定积分及微积分基本定理练习试题包括答案docx.docx
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定积分及微积分基本定理练习试题包括答案docx
1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案
1.（2011
·宁夏银川一中月考
）求曲线
y＝x2
与
y＝x
所围成图形的面积，其中正确的是
（
）
A．S＝
1（x2－x）dx
0
B．S＝
1（x－x2）dx
0
C．S＝
1（y2－y）dyD
0
．S＝
1（y－
0
y）dy
[0,1]
[答案]B
[分析]根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数．
[解读]两函数图象的交点坐标是（0,0），（1,1），故积分上限是
上，x≥x2，故函数y＝x2与y＝x所围成图形的面积S＝1（x
0
1，下限是－x2）dx.
0，由于在
2．（2010·山东日照模考
）a＝
2xdx，b＝
0
2exdx，c＝
0
2sinxdx0
，则
a、b、c
的大小关
系是（
）
A．aC．c[答案]
D
1
[解读
]
a＝
2xdx＝2x2|020
＝2，b＝
2exdx＝ex|020
＝e2－1>2，c＝
2sinxdx0
＝－
cosx|02＝1－cos2∈（1,2），
∴c3．（2010·山东理，7）由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为（）
1
1
1
7
A.12B.4C.3D.12
[答案]
A
y＝x2
[解读]
由
得交点为（0,0）
，（1,1）．
y＝x3
1
1
1
∴S＝
1（x2－x3）dx＝
3x3－
4x4
01＝12.
0
[点评]图形是由两条曲线围成的时，其面积是上方曲线对应函
数表达式减去下方曲线对应函数表达式的积分，请再做下题：
（2010·湖南师大附中）设点P在曲线y＝x2上从原点到A（2,4）移动，如果把由直线OP，
—
直线y＝x2
及直线x＝2所围成的面积分别记作
S1，S2.如图所示，当
S1＝S2时，点P的坐
标是（
）
A.
4
16
B.
4
16
3，9
5，9
C.
4
15
D.
4
13
3，7
5，7
[答案]
A
t3
[解读]
设P（t，t2）（0
≤t≤2），则直线OP：
y＝tx，∴S1＝t（tx
－x2）dx＝
6；S2＝
0
8
t3
4
4
16
2（x2－tx）dx
＝3－2t＋6
，若S1＝S2，则t＝3，∴P3，9.
t
4．由三条直线x＝0、x＝2、y＝0和曲线y＝x3
所围成的图形的面积为（
）
4
18
A．4B.
3C.5D．6
[答案]
A
x4
[解读]
S＝
2x3dx＝
402＝4.
0
5．（2010·湖南省考试院调研）1－1（sinx＋1）dx的值为（）
A．0B．2
C．2＋2cos1D．2－2cos1
[答案]B
[解读]1－1（sinx＋1）dx＝（－cosx＋x）|－11＝（－cos1＋1）－（－cos（－1）－1）＝
2.
6．曲线y＝cosx（0≤x≤2π）与直线y＝1所围成的图形面积是（）
A．2πB．3π
3π
C.2D．π
[答案]A
[解读]如右图，
S＝∫02π（1－cosx）dx
＝（x－sinx）|02π＝2π.
[点评]此题可利用余弦函数的对称性①②③④面积相等解决，但若把积分区间改为
π
6，π，则对称性就无能为力了．
欢迎下载2
—
7．函数F（x）＝xt（t－4）dt在[－1,5]上（）
0
A．有最大值0，无最小值
32
B．有最大值0和最小值－
32
3
C．有最小值－3，无最大值
D．既无最大值也无最小值
[答案]B
[解读]F′（x）＝x（x－4），令F′（x）＝0，得x1＝0，x2＝4，
73225
∵F（－1）＝－3，F（0）＝0，F（4）＝－3，F（5）＝－3.
32
∴最大值为0，最小值为－3.
[点评]一般地，F（x）＝xφ（t）dt
的导数F′（x）＝φ（x）．
0
1
8．已知等差数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋n，函数f（x）＝
xtdt，若f（x），则x
1
的取值范围是（）
3
A.6，＋∞B．（0，e21）
C．（e－11，e）D．（0，e11）
[答案]D
1
[解读]f（x）＝xdt＝lnt|1x＝lnx，a3＝S3－S2＝21－10＝11，由lnx<11得，
1t
09．（2010·福建厦门一中）如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC内，曲线y＝
sinx（0≤x≤π）与x轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点（该点落在矩形
OABC内任何一点是等可能的），则所投的点落在阴影部分的概率是（）
123π
A.πB.πC.πD.4
[答案]A
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—
[解读]
由图可知阴影部分是曲边图形，考虑用定积分求出其面积．由题意得
S＝π
0
sinxdx＝－cosx|0π＝－（cosπ－
cos0）＝2，再根据几何概型的算法易知所求概率
P＝
S
2
＝
1
.
