完整版四川高考数学理科答案及解析.docx
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完整版四川高考数学理科答案及解析
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学
理工农医类（四川卷）
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：
本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．（2013四川，理1）设集合A＝{x|x＋2＝0}，集合B＝{x|x2－4＝0}，则A∩B＝（ ）．
A．{－2}B．{2}
C．{－2,2}D．
2．（2013四川，理2）如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是（ ）．
A．AB．B
C．CD．D
3．（2013四川，理3）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（ ）．
4．（2013四川，理4）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：
x∈A,2x∈B，则（ ）．
A．p：
x∈A,2xBB．p：
xA,2xB
C．p：
xA,2x∈BD．p：
x∈A,2xB
5．（2013四川，理5）函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（ ）．
A．2，
B．2，
C．4，
D．4，
6．（2013四川，理6）抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是（ ）．
A．B．C．1D．
7．（2013四川，理7）函数的图象大致是（ ）．
8．（2013四川，理8）从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lga－lgb的不同值的个数是（ ）．
A．9B．10C．18D．20
9．（2013四川，理9）节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是（ ）．
A．B．C．D．
10．（2013四川，理10）设函数f（x）＝（a∈R，e为自然对数的底数），若曲线y＝sinx上存在点（x0，y0）使得f（f（y0））＝y0，则a的取值范围是（ ）．
A．[1，e]B．[e－1－1,1]
C．[1，e＋1]D．[e－1－1，e＋1]
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：
本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．（2013四川，理11）二项式（x＋y）5的展开式中，含x2y3的项的系数是__________．（用数字作答）
12．（2013四川，理12）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝__________.
13．（2013四川，理13）设sin2α＝－sinα，α∈，则tan2α的值是__________．
14．（2013四川，理14）已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x2－4x，那么，不等式f（x＋2）＜5的解集是__________．
15．（2013四川，理15）设P1，P2，…，Pn为平面α内的n个点，在平面α内的所有点中，若点P到点P1，P2，…，Pn的距离之和最小，则称点P为点P1，P2，…，Pn的一个“中位点”，例如，线段AB上的任意点都是端点A，B的中位点，现有下列命题：
①若三个点A，B，C共线，C在线段AB上，则C是A，B，C的中位点；
②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；
③若四个点A，B，C，D共线，则它们的中位点存在且唯一；
④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．
其中的真命题是__________．（写出所有真命题的序号）
三、解答题：
本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（2013四川，理16）（本小题满分12分）在等差数列{an}中，a1＋a3＝8，且a4为a2和a9的等比中项，求数列{an}的首项、公差及前n项和．
17．（2013四川，理17）（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cosB－sin（A－B）sinB＋cos（A＋C）＝，
（1）求cosA的值；
（2）若，b＝5，求向量在方向上的投影．
18．（2013四川，理18）（本小题满分12分）某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生．
（1）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi（i＝1,2,3）；
（2）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i（i＝1,2,3）的频数，以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．
甲的频数统计表（部分）
运行
次数n
输出y的值
为1的频数
输出y的值
为2的频数
输出y的值
为3的频数
30
14
6
10
…
…
…
…
2100
1027
376
697
乙的频数统计表（部分）
运行
次数n
输出y的值
为1的频数
输出y的值
为2的频数
输出y的值
为3的频数
30
12
11
7
…
…
…
…
2100
1051
696
353
当n＝2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i＝1,2,3）的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能性较大；
（3）将按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．
19．（2013四川，理19）（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝2AA1，∠BAC＝120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD的中点．
（1）在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；
（2）设
（1）中的直线l交AB于点M，交AC于点N，求二面角A－A1M－N的余弦值．
20．（2013四川，理20）（本小题满分13分）已知椭圆C：
（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（－1,0），F2（1,0），且椭圆C经过点P.
（1）求椭圆C的离心率；
（2）设过点A（0,2）的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且，求点Q的轨迹方程．
21．（2013四川，理21）（本小题满分14分）已知函数f（x）＝其中a是实数．设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））为该函数图象上的两点，且x1＜x2.
