第六章实数全章教案.docx
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第六章实数全章教案
6.1平方根（第1课时）
一、教学目标
1.经历算术平方根概念的形成过程，了解算术平方根的概念.
2.会求某些正数（完全平方数）的算术平方根并会用符号表示.
二、重点和难点
1.重点：
算术平方根的概念.
2.难点：
算术平方根的概念.
（本节课需要的各种图表要提前画好）
三、合作探究请看下面的例子.
学校要举行美术作品比赛，扎西很高兴.他想裁出一块面积为25平方分米的正方形画布，
画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少分米？
（师演示一张面积为25平方分米的纸）
（一）谁来说这块正方形画布的边长应取多少分米？
你是怎么算出来的？
答：
因为52＝25（板书：
因为52＝25），所以这个正方形画布的边长应取5分米（板书：
所以边长＝5分米）.
（二）（完成下表）
正方形的面积
9
16
36
1
4
25
边长
这个实例中的问题、填表中的问题实际上是一个问题，什么问题？
它们都是已知正方形面积求边长的问题.通过解决这个问题，我们就有了算术平方根的概念.
正数3的平方等于9，我们把正数3叫做9的算术平方根.
正数4的平方等于16，我们把正数4叫做16的算术平方根.
说说6和36这两个数？
⋯⋯（多让几位同学说，学生说得不正确的地方教师随即纠正）说说1和1这两个数？
同桌之间互相说一说5和25这两个数.（同桌互相说）说了这么多，同学们大概已经知道了算术平方根的意思.那么什么是算术平方根呢？
还是先
在小组里讨论讨论，说说自己的看法.
（三）什么是算术平方根呢？
如果一个正数的平方等于a，那么这个正数叫做a的算术平方根
请大家把算术平方根概念默读两遍.（生默读）
（师让学生拿出提前准备好这样的10张卡片，一面写1－10，另一面写1－10的平方.生
任意抽一张卡片，让其他学生回答平方或算术平方根。
（按以上过程抽完所有卡片）
如果一个正数的平方等于a，那么这个正数叫做a的算术平方根.为了书写方便，我们把a的算术平方根记作a（板书：
a的算术平方根记作a）.
a叫做被开方数，a表示a的算
（指准上图）看到没有？
这根钓鱼杆似的符号叫做根号，术平方根.
四、精讲精练
精讲
例：
求下列各数的算术平方根：
（1）
49
64；
（2）0.0001
（要注意解题格式）
精练
1.填空：
（1）因为=64，所以64的算术平方根是，即64＝
（2）因为2=0.25，所以0.25的算术平方根是，即0.25＝
（3）因为2=16，所以16的算术平方根是
4949
22
3.根据112＝121，122
222＝144，13＝169，14＝196，15＝225，162＝256，172＝289，182＝324，192＝361，填空并记住下列各式：
121＝，144＝，169＝，
196＝，225＝，256＝，
289＝，324＝，361＝.
（学生记住没有，教师可以利用卡片进行检查，并要求学生课后记熟）
4.辨析题：
卓玛认为，因为（－4）2＝16，所以16的算术平方根是－4.你认为卓玛的看法对
吗？
为什么？
五、课堂小结，
a的算术平方根记作a，像钓鱼杆似的东西叫做根号，a叫做被开方数
六、作业
6.1平方根（第2课时）
一、教学目标
1.通过由正方形面积求边长，让学生经历2的估值过程，加深对算术平方根概念的理解，感受无理数，初步了解无限不循环小数的特点.
2.会用计算器求算术平方根.
二、重点和难点
1.重点：
感受无理数.
2.难点：
感受无理数.（本节课使用计算器，最好每个同学都要有计算器）
三、合作探究
1.填空：
如果一个正数的平方等于a，那么这个正数叫做a的，记作
面积＝4
2.填空：
（1）
因为___
__2＝36，所以36的算术平方根是
__，即36＝；
（2）
因为（__
29
__）2＝，所以
64
9
的算术平方根是__
64
，即64＝；
（3）
因为___
__2＝0.81，所以
0.81的算术平方根是_
，即0.81＝；
（4）
因为___
__2＝0.572，所以
0.572的算术平方根是_
，即0.572＝
2.
0的平方根
经历有关平方根结论的归纳过程，知道正数有两个平方根，它们互为相反数，
是0，负数没有平方根.
二、重点和难点
1.重点：
平方根的概念.
2.难点：
归纳有关平方根的结论.
三、合作探究
（一）基本训练，巩固旧知
1.填空：
如果一个的平方等于a，那么这个叫做a的算术平方根，a的算术平方根记作.
