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5进制转换
第5章进制转换问题
基础知识
5.1.1相关概念
1．数制
数制是人们利用符号进行计数的一种科学方法。
数制也称为计数制，是用一组固定的符号和统一的规则来表示数值的方法。
2．进制
进制也就是进位制，是人们规定的一种进位方法。
对于任何一种进制——X进制，就表示某一位置上的数运算时是逢X进一位。
十进制是逢十进一，十六进制是逢十六进一，二进制就是逢二进一。
3．数码
数制中表示基本数值大小的不同数字符号。
例如，十进制有10个数码：
0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。
4．基数
数制所使用数码的个数。
例如，二进制的基数为2；十进制的基数为10。
5．位权
位权表示数的符号在不同的位置上时所代表的值是不同的。
也就是数制中某一位上的1所表示数值的大小（所处位置的价值）。
例如，十进制的123，1的位权是100，2的位权是10，3的位权是1。
5.1.2各种常见的进制
人们通常采用的进制有十进制、二进制、八进制和十六进制等。
1．十进制（Decimal）
十进制是人们日常生活中最熟悉的进位计数制。
在十进制中，数码共有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个符号。
计数规则是逢十进一。
2．二进制（Binary）
二进制是在计算机系统中采用的进位计数制。
二进制数有两个特点：
在二进制中，数码只有0和1两个符号。
计数规则是逢二进一。
为区别于其它进制数，二进制数的书写通常在数的右下方注上基数2，或在后面加上B表示。
例如：
二进制数可以写成（）2，或写成B。
3．八进制数（Octal）
由于二进制数据的基数比较小，所以二进制数据的书写和阅读很不方便，为此，在小型机中引入了八进制。
八进制的基数R=8=23，有数码0、1、2、3、4、5、6、7，并且每个数码正好对应三位二进制数，所以八进制能很好地反映二进制。
八进制用下标8或数据后面加O表示例如：
二进制数据（11101010.010110100）2，对应的八进制数据8或。
4．十二进制（Duodecimal）
十二进制在生活中也是经常用到的，例如，长度单位一英尺等于12英寸，一先令等于12便士，就连足球比赛罚点球的英制长度也是12码。
此外还有一打12个，钟表转一圈12小时等等。
一般在十二进制中，10和11可用M和N表示，有时候也可用A和B表示。
5．十六进制（Hexadecimal）
十六进制是人们在计算机指令代码和数据的书写中经常使用的数制。
在十六进制中，由十六个字符0～9以及A，B，C，D，E，F（或a，b，…，f）组成（它们分别表示十进制数10～15）来描述。
计数规则是逢十六进一，即基数R=16=24，通常在表示时用尾部标志H或下标16以示区别。
例如：
十六进制数4AC8可写成（4AC8）16，或写成4AC8H。
6．六十进位制数（Sexagesimal）
古代人由于生产劳动的需要，要研究天文和历法，就牵涉到时间和角度了。
因为历法需要的精确度较高，时间的单位小时，角度的单位度都嫌太大。
必须进一步研究他们的小数。
它们的小数都具有这样的性质：
使1/2，1/3，1/4，1/5，1/6等都能成为他的整数倍。
以1/60作为单位，就正好具有这个性质。
譬如：
1/2等于30个1/60，1/3等于20个1/60，1/4等于15个1/60……这种小数的进位制在表示有些数时很方便。
例如常遇到的1/3，在十进位制中要变成无限小数，但在这种进位制中就是一个整数。
因此就出现了六十进制。
5.1.3进制转换
在实际运算中，我们经常用到各种不同的进制，这就需要在各种数制之间进行转换。
1．其他进制转换为十进制（按权求和）
方法是：
将其它进制按权位展开，然后各项相加，就得到相应的十进制数。
例1：
N=（）B=（）D
按权展开N=1*24+0*23+1*22+1*21+0*20+1*2-1+0*2-2+1*2-3
=16+4+2++=（）D
例2：
（38A.11）16转换为十进制数
（38A.11）16
=3×162+8×161+10×160+1×16-1+1×16-2
=768+128+10++
=
2．十进制转换成其它进制
方法是：
分两部分分别进行的，即整数部分和小数部分。
（1）整数部分：
（基数除法）
把我们要转换的数除以新的进制的基数，把余数作为新进制的最低位；
把上一次得到的商再除以新的进制基数，把余数作为新进制的次低位；