＝
π
S矩形OABC2π
x＋2－2≤x<0
10．（2010·吉林质检）函数f（x）
＝
π
的图象与x轴所围成的图形
2cosx0≤x≤2
面积S为（
）
3
1
A.2B．1C．4D.2
[答案]
C
[解读]
面积S＝∫
π
－2f（x）dx＝
0－2（x＋2）dx＋∫
π
02cosxdx＝2＋2＝4.
2
2
11．（2010·沈阳二十中）设函数f（x）＝x－[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[－
x
1.2]
＝－2，[1.2]
＝1，[1]
＝1.又函数g（x）＝－3，f（x）在区间（0,2）上零点的个数记为m，
f（x）
与g（x）的图象交点的个数记为
n，则
ng（x）dx的值是（
）
m
54A．－2B．－3
57C．－4D．－6
[答案]A
[解读]由题意可得，当0＝x－1，所以当x∈（0,2）时，函数f（x）有一个零点，由函数f（x）与g（x）的图象可知两个函
xx25
数有4个交点，所以m＝1，n＝4，则ng（x）dx＝4－3dx＝－614＝－2.
m1
11．（2010·江苏盐城调研）甲、乙两人进行一项游戏比赛，比赛规则如下：
甲从区间[0,1]
上随机等可能地抽取一个实数记为b，乙从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为
c（b、c可以相等），若关于x的方程x2＋2bx＋c＝0有实根，则甲获胜，否则乙获胜，则在
一场比赛中甲获胜的概率为（）
1213
A.3B.3C.2D.4
[答案]A
[解读]方程x2＋2bx＋c＝0有实根的充要条件为＝4b2－4c≥0，即b2≥c，
欢迎下载4
—
1b2db
01
由题意知，每场比赛中甲获胜的概率为p＝1×1＝3.
12．（2010·吉林省调研）已知正方形四个顶点分别为
O（0,0），A（1,0），B（1,1），C（0,1），
曲线y＝x2（x≥0）与x轴，直线x＝1构成区域M，现将一个质点随机地投入正方形中，
则质
点落在区域M内的概率是（）
1
1
A.2B.4
1
2
C.3D.5
[答案]
C
[解读]
如图，正方形面积
1，区域M的面积为S＝1x2dx
0
1
1
1
＝3x3|01＝3，故所求概率p＝3.
2．如图，阴影部分面积等于（）
A．23B．2－3
3235C.3D.3
[答案]
C
[解读]
图中阴影部分面积为
1
32
S＝1
（3－x2－2x）dx＝（3x－
3x3－x2）|1－3＝
3.
-3
3.2
4－x2dx＝（）
0
A．4πB．2π
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—
π
C．πD.
2
[答案]
C
[解读]
令y＝
4－x2，则x2＋y2＝4（y≥0），由定积分的几何意义知所求积分为图中
阴影部分的面积，
1
∴S＝4×π×22＝π.
4.
已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的
速度曲线分别为v甲和v乙（如图所示）．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正
确的是（）
A．在t1时刻，甲车在乙车前面
B．在t1时刻，甲车在乙车后面
C．在t0时刻，两车的位置相同
D．t0时刻后，乙车在甲车前面
[答案]A
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—
[解读]
判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在
t0，t1时刻，甲、
乙两车行驶路程的大小问题．
根据定积分的几何意义知：
车在某段时间内行驶的路程就是该
时间段内速度函数的定积分，
即速度函数v（t）
的图象与
t轴以及时间段围成区域的面积．从
图象知：
在t0
时刻，v甲的图象与t
轴和t＝0，t＝t0
围成区域的面积大于v乙的图象与t
轴和t＝0，t＝t0
围成区域的面积，因此，在
t0
时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车
的速度刚刚赶上甲车的速度，所以选项
C，D错误；同样，在
t1时刻，v甲的图象与t轴和
t＝t1围成区域的面积，仍然大于
v乙的图象与t轴和t＝t1
围成区域的面积，所以，可以
断定：
在t1时刻，甲车还是在乙车的前面．所以选
A.
π
π
5．（2012·山东日照模拟）向平面区域Ω＝{（x，y）|－4≤x≤4
，0≤y≤1}内随机投掷
一点，该点落在曲线
y＝cos2x下方的概率是（
）
π1
A.4B.2
π
2
C.2－1D.π
[答案]
D
[解读]
π
平面区域Ω是矩形区域，其面积是2，在这个区
6．
（sinx
－cosx）dx
的值是（）
π
A．0
B.4
C．2
D．－2
[答案]
D
[解读]（sinx－cosx）dx＝（－cosx－sinx）＝－2.
7．（2010·惠州模拟）2（2－|1－x|）dx＝________.