2.填空：
（1）面积为16的正方形，边长＝＝；
（2）面积为15的正方形，边长＝≈（利用计算器求值，精确到0.01）.
3.填空：
（1）因为1.72＝2.89，所以2.89的算术平方根等于，即2.89＝；
（2）因为1.732＝2.9929，所以3的算术平方根约等于，即3≈.
（二）什么是平方根呢？
大家先来思考这么一个问题.
（三）如果一个正数的平方等于9，这个正数是多少？
如果一个数的平方等于9，这个数是多少？
22和算术平方根的概念类似，（指准32＝9）我们把3叫做9的平方根，（指准（-3）2＝9）把－3也叫做9的平方根，也就是3和－3是9的平方根（板书：
3和－3是9的平方根）.
我们再来看几个例子.
（师出示下表）
2x
16
36
49
1
4
25
x
同学们大概已经明白了平方根的意思.平方根的概念与算术平方根的概念是类似的，谁会用一句话概括什么是平方根？
平方根：
如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.大家把平方根概念默读两遍.（生默读）平方根概念与算术平方根概念只有一点点区别，哪一点点区别？
四、精讲精练例1、求下面各数的平方根：
（1）100；
（2）0.25；（3）0；（4）－4；
（1）因为
（±10）2＝100），所以100的平方根是＋10和－10
0的平方是0，正数的平方是正数，负数的平方还是正数，所以任何数的平方都不会等于－
4.这说明什么？
从这个例题你能得出什么结论？
（稍停片刻）正数有几个平方根？
0有几个平方根？
负数有几个平方根？
小组讨论：
正数有平方根（板书：
正数有两个平方根）.平方根有什么关系？
0的平方根有个，平方根是.负数平方根大家把平方根的这三条结论读两遍.
精练
1.填空：
（1）
因为（
）
2＝49，所以49的平方根是；
（2）
因为（
）
2＝0，所以0的平方根是；
（3）
因为（
）
2＝1.96，所以1.96的平方根是；
2.填空：
（1）121的平方根是，121的算术平方根是；
（2）0.36的平方根是，0.36的算术平方根是；
（3）的平方根是8和－8，的算术平方根是8；
333
（4）的平方根是和，的算术平方根是.
555
3.判断题：
对的画“√”，错的画“×”.
（1）0的平方根是0（）
（2）－25的平方根是－5；（）
（3）－5的平方是25；（）
（4）5是25的一个平方根；（）
（5）25的平方根是5；（）
（6）25的算术平方根是5；（）
（7）52的平方根是±5；（）
（8）（-5）2的算术平方根是－5.（）
五、课堂小结：
如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.
六、作业
这个正方形的面积等于1，它的边长等于多少？
用算术平方根来说这个正方形边长和面积的关系？
（指准图）这个正方形的边长等于面积边长＝1）.1等于多少？
生：
等于1.（师板书：
＝1）
（看下图）这个正方形的面积等于2，它的边长等于什么？
（稍停）因为边长等于面积的算术平方根，所以边长等于2（板书：
边长＝2）.（上面三个图的位置如下所示）
4＝2，1＝1，那么2等于多少呢？
（在2后板书：
＝？
）求2等于多少，怎么求？
在1和2之间的数有很多，到底哪个数等于2呢？
我们怎么才能找到这个数呢？
我们可以这样来考虑问题，等于2的那个数，它的平方等于多少？
第一条线索是那个数在1和2之间，第二条线索是那个数的平方恰好等于2.根据这两条线索，我们来找等于2的那个数.
2
我们在1和2之间找一个数，譬如找1.3，（板书：
1.32＝）1.3的平方等于多少？
（师生共同用计算器计算）
1.69不到2，说明1.3比我们要找的那个数小.1.3小了，那我们找1.5，1.5的平方等于多少？
（师生共同用计算器计算）2.25超过2，说明1.5比我们要找的那个数大.找1.3小了，找1.5又大了，下面怎么找呢？
大家用计算器，算一算，找一找，哪个数的平方恰好等于2？
2等于1.41421356点点点，可见是一个小数，这个小数与我们以前学过的小数相比有点不同，有什么不同呢？
第一，这个小数是无限小数（板书：
无限）.2是无限小数，又是不循环小数，所以2是一个无限不循环小数.
除了2，还有别的无限不循环小数吗？
无限不循环小数还有很多很多，3、5、6、
7都是无限不循环小数（板书：
3、5、6、7都是无限不循环小数）.