继续上一步，直到最后的商为零，这时的余数就是新进制的最高位。
（2）小数部分：
（基数乘法）
把要转换数的小数部分乘以新进制的基数，把得到的整数部分作为新进制小数部分的最高位。
把上一步得的小数部分再乘以新进制的基数，把整数部分作为新进制小数部分的次高位；
继续上一步，直到小数部分变成零为止。
或者达到预定的精度要求或位数要求也可以。
3．二进制与八进制、十六进制的相互转换
二进制转换为八进制、十六进制：
它们之间满足23和24的关系，因此把要转换的二进制从低位到高位每3位或4位一组，高位不足时在有效位前面添“0”，然后把每组二进制数转换成八进制或十六进制即可。
八进制、十六进制转换为二进制时，把上面的过程逆过来即可。
也就是把一个八或十六进制位转换为3或4个二进制位。
例3：
N=（C1B）H=（）B
（C1B）H=1100/0001/1011=（）B
4．数制转换的一般化
（1）R进制转换成十进制
任意R进制数按权展开，相加即可得十进制数据。
例如：
N==1*23+1*22+0*21+1*20+0*2-1+1*2-2+0*2-3+1*2-4=8+4+0+1+0++0+=
N=5A.8H=5*161+A*160+8*16-1=80+10+=
（2）十进制转换R进制
十进制数转换成R进制数，须将整数部分和小数部分分别转换。
整数转换——除R取余法，规则：
1用R去除给定的十进制数的整数部分，取其余数作为转换后的R进制数据的整数部分最低位数字；
②再用R去除所得的商，取其余数作为转换后的R进制数据的高一位数字；
③重复执行②操作，直到商为0结束。
小数转换——乘R取整法，规则：
1用R去乘给定的十进制数的小数部分，取乘积的整数部分作为转换后R进制小数点后第一位数字；
②再用R去乘上一步乘积的小数部分，然后取新乘积的整数部分作为转换后R进制小数的低一位数字；
2重复②操作，一直到乘积为0，或已达到精度要求或位数要求为止。
解决数制转换问题时，如果所给的数值不是用十进制表示的，一般用一个字符型数组来存放。
数组的每个元素分别存储它的一位数字。
然后按位转换求和，得到十进制表示；再把十进制表示转换成所求的数制表示。
转换的结果也用一个字符型数组表示，每个元素表示转换结果的一位数字。
根据数制表示中相邻位的基数关系，可以把不同的数制分成两类。
一类数制表示中，相邻位的基数是等比关系，例如我们熟悉的十进制表示。
另一类数制表示中，相邻位的基数是不等比的。
例如在时间表示中，从秒到分采用60进进制；从月到年则采用12进制。
把一个数值从数制B的表示bmbm-1bm-2...b1转换成十进制表示dndn-1dn-2...d1比较简单。
假设数制B中，第i位的基数为basei（1<=i<=m），直接把basei与bi相乘，然后对全部乘积求和。
从十进制表示dndn-1dn-2...d1到bmbm-1bm-2...b1的转换需要分两种情况考虑：
数制B中相邻数字的基数是等比关系，即：
basei（1<=i<=m）可以表示成Ci-1，其中C是一个常量。
将dndn-1dn-2...d1除以C，余数即为b1；将dndn-1dn-2...d1和C相除的结果再除以C，余数即为b2；…；直至计算出为bm止。
数制B中相邻数字的基数不等比。
需要先判断dndn-1dn-2...d1在数制B中需要的位数m，然后从高位到低位依次计算bm、bm-1、bm-2、...、b1。
例5001特殊的四位数
（来源：
2405/2196）
问题描述：
找出并输出所有的4位数（十进制数）中具有如下属性的数：
四位数字之和等于其十六进制形式各位数字之和，也等于其十二进制形式各位数字之和。
例如：
十进制数2991，其四位数字之和2+9+9+1=21。
由于2991=1*1728+8*144+9*12+3，其十二进制形式为1893（12）,其各位数字之和也为21。
但是它的十六进制形式为BAF（16），其各位数字之和等于11+10+15=36。
因此你的程序要舍去2991这个数据。
下一个数2992，其十进制、十二进制、十六进制形式各位数字之和均为22，因此2992符合要求，应该输出来。
（只考虑4位数，2992是第一个符合要求的数）
输入：
本题没有输入。
输出：
你的程序要求输出2992及其他更大的、满足要求的四位数（要求严格按升序输出），每个数占一行（前后都没有空行），整个输出以换行符结尾。
输出中没有空行。
输出中的前几行如输出样例所示。
输入样例：
本题没有输入。
输出样例：
2992
2993
2994
2995
2996
2997
2998
2999
...
