高等数学电子教案第3章 微分中值定理与导数的应用.docx
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高等数学电子教案第3章微分中值定理与导数的应用
章节
第三章微分中值定理与导数的应用
§1微分中值定理
课时
2
教
学
目
的
掌握三个中值定理的内容
教学
重点
及
突出
方法
中值定理的证明
教学
难点
及
突破
方法
利用中值定理证明的技巧。
相关
参考
资料
《高等数学（第一册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社
《大学数学概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社
教
学
过
程
教学思路、主要环节、主要内容
在给出微分学中值定理的数学定义之前，我们先从几何的角度看一个问题，如下：
设有连续函数
，a与b是它定义区间内的两点（a＜b＝，假定此函数在（a,b）处处可导，也就是在（a,b）内的函数图形上处处都由切线，那末我们从图形上容易看到，
差商
就是割线AB的斜率，若我们把割线AB作平行于自身的移动，那么至少有一次机会达到离割线最远的一点P（x=c）处成为曲线的切线，而曲线的斜率为
，由于切线与割线是平行的，因此
成立。
注：
这个结果就称为微分学中值定理，也称为拉格朗日中值定理
罗尔定理 如果函数f（x）在闭区间[a,b]上连续，在开区间（a,b）内可导，且在区间端点的函数值相等，即f（a）=f（b），那么在（a,b）内至少有一点
，使得函数f（x）在该点的导数等于零：
。
拉格朗日中值定理 如果函数f（x）在区间[a,b]上连续，在开区间（a,b）内可导，那么（a,b）内至少有一点
，使等式
（1）成立。
柯西中值定理 如果函数f（x）及F（x）在闭区间[a,b]上连续，在开区间（a,b）内可导，且F’（x）在（a,b）内的每一点处均不为零，那么在（a,b）内至少有一点
，使等式
（2）成立。
例题：
证明方程
在0与1之间至少有一个实根
证明：
不难发现方程左端
是函数
的导数：
函数
在[0，1]上连续，在（0,1）内可导，且
，由罗尔定理 可知，在0与1之间至少有一点c，使
，即
也就是：
方程
在0与1之间至少有一个实根
章节
第三章微分中值定理与导数的应用
§2洛必达法则
课时
2
教
学
目
的
掌握利用洛必达法则法则求极限的方法
教学
重点
及
突出
方法
利用洛必达法则法则求极限
教学
难点
及
突破
方法
利用洛必达法则法则求极限
相关
参考
资料
《高等数学（第一册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社
《大学数学概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，
教
学
过
程
教学思路、主要环节、主要内容
对于函数f（x）,g（x）来说，当x→a（或x→∞）时，函数f（x）,g（x）都趋于零或无穷大， 则极限
可能存在，也可能不存在，我们就把式子
称为未定式。
分别记为
型。
我们容易知道，对于未定式的极限求法，是不能应用"商的极限等于极限的商"这个法则来求解的，那么我们该如何求这类问题的极限呢？
下面的洛必达（L'Hospital）法则，它就是这个问题的答案 注：
它是根据柯西中值定理推出来的。
洛必达（L'Hospital）法则：
当x→a（或x→∞）时，函数
都趋于零或无穷大，在点a的某个去心邻域内（或当│x│＞N）时，
与
都存在，
≠0，且
存在 则：
=
证明思路:
补充定义x=a处f（x）=g（x）=0则[a,a+
）上
=
=
即x
时,x
于是
=
这种通过分子分母求导再来求极限来确定未定式的方法，就是所谓的洛必达（L'Hospital）法则
注：
它是以前求极限的法则的补充，以前利用法则不好求的极限，可利用此法则求解。
注：
罗彼塔法则只是说明：
对未定式来说，当
存在，则
存在且二者的极限相同；而并不是
不存在时，
也不存在，此时只是说明了罗彼塔法则存在的条件破绽。
定理推广:
由证明过程显然定理条件x
可推广到x
x
x
。
所以对于待定型,可利用定理将分子、分母同时求导后再求极限。
注意事项:
1.对于同一算式的计算中,定理可以重复多次使用。
2.当算式中出现Sin
或Cos
形式时,应慎重考虑是否符合洛必达法则条件中
与
的存在性。
向其他待定型的推广。
另外，若遇到
、
、
、
、
等型，通常是转化为
型后，在利用法则求解。
章节
第三章微分中值定理与导数的应用
§3泰勒公式
课时
2
教
学
目
的
掌握泰勒公式
教学
重点
及
突出
方法
泰勒公式及函数单调性的判别法
教学
难点
及
突破
方法
泰勒公式的展开
相关
参考
资料
《高等数学（第一册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社
《大学数学概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社
教
学
过
程
教学思路、主要环节、主要内容
在x=
附近关于
点的泰勒公式：
在x=0处的关于x的泰勒展开公式.即:
（麦克劳林公式）
注意:
虽然泰勒公式是在x=
"附近"展开,但是事实上x可以取f（x）定义域内任意值,只不过若|x-
|过大（即x离
过远）时,
相应变大.即使用
代替f（x）的误差变大.可是,无论如何泰勒公式总是成立的,当
固定后,不同的x将使
发生变化,并使
变化,从而影响
对f（x）的近似精度.
