第一章 学案8.docx
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第一章学案8
学案8 习题课：
电场能的性质
[学习目标] 1.理解电势能、电势差、电势、等势面的概念.2.能求解电场力做的功和电场中的电势.3.掌握匀强电场中电势差与电场强度的关系．
一、电场线、等势面和运动轨迹的综合
例1 某同学在研究电子在电场中的运动时，得到了电子由a点运动到b点的轨迹（如图1中实线所示），图中未标明方向的一组虚线可能是电场线，也可能是等势面，则下列说法正确的是（ ）
图1
A．如果图中虚线是电场线，电子由a点运动到b点，动能减小，电势能增大
B．如果图中虚线是等势面，电子由a点运动到b点，动能增大，电势能减小
C．不论图中虚线是电场线还是等势面，a点的电场强度都大于b点的电场强度
D．不论图中虚线是电场线还是等势面，a点的电势都高于b点的电势
解析 电子做曲线运动，它受到的静电力方向指向轨迹的凹侧．如果虚线是电场线，电子受到静电力的方向沿电场线向左，由a点运动到b点，静电力做负功，动能减小，电势能增大，A正确；若虚线是等势面，电场线与等势面垂直，即电子受到的静电力方向也与等势面垂直，方向指向斜下方，电子由a点运动到b点，静电力做正功，动能增大，电势能减小，电势升高，B正确，D错误；因为等势面密集处电场线也密集，题图中虚线无论是电场线还是等势面，a处都较密集，所以a点的电场强度大于b点的电场强度，C正确．
答案 ABC
[总结提升]
（1）已知等势面的形状分布，根据电场线和等势面相互垂直可以绘制电场线．
（2）由电场线和等差等势面的疏密，可以比较不同点的场强大小，电场线或等势面密集处，场强较大．
（3）根据电荷的运动轨迹可以判断电荷受力方向和做功的正负，从而判断电势能的变化情况，注意电场力与电场线相切，且指向曲线的凹侧．
针对训练1 如图2所示，O是一固定的点电荷，虚线是该点电荷产生的电场中的三条等势线，正点电荷q仅受电场力的作用下沿实线所示的轨迹从a处运动到b处，然后又运动到c处．由此可知（ ）
图2
A．O为负电荷
B．在整个过程中q的电势能先变小后变大
C．在整个过程中q的速度先变大后变小
D．在整个过程中，电场力做功为零
答案 D
解析 由运动轨迹分析可知q受到库仑斥力的作用，O点的电荷应为正电荷，A错；从a到b的过程q受到逐渐变大的库仑斥力，速度逐渐减小，加速度增大，电势能逐渐增大；而从b到c的过程q受到逐渐变小的库仑斥力，速度逐渐增大，加速度减小，电势能逐渐减小，B、C错；由于a、c两点在同一等势面上，整个过程中，电场力不做功，D对．
二、电势、电势能、电场力做功的综合分析
例2 如图3所示，光滑绝缘细杆竖直放置，它与以正电荷Q为圆心的某圆交于B、C两点，质量为m、带电荷量为－q的有孔小球从杆上A点无初速度下滑，已知q≪Q，AB＝h，小球滑到B点时的速度大小为
.求小球由A到C的过程中静电力做的功及A、C两点间的电势差．
图3
解析 因为Q是正点电荷，所以以Q为圆心的圆面是一个等势面，这是一个重要的隐含条件，由A到B过程中静电力是变力，所以不能直接用W＝Fx来解，只能考虑应用功能关系求解．
因为杆是光滑的，所以小球从A到B过程中只有两个力做功：
静电力做功W和重力做功mgh，由动能定理得：
W＋mgh＝
mv
代入已知条件vB＝
得静电力做功
W＝
m·3gh－mgh＝
mgh
由B到C电场力做功为0，所以由A到C电场力做功WAC＝W＋0＝
mgh.
因为U＝
＝
由于φA＜φC，所以UAC＝－
.