解题分析：
该题在求解时要用到枚举的算法思想，即枚举所有的四位数（1000-9999），判断其是否满足十六进制、十二进制和十进制形式的各位数之和相等。
由于题目已经告诉你3000以内的所有满足条件的数，因此我们可以直接输出这些数，从3000开始枚举。
将一个十进制数N转换到B进制，其方法是：
将N除以B取余数，直到商为0为止，存储得到的余数，然后逆序输出余数即可得到B进制下的数，但由于此题只需要得到N在16、12和10进制下各位的和，所以不需要对余数逆序，直接累加其余数即可。
参考程序（zzg）：
#include<>
#include<>
#include<>
intbase（intb,intn）
{
intsum=0;
while（n!
=0）
{
sum+=n%b;
n/=b;
}
returnsum;
}
intmain（）
{
inti,a;
printf（"2992\n2993\n2994\n2995\n2996\n2997\n2998\n2999\n"）;
for（i=3000;i<10000;i++）
{
a=base（12,i）;
if（base（10,i）==a&&a==base（16,i））
{
printf（"%d\n",i）;
}
}
return0;
}
例5002进制转换
（来源：
2031）
问题描述：
输入一个十进制数N，将它转换成R进制数输出。
输入：
输入数据包含多个测试实例，每个测试实例包含两个整数N（32位整数）和R（2<=R<=16，R<>10）。
输出：
为每个测试实例输出转换后的数，每个输出占一行。
如果R大于10，则对应的数字规则参考16进制（比如，10用A表示，等等）。
输入样例：
72
2312
-43
输出样例：
111
1B
-11
解题分析：
这题就是考察十进制转换为其他进制的用法，由于需要转换的是整数，因此只需要把十进制整数除以R取余即可。
这里可以采用循环或递归来实现即可。
由于R不确定，因此我们可以编写个函数来实现十进制转换为R进制的功能。
参考程序（hxx）：
#include<>
intTenToR（intnum,intr）
{
charm;
if（num==0）
return0;
TenToR（num/r,r）;
m=（num%r>9num%r-10+'A':
num%r+'0'）;
printf（"%c",m）;
}
intmain（）
{
intn,r;
while（scanf（"%d%d",&n,&r）!