那怎么求3、5、6、7这些无限不循环小数的值呢？
我们可以利用计算器来求.四、
精讲精练例用计算器求下列各式的值：
（1）3（精确到0.001）；
（2）3136.
（按键时，教师要领着学生做；解题格式要与课本上的相同）练习
1.填空：
（1）面积为9的正方形，边长＝＝；
（2）面积为7的正方形，边长＝≈（利用计算器求值，精确到0.001）
2.用计算器求值：
（1）1849＝；
（2）86.8624＝；
（3）6≈（精确到0.01）.
3.选做题：
（1）用计算器计算，并将计算结果填入下表：
0.625
6.25
62.5
6250
62500
25
（2）观察上表，你发现规律了吗？
根据你发现的规律，不用计算器，直接写出下列各式的值：
62500＝，6250000＝，
0.0625＝，0.000625＝.
五、课堂小结
无理数
六、作业
6.2立方根
（1）
一、学习目标：
1、了解立方根的概念，初步学会用根号表示一个数的立方根.
2、了解开立方与立方互为逆运算，会用立方运算求某些数的立方根.
3、体会一个数的立方根的惟一性，分清一个数的立方根与平方根的区别。
二、重点难点
重点：
立方根的概念和求法。
难点：
立方根与平方根的区别。
三、合作探究
1.平方根是如何定义的?
平方根有哪些性质?
2、问题：
要制作一种容积为27m3的正方体形状的包装箱，这种包装箱的边长应该是
3、思考：
（1）的立方等于-8？
（2）如果上面问题中正方体的体积为5cm3，正方体的边长又该是
4、立方根的概念：
如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的.（也叫做数a的）.
换句话说,如果,那么x叫做a的立方根或三次方根.记作：
.读作
其中a是，3是，且根指数3省略（填能或不能），否
则与平方根混淆.
5、开立方
求一个数的的运算叫做开立方，与开立方互为逆运算（小组合作学习）
6、立方根的性质
（1）教科书探究
（2）总结归纳：
正数的立方根是数，负数的立方根是数，0的立方根是.
（3）思考：
每一个数都有立方根吗？
一个数有几个立方根呢？
（4）平方根与立方根有什么不同？
被开方数
平方根
立方根
正数
负数
零
四、精讲精练
例1、求下列各式的值：
（1）364；
例2、求满足下列各式的未知数x：
（1）x30.008
练习
1.判断正误:
（1）、25的立方根是5；（）
（2）、互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数；（）
（3）、任何数的立方根只有一个；（）
（4）、如果一个数的平方根与其立方根相同，则这个数是1；（）
（5）、如果一个数的立方根是这个数的本身，那么这个数一定是零；（）
（6）、一个数的立方根不是正数就是负数.（）
（7）、–64没有立方根.（）
2、
（1）64的平方根是立方根是.
（2）327的立方根是.（3）37是的立方根.
（4）若x,9则x=,若x,39则x=.
（5）若x2,x则x的取值范围是,若3x有意义，则x的取值范围是
2
xy
4、已知x-2的平方根是4，2xy12的立方根是4，求xy的值.
五、课堂小结：
正数、负数、0都有立方根
六、作业：
2、4
6.2立方根
（2）
引入
1.立方根及开立方的概念
2.平方根与立方根有什么不同？
被开方数
平方根
立方根
正数
负数
零
3、
（1）64的平方根是立方根是
（2）327的立方根是.（3）是的立方根.
23
（4）若x,9则x=,若,x3则9x=.