答案
mgh －
例3 为使带负电的点电荷q在一匀强电场中沿直线匀速地由A运动到B，必须对电荷施加一恒力F，如图4所示．若AB＝0.4m，α＝37°，q＝－3×10－7C，F＝1.5×10－4N，A点电势φA＝100V．已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8.（不计重力）
图4
（1）在图中用实线画出电场线，用虚线画出通过A、B两点的等势线，并标明它们的电势值；
（2）q在由A到B的过程中电势能的变化量是多少？
解析
（1）由平衡条件可知静电力方向与F方向相反、大小相等，又知电荷带负电，故电场强度方向与静电力方向相反，所以电场方向与F方向相同，如图所示．
E＝
＝
N/C＝5×102N/C，
UBA＝φB－φA＝－E
cosα，
φB＝φA－E
cosα＝－60V.
（2）负电荷在由A到B的过程中，电势能增加，增量为
ΔEp＝qEd＝qUBA＝－3×10－7×（－160）J＝4.8×10－5J.
答案
（1）见解析图
（2）电势能增加4.8×10－5J
[方法总结]
（1）计算电场力做功的方法，常见的有以下几种：
①利用电场力做功与电势能的关系求解：
WAB＝EpA－EpB.
②利用W＝Fd求解，此公式只适用于匀强电场．
③利用公式WAB＝qUAB求解．
④利用动能定理求解．
（2）分析电荷电势能变化的方法：
①知道电荷的电荷量和所在位置的电势，由公式Ep＝qφ判断．
②由电场力做功分析电势能的变化：
电场力做正功，电势能减少；电场力做负功，电势能增加，即W＝Ep1－Ep2.
三、用等分法确定等势线和电场线
1．在匀强电场中电势差与电场强度的关系式为U＝Ed，其中d为两点沿电场线方向的距离．由公式U＝Ed可以得到下面两个结论：
结论1：
匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势φC＝
，如图5甲所示．
甲 乙
图5
结论2：
匀强电场中若两线段AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD（或φA－φB＝φC－φD），如图乙所示．
2．确定电场方向的方法：
先由等分法确定电势相等的点，画出等势线，然后根据电场线与等势面垂直画出电场线，且电场线的方向由电势高的等势面指向电势低的等势面．
例4 如图6所示，A、B、C表示匀强电场中的三点，它们的电势分别为φA＝－5V，φB＝9V，φC＝2V．试在图中画出过A、B、C点的三条等势线，并画出一条过C点的电场线．
图6
解析 由题中给定三点的电势可知：
UBA＝14V，UBC＝7V．由于是匀强电场，故AB连线的中点D与C点是等势点，而匀强电场中等势面为一平面，故DC连线为等势线，再过A、B点分别作平行于CD的直线即为所求的过A、B、C点的三条等势线，如图所示，过C作垂直于CD的直线即为过C点的电场线．
答案 见解析
针对训练2 如图7所示，A、B、C、D是匀强电场中的四个点，D是BC的中点，A、B、C构成一个直角三角形，AB长为1m，电场线与三角形所在的平面平行，已知φA＝5V、φB＝－5V、φC＝15V，由此可以判断（ ）
图7
A．场强的方向由C指向B
B．场强的方向垂直AD连线斜向上
C．场强的大小为10V/m
D．场强的大小为
V/m
答案 D
解析 由于φB＝－5V，φC＝15V，则BC中点D的电势为φD＝5V，即A点和D点电势相等，则电场方向垂直AD连线斜向下，A、B选项均不正确；场强大小为E＝
＝
V/m＝
V/m，故D选项正确.
1．（多选）图8中虚线1、2、3、4表示匀强电场的等势面．一带正电的粒子只在电场力的作用下从a点运动到b点，轨迹如图中实线所示．下列说法中正确的是（ ）
图8
A．等势面1电势最低
B．粒子从a运动到b，动能减小
C．粒子从a运动到b，电势能减小
D．粒子从a运动到b的过程中电势能与动能之和不变
答案 CD
解析 由图可知电场力的方向，由于粒子带正电，所以电场线方向从左向右，则等势面1的电势最高，故A错误；粒子从a运动到b，电场力做正功，动能增加，电势能减小，故B错误，C正确；粒子仅在电场力作用下做功，所以此过程中电势能与动能之和不变，故D正确．
2.如图9所示，在匀强电场中有a、b、c、d四点，它们处于同一圆周上，ac、bd分别是圆的直径且
∥
.已知a、b、c三点的电势分别为φa＝9V，φb＝15V，φc＝18V，则d点的电势为（ ）
图9
A．4VB．8VC．12VD．16V
答案 C
解析 由题意知Uab＝Udc.由此可得d点电势为12V.