=EOF）
{
if（!
n）
printf（"0"）;
elseif（n>0）
TenToR（n,r）;
else
{
printf（"-"）;
TenToR（-n,r）;
}
printf（"\n"）;
}
return0;
}
例5003skew数
（来源：
2973）
问题描述：
在skew二进制数表示中，第k位的值xk表示xk*（2k+1-1）。
每个位上的可能数字是0或1，最后面一个非零位可以是2，例如,10120（skew）=1*（25-1）+0*（24-1）+1*（23-1）+2*（22-1）+0*（21-1）=31+0+7+6+0=44.前十个skew数是0、1、2、10、11、12、20、100、101以及102。
输入：
输入包含一行或多行，每行包含一个整数n。
如果n=0表示输入结束，否则n是一个skew数。
输出：
对于每一个输入，输出它的十进制表示。
转换成十进制后，n不超过231-1=2147483647。
输入样例：
10120
0000000000000000000000
10
000000000000000000
11
100
0000
0
输出样例：
44
46
3
47
4
7
37
解题分析1:
由于n不超过231-1，因此可以直接用int类型来保存n，位权可以采用移位来实现。
参考程序1（hsl）:
#include<>
#include<>
#include<>
intmain（）{
charstr[1010];
while（scanf（"%s",str）!
=EOF）{
if（strcmp（str,"0"）==0）break;
intl=strlen（str）;
inti,j,ans=0,t1=1,t2;
for（i=l-1;i>=0;i--）{
t1=t1<<1;
t2=t1-1;
ans+=（str[i]-'0'）*t2;
}
printf（"%d\n",ans）;
}
return0;
}
解题分析2：
由于skew数位数比较多，超过了int的范围，因此我们只能采用字符数组的形式来接收输入。
这里，最大的skew二进制数对应到十进制数为231-1=47，对应的skew数为：
000000000000000000。
一共31位，因此采用长度为32的字符数组即可。
剩下的工作就是按位权展开求和就能得到想要的结果。
参考程序2：
#include<>
#include<>
#include<>
intmain（）
{
charstr[32];//读入的每个skew二进制数
while（scanf（"%s",str）!
=EOF）
{
intlen=strlen（str）;
intnum=0;//对应的十进制数
if（len==1&&str[0]=='0'）break;
intweight=2;//每位的权值为weight-1
inti;
for（i=len-1;i>=0;i--）
{
num+=（str[i]-'0'）*（weight-1）;
weight*=2;
}
printf（"%d\n",num）;
}
return0;
}
例5004周易
（来源：
2989）
问题描述：
有人说，中国古代的“周易”是二进制系统的起源，在该系统中，他们用“--”表示1，“---”表示0。
因此，二进制数字“011010”可以表述为“---\n--\n--\n---\n--\n---\n”（符号“\n”表示换行）。
现在的问题是如何把一个十进制数转换为“周易”中的二进制
输入：
文件中包含多组测试数据。
每个测试数据占一行，包括一十进制整数n（0<=n<=1000000）和表示二进制位数的k（0n=0，k=0表示输入结束。
输出：
对于每组测试数据，输出“周易”中对应的k行二进制数。
每组测试数据之间输出一个空行。
输入样例：
73
03
266
00
输出样例：
--
--
--
---
---
---
---
--
--
---
--
---
解题分析：
这题首先要把十进制数转换为二进制数，这个可以采用除2取余，再逆序输出即可。
其次就是如何输出k位，这里可能涉及到两种情况，一是k要大于实际二进制数的位数，那么前面需要用0来填补。
二是k小于实际的位数，那么需要在输出时控制只输出前k位（这里不会出现这种情况，因为题目中已经明确了n<2^k）。
由于k>0且k<=20，因此我们可以使用一个20位长的整数数组来存储转换后的二进制数，初始化时全部为0。
参考程序（hxx）：
#include<>
#include<>
intmain（）
{
inta[20];
intn,k;
inti;
while
（1）
{
scanf（"%d%d",&n,&k）;
if（n==0&&k==0）
break;
for（i=0;i<20;i++）
a[i]=0;
i=0;
while（n）
{
a[i++]=n%2;
n=n/2;
}
for（i=k-1;i>=0;i--）
{
if（a[i]==1）
printf（"--\n"）;
else
