北师大版高中数学必修二第一章测试docx.docx
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高中数学学习材料
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第一章测试
时间120分钟 满分150分
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在下列四个选项中,只有一项是符合题意的)
1.下列说法正确的是( )
A.三点确定一个平面
B.四边形一定是平面图形
C.梯形一定是平面图形
D.平面α与平面β有不同在一条直线上的三个交点
解析 梯形有两条边平行,过两条平行直线有且只有一个平面.
答案 C
2.室内有直尺,无论怎样放置,在地面上总有这样的直线,它与直尺所在的直线( )
A.异面B.相交
C.平行D.垂直
答案 D
3.若直线a⊥b,且直线a∥平面α,则直线b与平面α的位置关系是( )
A.bαB.b∥α
C.bα或b∥αD.b与α相交或bα或b∥α
答案 D
4.若三球的半径之比是1:
2:
3,则半径最大的球的体积是其余两球的体积和的( )
A.4倍B.3倍
C.2倍D.1倍
解析 设三个球的半径依次为a,2a,3a,V最大=
π(3a)3=36πa3,V1+V2=
πa3+
π(2a)3=
πa3=12πa3,
=3.
答案 B
5.一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的主视图与左视图分别如图所示,则该几何体的俯视图为( )
答案 C
6.用a,b,c表示三条不同的直线,γ表示平面,给出下列命题:
①若a∥b,b∥c,则a∥c;②若a⊥b,b⊥c,则a⊥c;③若a∥γ,b∥γ,则a∥b;④若a⊥γ,b⊥γ,则a∥b.
其中真命题的序号是( )
A.①②B.②③
C.①④D.③④
解析 根据公理4,知①正确;根据垂直于同一平面的两直线平行可知④正确.
答案 C
7.在空间四边形ABCD中,若AD⊥BC,BD⊥AD,则有( )
A.面ABC⊥面DBCB.面ABC⊥面ADC
C.面ABC⊥面ADBD.面ADC⊥面DBC
解析 如图,在四面体ABCD中,
∵AD⊥BC,AD⊥BD,BD∩BC=B,
∴AD⊥面BCD.
又AD面ADC,
∴面ADC⊥面BCD.
答案 D
8.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC,D为AB的中点,下列说法中正确的个数有( )
①CD⊥面ABB1A1;②BC1∥面A1DC;③面ADC⊥面ABB1A1.
A.0个B.1个
C.2个D.3个
解析 ∵ABC-A1B1C1为直三棱柱,AC=BC,D为AB的中点,∴CD⊥AB,由两平面垂直的性质定理,可知CD⊥面ABB1A1,又CD面ADC,故面ADC⊥面ABB1A,故①、③正确,对于②连接AC1,BC1,设A1C∩AC1=O,则O为AC1的中点,又D为AB的中点,
∴OD∥BC1.
又OD面A1DC,BC1面A1DC,
∴BC1∥面A1DC,故②正确.
答案 D
9.一个几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位:
m),则该几何体的体积为( )
A.
m3B.
m3
C.
m3D.
m3
解析 由三视图可知,原几何体如图所示,故V=3×13+
×13=3+
=
m3.
答案 C
10.如图,平行四边形ABCD中,AB⊥BD,沿BD将△ABD折起到A′BD,使面A′BD⊥面BCD,连接A′C,则在四面体A′BCD的四个面中,互相垂直的平面有( )
①面ABD⊥面BCD;②面A′CD⊥面ABD;③面A′BC⊥面BCD;④面ACD⊥面ABC.
A.1个B.2个
C.3个D.4个
解析 由于面ABD⊥面BCD,故①正确.又AB⊥BD则A′B⊥BD,则A′B⊥BD,∴A′B⊥面BCD,故面A′BC⊥面BCD,又CD⊥BD,∴面A′CD⊥面ABD,故②③正确,④显然不正确.
答案 C
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中横线上)
11.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是________.
解析 由三视图知,该几何体是由圆柱中间除去正四棱柱得到的,所以体积是4π×4-2×2×4=16π-16.
答案 16π-16
12.若正三棱台的上、下底面的边长分别为2和8,侧棱长为5,则这个棱台的高为________.
解析 由题可知,上底面三角形的高为2sin60°=
,下底面三角形的高为8sin60°=4
,故棱台的高h=
=
.
答案
13.已知圆锥的表面积为am2,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的底面半径为________.
解析 设圆锥的底面半径为r,母线长为l,则πl=2πr,即l=2r,
S圆锥表=πr2+πrl=3πr2=a,则r=
.
答案
m
14.如图四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,E为SA上的点,当E满足条件:
________时,SC∥面EBD.
解析 当E为SA的中点时,设AC∩BD=O,连接EO,EB,ED,
∵ABCD为平行四边形,∴O为AC的中点.
∴EO∥SC,又SC面EBD,OE面EBD,
∴SC∥面EBD.
答案 E为SA的中点
15.如图所示,平面α⊥平面β,在α与β的交线l上,取线段AB=4,AC、BD分别在平面α和平面β内,AC⊥l,BD⊥l,AC=3,BD=12,则线段CD的长为________.