章节
第三章微分中值定理与导数的应用
§4函数单调性与曲线的凸凹性
课时
2
教
学
目
的
掌握函数单调性的判别法
掌握曲线的凹凸性判别法
教学
重点
及
突出
方法
函数的单调性的判别法
曲线的凹凸性判别法
教学
难点
及
突破
方法
函数的单调性的判别法
曲线的凹凸性判别法及拐点的求法
相关
参考
资料
《高等数学（第一册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社
《大学数学概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，
教学过程
函数的单调性也就是函数的增减性，怎样才能判断函数的增减性呢？
我们知道若函数在某区间上单调增（或减），则在此区间内函数图形上切线的斜率均为正（或负）,也就是函数的导数在此区间上均取正值（或负值）.因此我们可通过判定函数导数的正负来判定函数的增减性.
判定方法：
设函数
在[a,b]上连续，在（a,b）内可导.
a）：
如果在（a,b）内
＞0，那末函数
在[a,b]上单调增加；
b）：
如果在（a,b）内
＜0，那末函数
在[a,b]上单调减少
例题：
确定函数
的增减区间. 解答：
容易确定此函数的定义域为（－∞,＋∞） ，其导数为：
，因此可以判出：
当x＞0时，
＞0，故它的单调增区间为（0,＋∞）； 当x＜0时，
＜0，故它的单调减区间为（-∞,0）；
注：
此判定方法若反过来讲，则是不正确的
通过前面的学习，我们知道由一阶导数的正负，可以判定出函数的单调区间与极值，但是还不能进一步研究曲线的性态，为此我们还要了解曲线的凹性。
定义：
对区间I的曲线y=f（x）作切线，如果曲线弧在所有切线的下面，则称曲线在区间I下凹，如果曲线在切线的上面，称曲线在区间I上凹。
曲线凹向的判定定理
定理一：
设函数y=f（x）在区间（a,b）上可导，它对应曲线是向上凹（或向下凹）的充分必要条件是：
导数f/（x）在区间（a,b）上是单调增（或单调减）。
定理二：
设函数y=f（x）在区间（a,b）上可导，并且具有一阶导数和二阶导数；那末：
若在（a,b）内，f//（x）＞0，则y=f（x）在[a,b]对应的曲线是下凹的；若在（a,b）内，f//（x）＜0，则y=f（x）在[a,b]对应的曲线是上凹的；
拐点的定义:
连续函数上，上凹弧与下凹弧的分界点称为此曲线上的拐点。
拐定的判定方法:
如果y=f（x）在区间（a,b）内具有二阶导数，我们可按下列步骤来判定y=f（x）的拐点。
（1）：
求
；
（2）：
令
=0，解出此方程在区间（a,b）内实根；
（3）：
对于
（2）中解出的每一个实根x0，检查
在x0左、右两侧邻近的符号，若符号相反，则此点是拐点，若相同，则不是拐点。
章节
第三章微分中值定理与导数的应用
§5函数的极值与最大值最小值
课时
2
教
学
目
的
掌握函数的极值及其求法，最大值最小值问题
教学
重点
及
突出
方法
函数的极值及其求法，最大值最小值问题
教学
难点
及
突破
方法
函数的极值及其求法
相关
参考
资料
《《高等数学（第一册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社
《大学数学概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，
教
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过
程
教学思路、主要环节、主要内容
函数极值的定义：
设函数f（x）在区间（a,b）内有定义，x0是（a,b）内一点. 若存在着x0点的一个邻域，对于这个邻域内任何点x（x0点除外），f（x）＜f（x0）均成立， 则说f（x0）是函数f（x）的一个极大值； 若存在着x0点的一个邻域，对于这个邻域内任何点x（x0点除外），f（x）＞f（x0）均成立， 则说f（x0）是函数f（x）的一个极小值. 函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点。
学习这个问题之前，我们再来学习一个概念——驻点
凡是使f/（x）=0的x点，称为函数f（x）的驻点。
判断极值点存在的方法有两种：
如下
方法一：
设函数f（x）在x0点的邻域可导，且f/（x0）=0.
情况一：
若当x取x0左侧邻近值时，f/（x）＞0，当x取x0右侧邻近值时，f/（x）＜0， 则函数f（x）在x0点取极大值。
情况二：
若当x取x0左侧邻近值时，f/（x）＜0，当x取x0右侧邻近值时，f/（x）＞0，则函数f（x）在x0点取极小值。
注：
此判定方法也适用于导数在x0点不存在的情况。
用方法一求极值的一般步骤是：
（1）：
求f/（x）；
（2）：
求f/（x0）=0的全部的解——驻点； （3）：
判断f/（x）在驻点两侧的变化规律，即可判断出函数的极值。
方法二：
设函数f（x）在x0点具有二阶导数，且f/（x0）=0时f//（x0）≠0.则：
a）：
当f//（x0）＜0，函数f（x）在x0点取极大值；b）：
当f//（x0）＞0，函数f（x）在x0点取极小值；
c）：
当f//（x0）=0，其情形不一定，可由方法一来判定。
在工农业生产、工程技术及科学实验中，常会遇到这样一类问题：
在一定条件下，怎样使"产品最多"、"用料最省"、"成本最低"等。
这类问题在数学上可归结为求某一函数的最大值、最小值的问题。
怎样求函数的最大值、最小值呢？
前面我们已经知道了，函数的极值是局部的。
要求f（x）在[a,b]上的最大值、最小值时，可求出开区间（a,b）内全部的极值点，加上端点f（a）,f（b）的值，从中取得最大值、最小值即为所求。
章节
第三章中值定理与导数的应用
§6函数图形的描绘§7曲率§8方程的近似解
课时
2
教
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目
的
掌握利用导数的性质绘制函数图形
掌握求曲线在一点处的曲率
教学
重点
及
突出
方法
函数图形的绘制。
教学
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