printf（"---\n"）;
}
printf（"\n"）;
}
return0;
}
例5005奶牛计算器
（来源：
3191）
问题描述：
由于缺乏数学经验，奶牛想建立一个计算机器（它被称为Cowmpouter），使用二进制数字（基数为2），但它是建立在-2的基础上。
他们非常高兴，因为在-2进制表示的数字中不需要符号位。
你知道基数的权值都是从1开始的（0位），然后从右到左依次为基数1次方，基数2次方等等。
在-2进制中，其权值从右到左，依次为1，-2，4，-8，16，-32，…。
因此，从1计数依次是：
1，110，111，100，101，11010，11011，11000，11001等等。
很怪异的是，负数也那个用1和0表示，但没有符号位。
从-1向下计数依次为：
11，10，1101，1100，1111等等。
请帮助奶牛把普通的十进制整数（范围为：
-2,000,000,000到2,000,000,000）转换为-2进制对应的数。
输入：
输入只有一行，一个需要转换为-2进制的十进制整数。
输出：
对应的-2进制的数，没有前导0，0就表示0本身，只用1个0。
输入样例：
-13
输出样例：
110111
解题分析：
此题的解法基于以下几点：
（1）如果一个数是奇数，那么它的二进制形式的最后一位肯定是1，我们可以去掉此1，就是（x-1）/-2，进入
（2）。
（2）如果一个数的最后一位为0，我们可以把这个数右移（可以类比以2为基的二进制数的操作）一位，然后它的二进制的倒数第二个数就成了最后一个，就是x=x/-2，然后进入
（1）迭代，直到变为0。
参考程序（hxx）：
#include<>
#include<>
intvalue;
charcache[100];
intcnt;
voidreverse（）
{
inti;
chartmp;
for（i=0;i{
tmp=cache[cnt-i-1];
cache[cnt-i-1]=cache[i];
cache[i]=tmp;
}
}
intmain（）
{
scanf（"%d",&value）;
if（value==0）
{
printf（"0"）;
gotoend;
}
while（value!
=1）
{
if（abs（value）%2!
=0）
{
cache[cnt++]='1';
value=（value-1）/（-2）;
}
else
{
cache[cnt++]='0';
value=value/（-2）;
}
}
reverse（）;
cache[cnt]='\0';
printf（"1%s",cache）;
end:
;
return0;
}
例5006计算器设计
（来源：
1546/1334）
问题描述：
ReallyNeato计算器公司最近邀请你的团队为他们设计一款超级Neato一代计算器。
作为计算机科学家，你建议该计算器能够在各种进制之间进行转换。
他们认为这是一个很好的想法，并要求你的团队先给出实现进制转换的算法原型。
公司经理告诉你，该计算器应该具有以下一些特征：
（1）可以显示7位；
（2）按键除了数字0到9外，还包括大写字母A到F；
（3）支持2~16进制。
输入：
输入文件中的每行为一个进制转换，包括3个数，第1个数是原进制下的一个整数，第2个数就是原进制，第3个数是转换后的进制。
这3个数的两边可能有一个或多个空格。
输入数据一直到文件结尾。
输出：
实现所有的进制转换，转换后的数右对齐到7位显示。
如果转换后的数的位数太多，超过7位，则输出“ERROR”，也是右对齐到。
输入样例：
1111000210
1111000216
2102101310
2102101315
1231242
1A152
12345671016
ABCD1615
输出样例：
120
78
1765
7CA
ERROR
11001
12D687
D071
参考程序（zzg）：
#include<>
#include<>
longb2ten（char*x,intb）;
intmain（）
{
charnumsrc[10],numdest[10];//用来存储读入的数和转换后的数
chartemp[10];
charerror[10]="ERROR";
longnum;
intsrc,dest;//转换前的进制和转换后的进制
inti,j;
//freopen（"","r",stdin）;
while（scanf（"%s%d%d",numsrc,&src,&dest）!
=EOF）
{
//先把src进制的数转换为10进制数，存放到temp中
num=b2ten（numsrc,src）;
if（dest==10）
{
if（num>9999999）
printf（"%7s\n",error）;
else
printf（"%7d\n",num）;
}
else
{
i=0;
while（num）
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