学年新教材素养突破人教A版数学必修第一册课件+讲义+课时作业41.docx
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学年新教材素养突破人教A版数学必修第一册课件+讲义+课时作业41
4．1 指数
最新课程标准：
通过对有理数指数幂a
（a>0，且a≠1；m，n为整数，且n>0）、实数指数幂ax（a>0，且a≠1；x∈R）含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质．
知识点一 n次方根及根式的概念
1．a的n次方根的定义
如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
2．a的n次方根的表示
（1）当n是奇数时，a的n次方根表示为
，a∈R.
（2）当n是偶数时，a的n次方根表示为±
，其中－
表示a的负的n次方根，a∈[0，＋∞）．
3．根式
式子
叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
根式的概念中要求n>1，且n∈N*.
知识点二 根式的性质
（1）（
）n＝a（n∈R＋，且n>1）；
（2）
＝
（
）n中当n为奇数时，a∈R；n为偶数时，a≥0，而
中a∈R.
知识点三 分数指数幂的意义及有理数指数幂的运
算性质
1．分数指数幂的意义
分数指数幂
正分数
指数幂
规定：
a
＝
（a>0，m，n∈N*，且n>1）
负分数
指数幂
规定：
a
＝
＝
（a>0，m，n∈N*，且n>1）
性质
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义
2.有理数指数幂的运算性质
（1）aras＝ar＋s；（a>0，r，s∈Q）
（2）（ar）s＝ars；（a>0，r，s∈Q）
（3）（ab）r＝arbr.（a>0，b>0，r∈Q）
3．无理数指数幂
无理数指数幂aα（a>0，α是无理数）是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用．
[教材解难]
1．教材P105思考
可以，把根式表示为分数指数幂的形式时，例如，把
，
，
等写成下列形式：
＝a
（a>0），
＝b
（b>0），
＝c
（c>0）．
2．教材P108思考
无理数指数幂2
的含义：
就是一串以
的不足近似值为指数、以2为底数的有理数指数幂和另一串同样以
的过剩近似值为指数、以2为底数的有理数指数幂无限逼近的结果，故2
是一个确定的实数．
[基础自测]
1.
＋π等于（ ）
A．4 B．2π－4
C．2π－4或4D．4－2π
解析：
＋π＝4－π＋π＝4.故选A.
答案：
A
2．b4＝3（b>0），则b等于（ ）
A．34B．3
C．43D．35
解析：
因为b4＝3（b>0），∴b＝
＝3
.
答案：
B
3．下列各式正确的是（ ）
A.
＝－3B.
＝a
C．（
）3＝－2D.
＝2
解析：
由于
＝3，
＝|a|，
＝－2，故选项A，B，D错误，故选C.
答案：
C
4.
的值是________．
解析：
＝
＝
＝
＝
＝
.
答案：
题型一 利用根式的性质化简求值[经典例题]
例1
（1）下列各式正确的是（ ）
A.
＝aB．a0＝1
C.
＝－4D.
＝－5
（2）计算下列各式：
①
＝________.
②
＝________.
③
－
－
＝________.
【解析】
（1）由于
＝
则选项A，C排除，D正确，B需要加条件a≠0.
（2）①
＝－a.
②
＝
＝π－3.
③
－
－
＝
－
－
＝
－
－
＝
.
首先确定式子
中n的奇偶，再看式子的正负，最后确定化简结果．
【答案】
（1）D
（2）①－a ②π－3 ③
方法归纳
根式化简或求值的策略
（1）解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．
（2）开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论．
跟踪训练1 求下列各式的值：
（1）
；
（2）
；
（3）
；（4）
＋
.
解析：
（1）
＝－2；
（2）
＝
＝
；
（3）
＝|3－π|＝π－3；
（4）原式＝
＋y－x＝|x－y|＋y－x.
当x≥y时，原式＝x－y＋y－x＝0；
当x所以原式＝
由根式被开方数正负讨论x≥y，x题型二 根式与分数指数幂的互化[经典例题]
例2
（1）将分数指数幂a
（a>0）化为根式为________．
（2）化简：
（a2·
）÷（
·
）＝________.（用分数指数幂表示）．
利用根式与分数指数幂的性质意义化为根式或分数指数幂．（3）将下列根式与分数指数幂进行互化．
①a3·
.
②
（a>0，b>0）．
【解析】
（1）a
＝
＝
（2）（a2·
）÷（
·
）＝（a2·a
）÷（a
·a
）＝a
÷a
＝a
＝a
【答案】
（1）
（2）a
（3）①a3·
＝a3·a
＝a
＝a
. ②
＝
＝
＝
＝a
b
.
方法归纳
根式与分数指数幂互化的方法及思路
（1）方法：
根指数
分数指数的分母，被开方数（式）的指数
分数指数的分子．
（2）思路：
在具体计算中，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．
提醒：
如果根式中含有多重根号，要由里向外用分数指数幂写出．
跟踪训练2 下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A.－
＝（－x）
（x>0）
B.