3．（多选）如图10所示，光滑绝缘细管与水平面成30°角，在管的上方P点固定一个点电荷＋Q，P点与细管在同一竖直平面内，管的顶端A与P点连线水平．电荷量为－q的小球（小球直径略小于细管内径）从管中A处由静止开始沿管向下运动，在A处时小球的加速度为a.图中PB⊥AC，B是AC的中点，不考虑小球电荷量对电场的影响．则在＋Q形成的电场中（ ）
图10
A．A点的电势高于B点的电势
B．B点的电场强度大小是A点的4倍
C．小球从A到C的过程电势能先减小后增大
D．小球运动到C处的加速度为g－a
答案 BCD
解析 在正点电荷形成的电场中，离电荷越近的地方电势越高，故A错．由E＝k
和rPA＝2rPB，可得EB＝4EA，故B对．小球从A到C的过程中，电场力先做正功后做负功，故电势能先减小后增大，C对．小球在A、C两点所受电场力的大小相等，设为F，在A点有：
mgsin30°＋Fcos30°＝ma；在C点有：
mgsin30°－Fcos30°＝ma′，两式相加整理即得a′＝g－a，故D正确．
4.如图11所示，Q为固定的正点电荷，A、B两点在Q的正上方和Q相距分别为h和0.25h，将另一点电荷从A点由静止释放，运动到B点时速度正好变为零，若此电荷在A点处的加速度大小为
g，求：
图11
（1）此电荷在B点处的加速度；
（2）A、B两点间的电势差（用Q和h表示）．
答案
（1）3g，方向竖直向上
（2）－
解析
（1）由题意可知，这一电荷必为正电荷，设其电荷量为q，由牛顿第二定律得，在A点时：
mg－k
＝m·
g．在B点时：
k
－mg＝m·aB，解得aB＝3g，方向竖直向上．
（2）从A到B的过程，由动能定理得mg（h－0.25h）＋qUAB＝0，解得UAB＝－
.
一、选择题（1～6题为单选题，7～9题为多选题）
1.如图1所示，a、b、c为电场中同一条水平方向电场线上的三点，c为ab的中点，a、b电势分别为φa＝5V、φb＝3V．下列叙述正确的是（ ）
图1
A．该电场在c点处的电势一定为4V
B．a点处的场强Ea一定大于b点处的场强Eb
C．一正电荷从c点运动到b点电势能一定减少
D．一正电荷运动到c点时受到的电场力方向由c指向a
答案 C
解析 由于无法确定该电场是否为匀强电场所以无法确定a、b、c处场强的大小关系及c点处的电势，所以A、B错；正电荷运动到c点受力方向为由c指向b，故D错．
2．如图2所示，虚线是等势面，相邻的两等势面的电势差都相等，有一带正电的小球在电场中运动，实线表示该带正电的小球的运动轨迹，小球在a点的动能为20eV，运动到b点的动能为2eV.若取c点为零电势点，则当这个小球的电势能为－6eV时，它的动能为（不计重力和空气阻力）（ ）
图2
A．16eVB．14eV
C．6eVD．4eV
答案 B
解析 设相邻两等势面间的电势差为U，小球的电荷量为q，小球从a到b和从b到c分别根据动能定理得：
－q·3U＝Ekb－Eka，qU＝Ekc－Ekb，解得：
Ekc＝
（Eka＋2Ekb）＝
（20＋2×2）eV＝8eV.因为c点电势为0，所以小球在c点时的电势能为0，小球在电场中运动只有电场力做功，所以小球的动能和电势能的总和保持不变，恒为8eV，所以当小球的电势能为－6eV时，它的动能为14eV.