解析 连接BC,
∵AC⊥l,∴∠CAB=90°,
CB=
=
=5.
又BD⊥l,α⊥β,
∴BD⊥平面α.
又BCα,∴BD⊥BC.
∴CD=
=
=13.
答案 13
三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤)
16.(12分)已知圆台的上、下底面半径分别是2,5,且侧面积等于两底面面积之和,求该圆台的母线长.
解 设圆台的母线长为l,则圆台的上、下底面面积为S上=π·22=4π,S下=π·52=25π,
∴圆台的两底面面积之和S=S上+S下=29π,
又圆台的侧面积S侧=π(2+5)·l=7πl,
由7πl=29π,得l=
,
即母线长为
.
17.(12分)如图所示,已知E,F,G,H分别为空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上的点,且EH∥FG.
求证:
EH∥BD.
证明 ∵EH∥FG,EH⃘面BDC,FG面BDC,
∴EH∥面BDC,
又EH面ABD,面ABD∩面BDC=BD,
∴EH∥BD.
18.(12分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.
(1)证明:
AB⊥A1C;
(2)若AB=CB=2,A1C=
,求三棱柱ABC-A1B1C1的体积.
解
(1)取AB的中点O,连接OC,OA1,A1B.
因为CA=CB,所以OC⊥AB.
由于AB=AA1,∠BAA1=60°,故△AA1B为等边三角形,所以OA1⊥AB.
因为OC∩OA1=O,所以AB⊥平面OA1C.
又A1C平面OA1C,故AB⊥A1C.
(2)由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形,所以OC=OA1=
.
又A1C=
,则A1C2=OC2+OA
,故OA1⊥OC.
因为OC∩AB=O,所以OA1⊥平面ABC,OA1为三棱柱ABC-A1B1C1的高.
又△ABC的面积S△ABC=
,故三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=S△ABC×OA1=3.
19.(13分)如图,已知PA垂直于正方形ABCD所在平面,E,F分别是AB,PC的中点,∠PDA=45°.
(1)求证:
EF∥面PAD;
(2)求证:
面PCE⊥面PCD.
证明
(1)设PD中点为G,连接FG,AG,
∵F,G分别为PC,PD的中点,
∴FG綊
CD.又E为AB的中点,
∴AE綊FG.
即四边形EFGA为平行四边形.
∴EF∥AG.
又EF面PAD,AG面PAD,
∴EF∥面PAD.
(2)PA⊥面ABCD,∴PA⊥AD,PA⊥CD.
又∵在Rt△PAD中,∠PDA=45°,
∴PA=AD,∴AG⊥PD.
又CD⊥AD,CD⊥PA,且PA∩AD=A,
∴CD⊥面PAD,CD⊥AG,又PD∩CD=D,
∴AG⊥面PCD.
由
(1)知EF∥AG,∴EF⊥面PCD,又EF面PCE,
∴面PCE⊥面PCD.
20.(13分)如图①,△ABC是等腰直角三角形,AC=BC=4,E,F分别为AC,AB的中点,将△AEF沿EF折起,使A′在平面BCEF上的射影O恰为EC的中点,得到图②.
(1)求证:
EF⊥A′C;
(2)求三棱锥F—A′BC的体积.
解
(1)证法1:
在△ABC中,EF是等腰直角△ABC的中位线,在四棱锥A′—BCEF中,EF⊥A′E,EF⊥EC,∴EF⊥平面A′EC,又A′C平面A′EC,∴EF⊥A′C.
证法2:
同证法1EF⊥EC,
∴A′O⊥EF,∴EF⊥平面A′EC.
又A′C平面A′EC,∴EF⊥A′C.
(2)在直角梯形EFBC中,EC=2,BC=4,
∴S△FBC=
BC·EC=4.
又∵A′O垂直平分EC,
∴A′O=
=
,
∴三棱锥F—A′BC的体积VF—A′BC=VA′—FBC=
S△FBC·A′O=
×4×
=
.
21.(13分)如图所示,已知正方体ABCD—A1B1C1D1,O是底面ABCD对角线的交点.
(1)求证:
C1O∥平面AB1D1;
(2)求证:
A1C⊥平面AB1D1;
(3)若AA1=2,求三棱锥A1—AB1D1的体积.
解
(1)证明:
设B1D1的中点为O1,
∵ABCD—A1B1C1D1为正方体,
∴C1O1綊AO.
故AOC1O1为平行四边形.
∴AO1∥C1O,又AO1面AB1D1,C1O面AB1D1,
∴C1O∥面AB1D1.
(2)证明:
∵B1D1⊥A1C1,B1D1⊥CC1,A1C1∩C1C=C1.
∴B1D1⊥面ACC1A1,A1C面ACC1A1.∴B1D1⊥A1C.
同理可证A1C⊥AB1.
又AB1∩B1D1=B1,∴A1C⊥面AB1D1.
(3)VA1—AB1D1=VA—A1B1D1=
×
×2×2×2=
.