
１４．设２ｆ（ｘ）ｃｏｓｘ＝──［ｆ（ｘ）］ 2 ，则ｆ（０）＝１，
则ｆ（ｘ）＝ （ ）
ｄｘ
① ｃｏｓｘ ②２－ｃｏｓｘ ③１＋ｓｉｎｘ ④１－ｓｉｎｘ
１５．过点（１，２）且切线斜率为４ｘ 3 的曲线方程为ｙ＝ （ ）
① ｘ 4 ②ｘ 4 ＋ｃ ③ｘ 4 ＋１ ④ｘ 4 －１
１ x
１６．ｌｉｍ ───∫ ３ｔｇｔ 2 ｄｔ＝ （ ）
x→0 ｘ 3 0
１
① ０ ② １ ③── ④∞
３
ｘｙ
１７．ｌｉｍｘｙｓｉｎ ───── ＝ （ ）
x→0 ｘ 2 ＋ｙ 2
y→0
① ０ ② １ ③ ∞ ④ ｓｉｎ１
１８．对微分方程ｙ"＝ｆ（ｙ，ｙ'），降阶的方法是 （ ）
① 设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝ｐ'
ｄｐ
② 设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝ ───
ｄｙ
ｄｐ
③ 设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝ｐ───
ｄｙ
１ ｄｐ
④ 设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝── ───
ｐ ｄｙ
∞ ∞
１９．设幂级数 ∑ ａ n ｘ n 在ｘ o （ｘ o ≠０）收敛，则 ∑ ａ n ｘ n 在│ｘ│〈│ｘo│（ ）
n=o n=o
① 绝对收敛 ②条件收敛 ③发散 ④收敛性与ａ n 有关
ｓｉｎｘ
２０．设Ｄ域由ｙ＝ｘ，ｙ＝ｘ 2 所围成，则∫∫─────ｄσ＝ （ ）
D ｘ
1 1 ｓｉｎｘ
①∫ ｄｘ ∫───── ｄｙ
0 x ｘ
__
1 √y ｓｉｎｘ
②∫ ｄｙ ∫ ─────ｄｘ
0 y ｘ
__
1 √x ｓｉｎｘ
③∫ ｄｘ ∫ ─────ｄｙ
0 x ｘ
__
1 √x ｓｉｎｘ
④∫ ｄｙ ∫ ─────ｄｘ
0 x ｘ
三、计算题（每小题５分，共４５分）
___________
／ｘ－１
１．设ｙ＝／ ────── 求 ｙ' 。
√ ｘ（ｘ＋３）
ｓｉｎ（９ｘ 2 －１６）
２．求ｌｉｍ ─────────── 。
x→4/3 ３ｘ－４
ｄｘ
３．计算 ∫─────── 。
（１＋ｅ x ） 2
t 1 ｄｙ
４．设ｘ＝ ∫（ｃｏｓｕ）ａｒｃｔｇｕｄｕ，ｙ＝∫（ｓｉｎｕ）ａｒｃｔｇｕｄｕ，求 ─── 。
0 t ｄｘ
５．求过点Ａ（２，１，－１），Ｂ（１，１，２）的直线方程。
___
６．设ｕ＝ｅ x ＋√ｙ＋ｓｉｎｚ，求 ｄｕ 。
x asinθ
７．计算 ∫ ∫ ｒｓｉｎθｄｒｄθ 。
0 0
ｙ＋１
８．求微分方程ｄｙ＝（ ──── ） 2 ｄｘ通解 。
ｘ＋１
３
９．将ｆ（ｘ）＝ ───────── 展成的幂级数 。
（１－ｘ）（２＋ｘ）
四、应用和证明题（共１５分）
１．（８分）设一质量为ｍ的物体从高空自由落下，空气阻力正比于速度
（比例常数为ｋ〉０）求速度与时间的关系。
___ １
２．（７分）借助于函数的单调性证明：
当ｘ〉１时，２√ｘ 〉３－ ── 。
ｘ
附：
高数
（一）参考答案和评分标准
一、填空题（每小题１分，共１０分）
１．（－１，１）
２．２ｘ－ｙ＋１＝０
３．５Ａ
４．ｙ＝ｘ 2 ＋１
１
５．──ａｒｃｔｇｘ 2 ＋ｃ
２
６．１
７．ｙｃｏｓ（ｘｙ）
π/2 π
８．∫ ｄθ∫ ｆ（ｒ 2 ）ｒｄｒ
0 0
９．三阶
１０．发散
二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的
（ ）内，１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分）
（一）每小题１分，共１０分
１．③ ２．③ ３．④ ４．④ ５．②
６．② ７．② ８．⑤ ９．④ １０．③
（二）每小题２分，共２０分
１１．④ １２．④ １３．⑤ １４．③ １５．③
１６．② １７．① １８．③ １９．① ２０．②
三、计算题（每小题５分，共４５分）
１
１．解：
ｌｎｙ＝──［ｌｎ（ｘ－１）－ｌｎｘ－ｌｎ（ｘ＋３）］ （２分）
２
１ １ １ １ １
── ｙ'＝──（────－──－────） （２分）
ｙ ２ ｘ－１ ｘ ｘ＋３
__________
１ ／ｘ－１ １ １ １
ｙ'＝── ／──────（────－──－────） （１分）
２ √ ｘ（ｘ＋３） ｘ－１ ｘ ｘ＋３
１８ｘｃｏｓ（９ｘ 2 －１６）
２．解：
原式＝ｌｉｍ ──────────────── （３分）
x→4/3 ３
１８（４／３）ｃｏｓ［９（４／３） 2 －１６］
＝ ────────────────────── ＝８ （２分）
３
１＋ｅ x －ｅ x
３．解：
原式＝∫───────ｄｘ （２分）
（１＋ｅ x ） 2
ｄｘ ｄ（１＋ｅ x ）
＝∫─────－∫─────── （１分）
１＋ｅ x （１＋ｅ x ） 2
１＋ｅ x －ｅ x １
＝∫───────ｄｘ＋ ───── （１分）
１＋ｅ x １＋ｅ x
１
＝ｘ－ｌｎ（１＋ｅ x ）＋ ───── ＋ｃ （１分）
１＋ｅ x
４．解：
因为ｄｘ＝（ｃｏｓｔ）ａｒｃｔｇｔｄｔ，ｄｙ＝－（ｓｉｎｔ）ａｒｃｔｇｔｄｔ （３分）
ｄｙ －（ｓｉｎｔ）ａｒｃｔｇｔｄｔ
所以 ─── ＝ ──────────────── ＝－ｔｇｔ （２分）
ｄｘ （ｃｏｓｔ）ａｒｃｔｇｔｄｔ
５．解：
所求直线的方向数为｛１，０，－３｝ （３分）
ｘ－１ ｙ－１ ｚ－２
所求直线方程为 ────＝────＝──── （２分）
１ ０ －３
__ __
６．解：
ｄｕ＝ｅ x+√y +sinz ｄ（ｘ＋√ｙ＋ｓｉｎｘ） （３分）
__
一、
D C A C A
B C C B A
D A B A D
A D B D A
二 课程代码：
00020
一、单项选择题（本大题共 20 小题，每小题 2 分，共 40 分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1. 设函数 （ ）
A. B.
C. D.
2. 已知 f（x）=ax+b, 且 f（-1）=2,f
（1）=-2, 则 f（x）= （ ）
A.x+3
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