3．如图3所示，虚线表示某点电荷Q所激发电场的等势面，已知a、b两点在同一等势面上，c、d两点在另一个等势面上，甲、乙两个带电粒子以相同的速率，沿不同的方向从同一点a射入电场，在电场中沿不同的轨迹adb曲线、acb曲线运动，则（ ）
图3
A．两粒子所带的电荷为同种电荷
B．甲粒子经过c点时的速度大于乙粒子经过d点时的速度
C．两个粒子的电势能都是先减小后增大
D．经过b点时，两粒子的电势能相等
答案 B
解析 根据曲线运动时，质点所受的合力指向轨迹的内侧可知，甲受到引力，乙受到斥力，则甲与Q是异种电荷，而乙与Q是同种电荷，故两粒子所带的电荷为异种电荷，故A错误；甲粒子从a到c过程，电场力做正功，动能增加，而乙从a到d过程，电场力做负功，动能减小，两粒子初动能相等，则知甲粒子经过c点时的速度大于乙粒子经过d点时的速度，故B正确；甲粒子从a到b过程，电场力先做正功后做负功，电势能先减小后增大，电场力对乙粒子先做负功后做正功，电势能先增大后减小，故C错误；经过b点时，两粒子的电势相等，而电荷量关系未知，不能确定电势能的关系，故D错误．
4.一带电粒子沿图4中曲线穿过一匀强电场中的等势面，且四个等势面的电势关系满足φa>φb>φc>φd，若不计粒子所受重力，则（ ）
图4
A．粒子一定带正电
B．粒子的运动是匀变速运动
C．粒子从A点到B点运动的过程中动能先减小后增大
D．粒子从A点到B点运动的过程中电势能增大
答案 B
解析 由于φa>φb>φc>φd，所以电场线垂直于等势面由a指向d，根据电荷运动规律可知其受力由d指向a，即该粒子带负电，从A点到B点的运动过程中，粒子的动能在增大，电势能在减小．
5．如图5所示，在平面直角坐标系中，有一个方向平行于坐标平面的匀强电场，其中坐标原点O处的电势为0，点A处的电势为6V，点B处的电势为3V，则电场强度的大小为（ ）
图5
A．200V/mB．200
V/m
C．100V/mD．100
V/m
答案 A
解析 在匀强电场中，沿某一方向电势降落，则在这一方向上电势均匀降落，故OA的中点C的电势φC＝3V（如图所示），因此B、C在同一等势面上．O点到BC的距离d＝
sinα，而sinα＝
＝
，所以d＝
＝1.5×10－2m．根据E＝
得，匀强电场的电场强度E＝
＝
V/m＝200V/m，故选项A正确．
6．某区域的电场线分布如图6所示，其中间一根电场线是直线，一带正电的粒子从直线上的O点由静止开始在电场力作用下运动到A点，取O点为坐标原点，沿直线向右为x轴正方向，粒子的重力忽略不计．在O到A运动过程中，下列关于粒子运动加速度a和速度v随时间t的变化、运动径迹上电势φ和粒子的动能Ek随位移x的变化图线可能正确的是（ ）
图6
答案 A
解析 从O点到A点，电场强度先减小后增大，粒子所受电场力先减小后增大，加速度先减小后增大，所在在相同位移的情况下，电荷的动能的增量先变慢后变快，图象的斜率先减小后增大．选项A正确，B、D错误；沿着电场线方向电势逐渐降低，而电势与位移的图象的斜率表示电场强度，因此斜线先减小后增大，C错误．
7.在光滑的绝缘水平面上，有一个正方形abcd，顶点a、c分别固定一个正点电荷，电荷量相等，如图7所示．若将一个带负电的粒子置于b点，自由释放，粒子将沿着对角线bd往复运动．粒子从b点运动到d点的过程中（ ）
图7
A．先做匀加速运动，后做匀减速运动
B．先从高电势到低电势，后从低电势到高电势
C．电势能与机械能之和保持不变
D．电势能先减小，后增大
答案 CD
解析 a、c两点固定相同的正点电荷，则bd为等量同种点电荷连线的中垂线，由电场线分布情况可知带电粒子不可能做匀加速或匀减速运动，故A错误；等量同种正点电荷连线中垂线上的中点电势最高，带负电的粒子从b点运动到d点的过程中，先从低电势到高电势，再从高电势到低电势，故B错误；带电粒子从b到d运动过程中所受电场力先由b指向d，后由d指向b，所以电场力先做正功后做负功，因此电势能先减小，后增大，故D正确；只有电场力做功，电势能与机械能之和保持不变，故C正确．故选C、D.