0
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—
[答案]
3
[解读]
1＋x0≤x≤1
∵y＝
，
3－x1∴2（2－|1－x|）dx＝
1（1＋x）dx＋2（3－x）dx
0
0
1
1
1
3
3
＝（x＋2x2）|10＋（3x－2x2）|21＝2＋2＝3.
8．（2010
·芜湖十二中）已知函数f（x）＝3x2＋2x＋1，若1－1f（x）dx＝2f（a）成立，则
a＝________.
1
[答案]
－1或3
[解读]
∵1－1f（x）dx＝
1－1（3x2＋2x＋1）dx＝（x3＋x2＋x）|1－1＝4，1－
1f（x）dx＝2f（a），∴6a2＋4a＋2＝4，
1
∴a＝－1或3.
π1
9．已知a＝∫20（sinx＋cosx）dx，则二项式（ax－x）6的展开式中含x2项的系数
是________．
[答案]－192
ππππ
[解读]由已知得a＝∫20（sinx＋cosx）dx＝（－cosx＋sinx）|20＝（sin2－cos2）
－（sin0－cos0）＝2，
1
（2x－）6的展开式中第r＋1项是Tr＋1＝（－1）r×C6r×26－r×x3－r，令3－r＝2得，x
r＝1，故其系数为（－1）1×C16×25＝－192.
10．有一条直线与抛物线y＝x2相交于A、B两点，线段AB与抛物线所围成图形的面积
4
恒等于3，求线段AB的中点P的轨迹方程．
[解读]设直线与抛物线的两个交点分别为A（a，a2），B（b，b2），不妨设ab2－a2
则直线AB的方程为y－a2＝b－a（x－a），
即y＝（a＋b）x－ab.
a＋b
则直线AB与抛物线围成图形的面积为S＝b[（a＋b）x－ab－x2]dx＝（2x2－abx－
a
x31
3）|ba＝6（b－a）3，
欢迎下载8
—
1
4
∴6（b－a）3＝3，
解得b－a＝2.设线段AB的中点坐标为P（x，y），
a＋b
其中
x＝2，
将b－a＝2代入得
x＝a＋1，
y＝a2＋b2.
y＝a2＋2a＋2.
2
消去a得y＝x2＋1.
∴线段AB的中点P的轨迹方程为y＝x2＋1.
能力拓展提升
11.（2012·郑州二测）等比数列{an}中，a3＝6，前三项和S3＝
34xdx，则公比q的值为
0
（）
1
A．1B．－2
1
1
C．1或－2D．－1或－2
[答案]
C
6
6
[解读]
因为S3＝
34xdx＝2x2|30＝18，所以q＋q2＋6＝18，化简得2q2－q－1＝0，
0
1
解得q＝1或q＝－2，故选C.
12．（2012·太原模拟）已知（xlnx）′＝lnx＋1，则
elnxdx
＝（
）
1
A．1B．eC．e－1D．e＋1
[答案]
A
[解读]
由（xlnx）
′＝lnx＋1，联想到（xlnx
－x）′＝（lnx
＋1）－1＝lnx，于是elnxdx
1
＝（xlnx－x）|e1＝（elne
－e）－（1×ln1－1）＝1.
13．抛物线y2＝2x
与直线y＝4－x围成的平面图形的面积为________．
[答案]
18
[解读]
y2＝2x，
A（2,2）、B（8，－4），选y作为积分变量x
由方程组
解得两交点
y＝4－x，
y2
＝2、x＝4－y，
欢迎下载9
—
2[（4－y）－
y2
y2
y3
∴S＝
2]dy＝（4y－
2－6）|2－4＝18.
-4
14.
已知函数f（x）
＝ex－1，直线l1：
x＝1，l2：
y＝et－1（t为常数，且0≤t≤1）．直线
l1，l2与函数f（x）
的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅱ所示，其面积用
S2表示．直线l2，
y轴与函数f（x）的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅰ所示，
其面积用
S1表示．当t变化时，
阴影部分的面积的最小值为
________．
[答案]
（e－1）2
[解读]
由题意得
S1＋S2＝t（et－1－ex＋1）dx＋
1（ex－1－et＋1）dx＝t（et
－
0
t
0
ex）dx＋1（ex－et）dx＝（xet－ex）|t0＋（ex－xet）|1t＝（2t
－3）et
＋e＋1，令g（t）＝（2t
－
t
3）et＋e＋1（0≤t≤1），则g′（t）＝2et＋（2t－3）et＝（2t
－1）et
，令g′（t）＝0，得t＝
1
2，
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—
1
1
∴当t∈[0，2）时，g′（t）<0
，g（t）
是减函数，当t∈（2，1]时，g′（t）>0，g（t）
是增函数，
1
1
因此g（t）
的最小值为
g
（2）＝e＋1－2e2＝（
e－1）2.故阴影部分的面积的最小值为
（e－
1）2.
15．求下列定积分．
（1）
－1|x|dx。
（2）
x
1
πcos2dx
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