[解题技法]
1．应用直线参数方程的注意点
在使用直线参数方程的几何意义时，要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正、余弦值，否则参数不具备该几何含义．
2．圆和圆锥曲线参数方程的应用
有关圆或圆锥曲线上的动点距离的最大值、最小值以及取值范围的问题，通常利用它们的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解，掌握参数方程与普通方程互化的规律是解此类题的关键．
[题组训练]
1．（2019·湖北八校联考）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝.
（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；
（2）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2的距离的最大值，并求此时点P的坐标．
解：
（1）曲线C1的普通方程为＋y2＝1，
由ρsin＝，得ρsinθ＋ρcosθ＝2，得曲线C2的直角坐标方程为x＋y－2＝0.
（2）设点P的坐标为（cosα，sinα），
则点P到C2的距离为＝，
当sin＝－1，即α＋＝－＋2kπ（k∈Z），α＝－＋2kπ（k∈Z）时，所求距离最大，最大值为2，
此时点P的坐标为.
2．（2018·全国卷Ⅱ）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1,2），求l的斜率．
解：
（1）曲线C的直角坐标方程为＋＝1.
当cosα≠0时，直线l的直角坐标方程为y＝tanα·x＋2－tanα，
当cosα＝0时，直线l的直角坐标方程为x＝1.
（2）将直线l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程（1＋3cos2α）t2＋4（2cosα＋sinα）t－8＝0.①
因为曲线C截直线l所得线段的中点（1,2）在C内，
所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0.
又由①得t1＋t2＝－，
故2cosα＋sinα＝0，
于是直线l的斜率k＝tanα＝－2.
[典例] （2018·河北保定一中摸底）在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（t为参数），在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρcos＝－1.
（1）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）设直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P是圆C上任一点，求A，B两点的极坐标和△PAB面积的最小值．
[解]
（1）由消去参数t，得（x＋5）2＋（y－3）2＝2，所以圆C的普通方程为（x＋5）2＋（y－3）2＝2.
由ρcos＝－1，得ρcosθ－ρsinθ＝－2，
所以直线l的直角坐标方程为x－y＋2＝0.
（2）直线l与x轴，y轴的交点分别为A（－2,0），B（0,2），
则点A，B的极坐标分别为（2，π＋2kπ）（k∈Z），（k∈Z）．
设点P的坐标为（－5＋cosα，3＋sinα），
则点P到直线l的距离d＝＝，
当cos＝1，即α＋＝2kπ（k∈Z），α＝－＋2kπ（k∈Z）时，点P到直线l的距离取得最小值，所以dmin＝＝2，又|AB|＝2，
所以△PAB面积的最小值S＝×dmin×|AB|＝×2×2＝4.
[解题技法] 极坐标、参数方程综合问题的解题策略
（1）求交点坐标、距离、线段长．可先求出直角坐标系方程，然后求解．
（2）判断位置关系．先转化为平面直角坐标方程，然后再作出判断．
（3）求参数方程与极坐标方程综合问题．一般是先将方程化为直角坐标方程，利用直角坐标方程来研究问题．
[题组训练]
1．在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
曲线C1：
ρ2－4ρcosθ＋3＝0，θ∈[0,2π]，曲线C2：
ρ＝，θ∈[0,2π]．
（1）求曲线C1的一个参数方程；
（2）若曲线C1和曲线C2相交于A，B两点，求|AB|的值．
解：
（1）由ρ2－4ρcosθ＋3＝0，得x2＋y2－4x＋3＝0，
所以（x－2）2＋y2＝1.
令x－2＝cosα，y＝sinα，
所以C1的一个参数方程为（α为参数）．
（2）因为C2：
4ρ＝3，
所以4＝3，即2x－2y－3＝0，
因为直线2x－2y－3＝0与圆（x－2）2＋y2＝1相交于A，B两点，
所以圆心到直线的距离为d＝＝，
所以|AB|＝2＝2×＝.
2．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的圆心C的极坐标为，半径为2，直线l与圆C交于M，N两点．
（1）求圆C的极坐标方程；
（2）当φ变化时，求弦长|MN|的取值范围．
解：
（1）由已知，得圆心C的直角坐标为（1，），圆的半径为2，
∴圆C的直角坐标方程为（x－1）2＋（y－）2＝4，
即x2＋y2－2x－2y＝0，
∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴ρ2－2ρcosθ－2ρsinθ＝0，
故圆C的极坐标方程为ρ＝4cos.
（2）由
（1）知，圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x－2y＝0，
将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程得，
（2＋tcosφ）2＋（＋tsinφ）2－2（2＋tcosφ）－2（＋tsinφ）＝0，
整理得，t2＋2tcosφ－3＝0，
设M，N两点对应的参数分别为t1，t2，
则t1＋t2＝－2cosφ，t1·t2＝－3，
∴|MN|＝|t1－t2|＝＝.
∵φ∈，∴cosφ∈，∴|MN|∈[，4]．
故弦长|MN|的取值范围为[，4]．
1．若直线（t为参数）与圆（θ为参数）相切，求直线的倾斜角α.
解：
直线（t为参数）的普通方程为y＝xtanα.