8.如图8所示，虚线a、b、c代表电场中的三个等势面，实线为一带正电的质点仅在电场力的作用下通过该区域时的运动轨迹，P、Q为这条轨迹上先后经过的两个点，由此可知（ ）
图8
A．三个等势面中，a电势最高
B．质点在Q点时，加速度较大
C．带电质点通过P点时动能较大
D．质点通过Q时电势能较小
答案 BC
解析 根据等势线与电场线的关系，可知电场线必处处与等势线垂直；由带正电质点的轨迹的弯曲方向，可知电场线方向如图所示．由图可知，电场强度EQ＞EP，电势φc＞φb＞φa，EpQ＞EpP.因此A、D错误，B正确．由能量守恒可知，当质点通过P点时，动能较大，所以C正确．
9．如图9所示，两电荷量分别为Q（Q＞0）和－Q的点电荷对称地放置在x轴上原点O的两侧，a点位于x轴上O点与点电荷Q之间，b点位于y轴O点上方．取无穷远处的电势为零．下列说法正确的是（ ）
图9
A．b点电势为零，电场强度也为零
B．正的试探电荷在a点的电势能大于零，所受电场力方向向右
C．将正的试探电荷从O点移到a点，必须克服电场力做功
D．将同一正的试探电荷先后从O、b两点移到a点，后者电势能的变化较大
答案 BC
二、计算题
10．匀强电场的场强为40N/C，在同一条电场线上有A、B两点，把质量为2×10－9kg、带电荷量为－2×10－9C的微粒从A点移到B点，电场力做了1.5×10－7J的正功．求：
（1）A、B两点间的电势差UAB；
（2）A、B两点间的距离；
（3）若微粒在A点具有与电场线同向的速度为10m/s，在只有电场力作用的情况下，求经过B点的速度．
答案
（1）－75V
（2）1.875m （3）5
m/s，方向与电场线同向
解析
（1）WAB＝UAB·q
UAB＝
＝
V＝－75V.
（2）由题意知：
场强方向由B→A，故UBA＝E·d，d＝
＝
m＝1.875m.
（3）由动能定理有WAB＝
mv
－
mv
解得vB＝5
m/s，方向与电场线同向．
11．如图10所示，a、b、c、d为匀强电场中四个等势面，相邻等势面间距离均为2cm，已知UAC＝60V，求：
图10
（1）设B点电势为零，求A、C、D、P点的电势；
（2）将q＝－1.0×10－10C的点电荷由A移到D，电场力所做的功WAD；
（3）将q＝1.0×10－10C的点电荷由B移到C，再经过D最后回到P，电场力所做的功WBCDP.
答案
（1）30V －30V －60V 0
（2）－9.0×10－9J （3）0
解析
（1）由题意可知φP＝φB＝0
UAC＝60V，UAB＝UBC，所以UAB＝φA－0＝30V
则φA＝30V，同理φC＝－30V，φD＝－60V.
（2）WAD＝qUAD＝q（φA－φD）＝－9.0×10－9J.
（3）由于电场力做功与路径无关，只与初、末位置有关，所以WBCDP＝qUBP＝0.
12.如图11所示，在竖直平面内，光滑绝缘直杆AC与半径为R的圆周交于B、C两点，在圆心处有一固定的正点电荷，B点为AC的中点，C点位于圆周的最低点．现有一质量为m、电荷量为－q套在杆上的带负电小球（可视为质点）从A点由静止开始沿杆下滑．已知重力加速度为g，A点距过C点的水平面的竖直高度为3R，小球滑到B点时的速度大小为2
.求：
图11
（1）小球滑到C点时的速度大小；
（2）若以C点作为零电势点，试确定A点的电势．
答案
（1）
（2）
解析
（1）因为B、C两点电势相等，故小球从B到C运动的过程中电场力做的总功为零．
由几何关系可得BC的竖直高度hBC＝
根据动能定理有mg·
＝
－
解得vC＝
.
（2）小球从A到C，重力和电场力均做正功，所以由动能定理有mg·3R＋W电＝
，又根据电场力做功与电势能的关系：
W电＝EpA－EpC＝－qφA－（－qφC）．
又因为φC＝0，
可得φA＝
.
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