中考复习方案北京专版中考数学 专题突破八 代数综合作业手册.docx

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中考复习方案北京专版中考数学专题突破八代数综合作业手册

代数综合　

方程与函数是初中代数学习中极为重要的内容，在北京中考试卷中，2015年代数综合题出现在第27题，分值为7分．代数综合题主要以方程、函数这两部分为考查重点，用到的数学思想、方法有化归思想、分类思想、数形结合思想以及代入法、待定系数法、配方法等．

2011－2015年北京代数综合题考点对比

年份

2011

2012

2013

2014

2015

考点

根的判别式、求根、确定二次函数和一次函数解析式

根的判别式、求根、确定二次函数和一次函数解析式、二次函数和一次函数图象的平移、利用函数图象求取值范围

二次函数的性质、一次函数图象如何变换、二次函数图象上点的坐标特征

确定二次函数解析式、二次函数图象的性质、利用图象求取值范围

求交点坐标、对称点坐标、确定二次函数解析式及顶点坐标，利用图象求取值范围

1．[2015·北京]在平面直角坐标系xOy中，过点（0，2）且平行于x轴的直线与直线y＝x－1交于点A，点A关于直线x＝1的对称点为B，抛物线C1：

y＝x2＋bx＋c经过点A，B.

（1）求点A，B的坐标；

（2）求抛物线C1的函数解析式及顶点坐标；

（3）若抛物线C2：

y＝ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象求a的取值范围．

2．[2014·北京]在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝2x2＋mx＋n经过点A（0，－2），B（3，4）．

（1）求抛物线的函数解析式及对称轴；

（2）设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上的一动点，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．若直线CD与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围．

3．[2013·北京]在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2－2mx－2（m≠0）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B.

（1）求点A，B的坐标；

（2）设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线l的函数解析式；

（3）若该抛物线在－2

4．[2012·北京]已知二次函数y＝（t＋1）x2＋2（t＋2）x＋

在x＝0和x＝2时的函数值相等．

（1）求二次函数的解析式；

（2）若一次函数y＝kx＋6的图象与二次函数的图象都经过点A（－3，m），求m和k的值；

（3）设二次函数的图象与x轴交于点B，C（点B在点C的左侧），将二次函数的图象在点B，C间的部分（含点B和点C）向左平移n（n＞0）个单位长度后得到的图象记为G，同时将

（2）中得到的直线y＝kx＋6向上平移n个单位长度．请结合图象回答：

当平移后的直线与图象G有公共点时，求n的取值范围．

图Z8－1

5．[2011·北京]在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝mx2＋

x－3

的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C.

（1）求点A的坐标；

（2）当∠ABC＝45°时，求m的值；

（3）已知一次函数y＝kx＋b，点P

是x轴上的一个动点，在

（2）的条件下，过点P垂直于x轴的直线交这个一次函数的图象于点M，交二次函数y＝mx2＋

x－3

的图象于点N.若只有当－2

图Z8－2

1．[2015·海淀一模]在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝

x2－x＋2与y轴交于点A，顶点为B，点C与点A关于抛物线的对称轴对称．

（1）求直线BC的函数解析式；

（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为4.将抛物线在点A，D之间的部分（包含点A，D）记为图象G，若图象G向下平移t（t>0）个单位后与直线BC只有一个公共点，求t的取值范围．

图Z8－3

2．[2015·朝阳一模]如图Z8－4，将抛物线M1：

y＝ax2＋4x向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线M2，直线y＝x与M1的一个交点记为A，与M2的一个交点记为B，点A的横坐标是－3.

（1）求a的值及M2的函数解析式．

（2）点C是线段AB上的一个动点，过点C作x轴的垂线，垂足为D，在CD的右侧作正方形CDEF.

①当点C的横坐标为2时，直线y＝x＋n恰好经过正方形CDEF的顶点F，求此时n的值；

②在点C的运动过程中，若直线y＝x＋n与正方形CDEF始终没有公共点，求n的取值范围（直接写出结果）．

图Z8－4

3．[2015·西城一模]已知二次函数y1＝x2＋bx＋c的图象C1经过（－1，0），（0，－3）两点．

（1）求C1对应的函数解析式；

（2）将C1先向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到抛物线C2，将C2对应的函数解析式记为y2＝x2＋mx＋n，求C2对应的函数解析式；

（3）设y3＝2x＋3，在

（2）的条件下，如果在－2≤x≤a内存在某一个x的值，使得y2≤y3成立，利用函数图象直接写出a的取值范围．

图Z8－5

4．[2015·东城一模]在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋1

过点A

，B

，与y轴交于点C.

（1）求抛物线y＝ax2＋bx＋1

的函数解析式．

（2）若点D在抛物线y＝ax2＋bx＋1

的对称轴上，当△ACD的周长最小时，求点D的坐标．

（3）在抛物线y＝ax2＋bx＋1

的对称轴上是否存在点P，使△ACP成为以AC为直角边的直角三角形？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

图Z8－6

5．[2015·石景山一模]在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2－2mx－3（m≠0）与x轴交于A（3，0），B两点．

（1）求抛物线的函数解析式及点B的坐标；

（2）将－2

（3）在

（2）的条件下，将图象G在x轴上方的部分沿x轴翻折，图象G的其余部分保持不变，得到一个新图象M.若经过点C（4，2）的直线y＝kx＋b（k≠0）与图象M在第三象限内有两个公共点，结合图象求b的取值范围．

6．[2015·通州一模]二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与一次函数y1＝x＋k的图象交于A（0，1），B两点，C（1，0）为二次函数图象的顶点．