圆（θ为参数）的普通方程为（x－4）2＋y2＝4.
由于直线与圆相切，则＝2，
即tan2α＝，解得tanα＝±，
由于α∈[0，π），故α＝或.
2．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（s为参数），设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．
解：
直线l的普通方程为x－2y＋8＝0.
因为点P在曲线C上，设P（2s2,2s），
从而点P到直线l的距离d＝＝，
当s＝时，dmin＝.
因此当点P的坐标为（4,4）时，曲线C上的点P到直线l的距离取到最小值.
3．已知P为半圆C：
（θ为参数，0≤θ≤π）上的点，点A的坐标为（1,0），O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧AP的长度均为.
（1）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；
（2）求直线AM的参数方程．
解：
（1）由已知，点M的极角为，
且点M的极径等于，
故点M的极坐标为.
（2）由
（1）知点M的直角坐标为，A（1,0）．
故直线AM的参数方程为（t为参数）．
4．（2019·长春质检）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P的直角坐标为（1,2），点C的极坐标为，若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以点C为圆心，3为半径．
（1）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；
（2）设直线l与圆C相交于A，B两点，求|PA|·|PB|.
解：
（1）由题意得直线l的参数方程为（t为参数），圆C的极坐标方程为ρ＝6sinθ.
（2）由
（1）易知圆C的直角坐标方程为x2＋（y－3）2＝9，
把代入x2＋（y－3）2＝9，得t2＋（－1）t－7＝0，
设点A，B对应的参数分别为t1，t2，∴t1t2＝－7，
又|PA|＝|t1|，|PB|＝|t2|，∴|PA|·|PB|＝7.
5．（2018·南昌一模）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线C的极坐标方程；
（2）若直线l1，l2的极坐标方程分别为θ1＝（ρ1∈R），θ2＝（ρ2∈R），设直线l1，l2与曲线C的交点分别为O，M和O，N，求△OMN的面积．
解：
（1）由参数方程得普通方程为x2＋（y－2）2＝4，
把代入x2＋（y－2）2＝4，得ρ2－4ρsinθ＝0.
所以曲线C的极坐标方程为ρ＝4sinθ.
（2）由直线l1：
θ1＝（ρ1∈R）与曲线C的交点为O，M，得|OM|＝4sin＝2.
由直线l2：
θ2＝（ρ2∈R）与曲线C的交点为O，N，得|ON|＝4sin＝2.
易知∠MON＝，所以S△OMN＝|OM|×|ON|＝×2×2＝2.
6．（2018·全国卷Ⅲ）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为（θ为参数），过点（0，－）且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．
（1）求α的取值范围；
（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．
解：
（1）⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.
当α＝时，l与⊙O交于两点．
当α≠时，记tanα＝k，则l的方程为y＝kx－.
l与⊙O交于两点需满足<1，
解得k<－1或k>1，
即α∈或α∈.
综上，α的取值范围是.
（2）l的参数方程为.
设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，
则tP＝，且tA，tB满足t2－2tsinα＋1＝0.
于是tA＋tB＝2sinα，tP＝sinα.
又点P的坐标（x，y）满足
所以点P的轨迹的参数方程是.
7．（2019·洛阳第一次统考）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，m∈R），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＝（0≤θ≤π）．
（1）写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；
（2）已知点P是曲线C2上一点，若点P到曲线C1的最小距离为2，求m的值．
解：
（1）由曲线C1的参数方程消去参数t，可得C1的普通方程为x－y＋m＝0.
由曲线C2的极坐标方程得3ρ2－2ρ2cos2θ＝3，θ∈[0，π]，
∴曲线C2的直角坐标方程为＋y2＝1（0≤y≤1）．
（2）设曲线C2上任意一点P的坐标为（cosα，sinα），α∈[0，π]，
则点P到曲线C1的距离d＝＝.
∵α∈[0，π]，∴cos∈，2cos∈[－2，]，
当m＋＜0时，m＋＝－4，即m＝－4－.
当m－2＞0时，m－2＝4，即m＝6.
当m＋≥0，m－2≤0，即－≤m≤2时，dmin＝0，不合题意，舍去．
综上，m＝－4－或m＝6.
8．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（α为参数），且直线l交曲线C于A，B两点．
（1）将曲线C的参数方程化为普通方程，并求θ＝时，|AB|的值；
（2）已知点P（1,0），求当直线l的倾斜角θ变化时，|PA|·|PB|的取值范围．
解：
（1）曲线C的普通方程为＋y2＝1.
当θ＝时，直线l的参数方程为（t为参数），
将l的参数方程代入＋y2＝1，得5t2＋2t－4＝0，
设A，B对应的参数分别为t1，t2，
则t1＋t2＝－，t1t2＝－，
所以|AB|＝|t1－t2|＝＝.
（2）将直线l的参数方程代入＋y2＝1，
得（1＋2sin2θ）t2＋2tcosθ－2＝0，
设A，B对应的参数分别为t3，t4，则t3t4＝，
则|PA|·|PB|＝－t3t4＝.
又0≤sin2θ≤1，所以≤|PA|·|PB|≤2，
所以|PA|·|PB|的取值范围是.
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