（5）若2,则x的取值范围是
xx
合作探究
1、完成教科书探究，总结规律
求负数的立方根，可以先求出这个负数的的立方根，再取其，即思考:
立方根是它本身的数是，平方根是它本身的数是
2、一些计算机设有键，用它可以求出一个立方根（或其近似值）。
有些计算器需要用
键求一个数的立方根。
精讲精练
3）31
1000
例1、求下列各式的值：
（1）3125；
（2）3210
11
例2、求满足下列各式的未知数x：
3
（1）64x31250
练习
1.完成练习
课堂小结：
求负数的立方根，可以先求出这个负数的的立方根，再取其，即
思考:
立方根是它本身的数是，平方根是它本身的数是
2、一些计算机设有键，用它可以求出一个立方根（或其近似值）。
有些计算器需要用
键求一个数的立方根。
3、了解数轴上的点与实数一一对应，能用数轴上的点来表示无理数。
二、重点与难点学习重点：
理解实数的概念。
学习难点：
正确理解实数的概念。
三、合作探究
（一）学前准备
1、填空：
（有理数的两种分类）
11
2、使用计把下列有理数的形式，发现？
47
11
（二）、探究新知
1、归纳：
任何一个有理数都可以写成小数或小数的形式。
反过来，任何
小数或小数也都是有理数
观察通过前面的探讨和学习，我们知道，很多数的根和根都是
小数，小数又叫无理数，3.14159265也是无理数
结论：
和统称为实数
你能举出一些无理数吗？
2、试一试把实数分类
像有理数一样，无理数也有正负之分。
例如2，33，是
无理数是否也可以用数轴上的点来表示呢？
（1）如图所示，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点
到达点O′，点O′的坐标是多少？
从图中可以看出OO′的长时这个圆的周长，点O′的坐标是
这样，无理数可以用数轴上的点表示出来
（2）
理数都可以用数轴上的表示出来，这就是说，数轴上的点有些表示
有些表示
当从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点就是的，即每一个实数都可以用
数轴上的来表示；反过来，数轴上的都是表示一个实数
②与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的
实数
③当数从有理数扩充到实数以后，有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数吗？
总结数a的相反数是，这里a表示任意。
一个正实数的绝对值是
一个负实数的绝对值是它的；0的绝对值是
四、精讲精练
例1、把下列各数分别填入相应的集合里：
38,3,3.141,,22,7,32,0.1010010001,1.414,0.020202,7
378
正有理数{负有理数{
正无理数{}
负无理数{}
2、下列实数中是无理数的为（
）A.0B.
3.5C.2
D.9
3、的相反数是
，绝对值
4、绝对值等于的
数是
的平方是
5、
6、求绝对值
练习
（一）、判断下列说法是否正确：
1.实数不是有理数就是无理数。
（
）
2.无限小数都是无理数。
（
）
3.无理数都是无限小数。
（
）
4.带根号的数都是无理数。
（
）
5.两个无理数之和一定是无理数。
（
）
6.所有的有理数都可以在数轴上表示，反过来，数轴上所有的点都表示有理数。
（）
（二）、填空1、
2、
3、比较大小
4、1013
五、课堂小结这节课你有什么新发现？
知道了哪些新知识？
无理数的特征:
1．圆周率及一些含有的数
2．开不尽方的数
3．无限不循环小数
注意:
带根号的数不一定是无理数
六、作业
1、把下列各数填入相应的集合内：
有理数集合{
}
无理数集合{
}
整数集合{
}
分数集合{
}
实数集合{
2、下列各数中，是无理数的是（
3、已知四个命题，正确的有（
6.3实数（第2课时）、学习目标
1、了解实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义。
2、会按要求用近似有限小数代替无理数，再进行计算。
、重点与难点
重点：
在实数内会求一个数的相反数、倒数、绝对值。
难点：
简单的无理数计算。
三、合作探究
㈠学前准备
1、用字母来表示有理数的乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律2、用字母表示有理数的加法交换律和结合律
3、有理数的混合运算顺序
㈡自主探索独立阅读，自习教材
总结当数从有理数扩充到实数以后，
1、数a的相反数是；
2、一个正实数的绝对值是它；一个负实数的绝对值是它的；0的绝对
值是。
3、实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以
进行开方运算，任意一个实数可以进行开立方运算。
在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用。
讨论下列各式错在哪里？
1、3239193392
3
3、
5656
4
x22
、当x2时，0
x2
四、精讲精练
例1、计算下列各式的值：
⑴322
⑵3323
解：
⑴322
⑵3323
322（加法结合律）
32（3分配律）
303
53
总结实数范围内的运算方法及运算顺序与在有理数范围内都是一样的
练习15（精确到0.01）23·2（结果保留3个有效数字）
总结在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算
计算
2
⑴22—32⑵︳︱32+22⑶21
㈢应用迁移，巩固提高
例2
⑴求5的算术平方根于的平方根之和（保留3位有效数字）
⑵2552（精确到0.01）
⑶a2a（2a）（精确到0.01）
例3已知实数a、b、c在数轴上的位置如下，化简ababca22c2
bO
五、课堂小结
1、实数的运算法则及运算律。
六、作业
1、32的相反数是，的相反数是39
3、已知a、b、c在数轴上如图，化简a2abcabc
baOc
6、10在两个连续整数a和b之间，即a10b，那么a、b的值是
7、计算下列各题
1112211112231111112224111111112222
仔细观察上面几道题及其计算结果，你能发现什么规律吗？
根据这个规律先写出下面的结果，并说明理由
11111222333
2n个1n个2n个3
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