（1）求二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的解析式；

（2）在平面直角坐标系中画出二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象和一次函数y1＝x＋k的图象；

（3）把

（1）中的二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象平移后得到新的二次函数y2＝ax2＋bx＋c＋m（a≠0，m为常数）的图象，定义新函数f：

“当自变量x任取一值时，x对应的函数值分别为y1或y2，如果y1≠y2，函数f的函数值等于y1，y2中的较小值；如果y1＝y2，函数f的函数值等于y1（或y2）．”当新函数f的图象与x轴有三个交点时，直接写出m的取值范围．

7．[2015·海淀二模]在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2－2mx＋m＋4与y轴交于点A（0，3），与x轴交于点B，C（点B在点C左侧）．

（1）求该抛物线的函数解析式及点B，C的坐标；

（2）抛物线的对称轴与x轴交于点D，若直线y＝kx＋b经过点D和点E（－1，－2），求直线DE的函数解析式；

（3）在

（2）的条件下，已知点P（t，0），过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点M，交直线DE于点N，若点M和点N中至少有一个点在x轴下方，直接写出t的取值范围．

图Z8－7

8．[2014·海淀期中]在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2－（m－1）x－m（m>0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.

（1）求点A的坐标；

（2）当S△ABC＝15时，求该抛物线的函数解析式；

（3）在

（2）的条件下，经过点C的直线l：

y＝kx＋b（k<0）与抛物线的另一个交点为D.该抛物线在直线l上方的部分与线段CD组成一个新函数的图象．请结合图象回答：

若新函数的最小值大于－8，求k的取值范围．

图Z8－8

9．[2015·平谷一模]已知抛物线y＝ax2＋x＋c（a≠0）经过A（－1，0），B（2，0）两点，与y轴相交于点C，点D为该抛物线的顶点．

（1）求该抛物线的函数解析式及点D的坐标；

（2）点E是该抛物线上一动点，且位于第一象限，当点E到直线BC的距离为

时，求点E的坐标；

（3）在

（2）的条件下，在x轴上有一点P，且∠EAO＋∠EPO＝∠α，当tanα＝2时，求点P的坐标．

图Z8－9

10．[2015·怀柔一模]在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝（a－1）x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，a为正整数．

（1）求a的值；

（2）将二次函数y＝（a－1）x2＋2x＋1的图象向右平移m个单位长度，再向下平移（m2＋1）个单位长度，当－2≤x≤1时，二次函数有最小值－3，求实数m的值．

图Z8－10

参考答案

北京真题体验

1.解：

（1）当y＝2时，2＝x－1，x＝3.

∴A（3，2）．

∵点A，B关于直线x＝1对称，

∴B（－1，2）．

（2）把（3，2），（－1，2）代入y＝x2＋bx＋c，得

解得

∴抛物线C1的解析式为y＝x2－2x－1，顶点坐标为（1，－2）．

（3）如图，当C2过点A，点B时为临界状态，

将A（3，2）代入y＝ax2，则9a＝2，a＝

，

将B（－1，2）代入y＝ax2，则a＝2，

∴

≤a＜2.

2．解：

（1）∵y＝2x2＋mx＋n经过点A（0，－2），B（3，4），

∴

解得

∴抛物线的函数解析式为y＝2x2－4x－2.

∴对称轴为直线x＝1.

（2）由题意可知C（－3，－4）．

二次函数y＝2x2－4x－2的最小值为－4.

如图，由图象可以看出点D纵坐标的最小值即为－4，最大值为直线BC与抛物线对称轴的交点的纵坐标．

由B（3，4），C（－3，－4）可知直线BC的函数解析式为y＝

x.

当x＝1时，y＝

.

∴－4≤t≤

.

3．解：

（1）当x＝0时，y＝－2，

∴A（0，－2），

抛物线的对称轴为直线x＝－

＝1，

∴B（1，0）．

（2）易得点A关于对称轴直线x＝1的对称点为A′（2，－2），点B关于对称轴对称的点仍为点B，

∴直线l经过点A′，B.

设直线l的函数解析式为y＝kx＋b（k≠0）．

则

解得

故直线l的函数解析式为y＝－2x＋2.

（3）∵抛物线的对称轴为直线x＝1，

∴抛物线在2＜x＜3这一段与在－1＜x＜0这一段关于对称轴对称．

如图，结合图象可以观察到抛物线在－2＜x＜－1这一段位于直线l的上方，在－1＜x＜0这一段位于直线l的下方，

∴抛物线与直线l的交点的横坐标为－1.

当x＝－1时，y＝－2×（－1）＋2＝4，

∴抛物线与直线l的一个交点为（－1，4）．

当x＝－1时，m＋2m－2＝4，

解得m＝2，

∴抛物线的函数解析式为y＝2x2－4x－2.

4．解：

（1）∵二次函数y＝（t＋1）x2＋2（t＋2）x＋

在x＝0和x＝2时的函数值相等，

∴0＋0＋

＝4（t＋1）＋4（t＋2）＋

，

解得t＝－

，

∴二次函数的解析式是y＝－

x2＋x＋

.

（2）把A（－3，m）代入y＝－

x2＋x＋

得m＝－

×（－3）2－3＋

＝－6，

即A（－3，－6）．

将A（－3，－6）代入y＝kx＋6，得－6＝－3k＋6，

解得k＝4，

故m＝－6，k＝4.

（3）由题意可知，点B，C间的部分图象的函数解析式是y＝－