＝y
（y<0）
C．x
＝
（x>0）
D．x
＝－
（x≠0）
解析：
－
＝－x
（x>0）；
＝（y2）
＝－y
（y<0）；
x
＝（x－3）
＝
（x>0）；x
＝
＝
（x≠0）．
答案：
C
A：
－
先把
＝x
再加上－.
B：
注意y<0.
C：
负指数次幂运算．
题型三 分数指数幂的运算与化简[教材P106例4]
例3 计算下列各式（式中字母均是正数）：
（1）（2a
b
）（－6a
b
）÷（－3a
b
）；
（2）（m
n
）8；
（3）（
－
）÷
.
【解析】
（1）（2a
b
）（－6a
b
）÷（－3a
b
）
＝[2×（－6）÷（－3）]a
b
＝4ab0
＝4a；
（2）（m
n
）8＝
8
8
＝m2n－3
＝
；
（3）（
－
）÷
＝（a
－a
）÷a
＝a
÷a
－a
÷a
＝a
－a
＝a
－a
＝
－a.
①先进行指数运算，在进行指数运算时可将底数化成幂的形式，再利用幂的乘方进行运算；②对于零次幂，直接运用a0＝1（a≠0）得出结论；③底数为带分数的化成假分数，进而将底数化成幂的形式；④底数为小数的一般化成分数来运算；⑤先算乘方（开方），再算乘除，最后算加减．
教材反思
利用指数幂的运算性质化简求值的方法
（1）进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．
（2）在明确根指数的奇偶（或具体次数）时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．
（3）对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．
跟踪训练3 计算：
（1）（－1.8）0＋
－2·
－
＋
；
（2）
·
（a>0，b>0）．
解析：
（1）原式＝1＋
2·
－10＋9
＝1＋
2·
2－10＋27＝29－10＝19.
（2）原式＝4
·0.12·
＝2×
×8＝
.
先把根式化为分数指数幂再运用指数幂的运算法则计算．
一、选择题
1．将
化为分数指数幂，其形式是（ ）
A．2
B．－2
C．2
D．－2
解析：
＝（－2
）
＝（－2×2
）
＝（－2
）
＝－2
.
答案：
B
2．若a
（a－2）0有意义，则a的取值范围是（ ）
A．a≥0B．a＝2
C．a≠2D．a≥0且a≠2
解析：
要使原式有意义，只需
，
∴a≥0且a≠2.
答案：
D
3．化简
的结果是（ ）
A．－
B.
C．－
D.
解析：
依题意知x<0，所以
＝－
＝－
.
答案：
A
4．化简（
）4·（
）4的结果是（ ）
A．a16B．a8
C．a4D．a2
解析：
（
）4·（
）4
＝（
）
·（
）
＝（a
）
·（a
）
＝a
·a
＝a4.
答案：
C
二、填空题
5.
－
＋
的值为________．
解析：
原式＝
－
＋
＝
－
＋
＝
.
答案：
6．设α，β为方程2x2＋3x＋1＝0的两个根，则
α＋β＝____________________.
解析：
由根与系数关系得α＋β＝－
，所以
α＋β＝
＝（2－2）
＝23＝8.
答案：
8
7．若
＋
＝0，则（x2019）y＝________.
解析：
∵
＋
＝0，
∴
＋
＝|x＋1|＋|y＋3|＝0，
∴x＝－1，y＝－3.
∴（x2019）y＝[（－1）2019]－3＝（－1）－3＝－1.
答案：
－1
三、解答题
8．用分数指数幂的形式表示下列各式（a>0，b>0）：
（1）a2
；
（2）
·
；
（3）（
）2·
；（4）
.
解析：
（1）原式＝a2a
＝a
＝a
.
（2）原式＝a
·a
＝a
＝a
.
（3）原式＝（a
）2·（ab3）
＝a
·a
b
＝a
b
＝a
b
.
（4）原式＝a2·a
＝a
＝a
.
9．计算下列各式：
（1）0.064
－
0＋[（－2）3]
＋16－0.75；
（2）
－（－9.6）0－
＋（－1.5）－2；
（3）
＋0.002
－10（
－2）－1＋（
－
）0.
解析：
（1）原式＝0.4－1－1＋（－2）－4＋2－3＝
－1＋
＋
＝
.
（2）原式＝
－1－
＋
－2＝
－1－
－2＋
2＝
.
（3）原式＝（－1）
·
＋
－
＋1＝
＋500
－10（
＋2）＋1
＝
＋10
－10
－20＋1＝－
.
[尖子生题库]
10．已知a
＋a
＝
，求下列各式的值：
（1）a＋a－1；
（2）a2＋a－2；（3）a2－a－2.
解析：
（1）将a
＋a
＝
两边平方，
得a＋a－1＋2＝5，
则a＋a－1＝3.
（2）由a＋a－1＝3两边平方，
得a2＋a－2＋2＝9，
则a2＋a－2＝7.
（3）设y＝a2－a－2，两边平方，
得y2＝a4＋a－4－2
＝（a2＋a－2）2－4
＝72－4
＝45，
所以y＝±3
，
即a2－a－2＝±3
.
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