（1）指出函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，求x2－x1的最小值；
（3）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类
（四川卷）
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：
本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．
答案：
A
解析：
由题意可得，A＝{－2}，B＝{－2,2}，
∴A∩B＝{－2}．故选A．
2．
答案：
B
解析：
复数z表示的点与其共轭复数表示的点关于实轴对称．
3．
答案：
D
解析：
由三视图可知该几何体为一个上部为圆台、下部为圆柱的组合体，故选D．
4．
答案：
D
5．
答案：
A
解析：
由图象可得，，
∴T＝π，则ω＝＝2，再将点代入f（x）＝2sin（2x＋φ）中得，，
令＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
解得，φ＝2kπ－，k∈Z，
又∵φ∈，则取k＝0，
∴φ＝.故选A．
6．
答案：
B
解析：
由题意可得，抛物线的焦点为（1,0），双曲线的渐近线方程为，即x－y＝0，由点到直线的距离公式可得抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离.
7．
答案：
C
解析：
由函数解析式可得，该函数定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），故排除A；取x＝－1，y＝＝＞0，故再排除B；当x→＋∞时，3x－1远远大于x3的值且都为正，故→0且大于0，故排除D，选C．
8．
答案：
C
解析：
记基本事件为（a，b），则基本事件空间Ω＝{（1,3），（1,5），（1,7），（1,9），（3,1），（3,5），（3,7），（3,9），（5,1），（5,3），（5,7），（5,9），（7,1），（7,3），（7,5），（7,9），（9,1），（9,3），（9,5），（9,7）}共有20个基本事件，而lga－lgb＝，其中基本事件（1,3），（3,9）和（3,1），（9,3）使的值相等，则不同值的个数为20－2＝18（个），故选C．
9．
答案：
C
解析：
设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y，则由题意可得，0≤x≤4,0≤y≤4；而所求事件“两串彩灯同时通电后，第一次闪亮相差不超过2秒”＝{（x，y）||x－y|≤2}，由图示得，该事件概率.
10．
答案：
A
解析：
由题意可得，y0＝sinx0∈[－1,1]，
而由f（x）＝可知y0∈[0,1]，
当a＝0时，f（x）＝为增函数，
∴y0∈[0,1]时，f（y0）∈[1，]．
∴f（f（y0））≥＞1.
∴不存在y0∈[0,1]使f（f（y0））＝y0成立，故B，D错；
当a＝e＋1时，f（x）＝，当y0∈[0,1]时，只有y0＝1时f（x）才有意义，而f
（1）＝0，
∴f（f
（1））＝f（0），显然无意义，故C错．故选A．
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
注意事项：
必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效．
二、填空题：
本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．答案：
10
解析：
由二项式展开系数可得，x2y3的系数为＝＝10.
12．答案：
2
解析：
如图所示，在平行四边形ABCD中，＋＝＝2，
∴λ＝2.
13．答案：
解析：
∵sin2α＝－sinα，
∴2sinαcosα＝－sinα.
又∵α∈，∴cosα＝.
∴sinα＝.
∴sin2α＝，cos2α＝2cos2α－1＝.
∴tan2α＝＝.
14．答案：
（－7,3）
解析：
当x≥0时，令x2－4x＜5，解得，0≤x＜5.
又因为f（x）为定义域为R的偶函数，则不等式f（x＋2）＜5等价于－5＜x＋2＜5，即－7＜x＜3；故解集为（－7,3）．
15．
答案：
①④
解析：
由“中位点”可知，若C在线段AB上，则线段AB上任一点都为“中位点”，C也不例外，故①正确；
对于②假设在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如图所示，点P为斜边AB中点，设腰长为2，则|PA|＋|PB|＋|PC|＝|AB|＝，而若C为“中位点”，则|CB|＋|CA|＝4＜，故②错；
对于③，若B，C三等分AD，若设|AB|＝|BC|＝|CD|＝1，则|BA|＋|BC|＋|BD|＝4＝|CA|＋|CB|＋|CD|，故③错；
对于④，在梯形ABCD中，对角线AC与BD的交点为O，在梯形ABCD内任取不同于点O的一点M，则在△MAC中，|MA|＋|MC|＞|AC|＝|OA|＋|OC|，
同理在△MBD中，|MB|＋|MD|＞|BD|＝|OB|＋|OD|，
则得，
|MA|＋|MB|＋|MC|＋|MD|＞|OA|＋|OB|＋|OC|＋|OD|，
故O为梯形内唯一中位点是正确的．
三、解答题：
本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．解：
设该数列公差为d，前n项和为Sn.
由已知，可
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