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数学建模作业35177精品文档
数学建模作业
姓名：
李成靖
学号：
1408030311
班级：
计科1403班
日期：
2015.12.30
1.某班准备从5名游泳队员中选4人组成接力队，参加学校的4×100m混合泳接力比赛，5名队员4种泳姿的百米平均成绩如下表所示，问应如何选拔队员组成接力队？
如果最近队员丁的蛙泳成绩有较大的退步，只有1′15"2；而队员戊经过艰苦训练自由泳成绩有所进步，达到57"5，组成接力队的方案是否应该调整？
甲
乙
丙
丁
戊
蝶泳
1′06"8
57"2
1′18"
1′10"
1′07"4
仰泳
1′15"6
1′06"
1′07"8
1′14"2
1′11"
蛙泳
1′27"
1′06"4
1′24"6
1′09"6
1′23"8
自由泳
58"6
53"
59"4
57"2
1′02"4
名队员4种泳姿的百米平均成绩
解:
（1）.设cij（秒）为队员i第j种泳姿的百米成绩，转化为0—1规划模型
若参选择队员i加泳姿j的比赛，记xij=1,否则记xij=0
目标函数:
即min=66.8*x11+75.6*x12+87*x13+58.6*x14+57.2*x21+66*x22+66.4*x23+53*x24+78*x31+67.8*x32+84.6*x33+59.4*x34+70*x41+74.2*x42+69.6*x43+57.2*x44+67.4*x51+71*x52+83.8*x53+62.4*x54;
约束条件:
x11+x12+x13+x14<=1;
x21+x22+x23+x24<=1;
x31+x32+x33+x34<=1;
x41+x42+x43+x44<=1;
x51+x52+x53+x54<=1;
x11+x21+x31+x41+x51=1;
x12+x22+x32+x42+x52=1;
x13+x23+x33+x43+x53=1;
x14+x24+x34+x44+x54=1;
lingo模型程序和运行结果
因此，最优解为x14=1,x21=1,x32=1,x43=1,其余变量为0
成绩为253.2（秒）=4′13"2
即：
甲~自由泳、乙~蝶泳、丙~仰泳、丁~蛙泳.
（2）.若丁的蛙泳成绩退步为1′15"2=75.2（秒），戊的自由泳成绩进步为57"5=57.5（秒），则
目标函数：
min=66.8*x11+75.6*x12+87*x13+58.6*x14+57.2*x21+66*x22+66.4*x23+53*x24+78*x31+67.8*x32+84.6*x33+59.4*x34+70*x41+74.2*x42+75.2*x43+57.2*x44+67.4*x51+71*x52+83.8*x53+57.5*x54;
约束条件：
x11+x12+x13+x14<=1;
x21+x22+x23+x24<=1;
x31+x32+x33+x34<=1;
x41+x42+x43+x44<=1;
x51+x52+x53+x54<=1;
x11+x21+x31+x41+x51=1;
x12+x22+x32+x42+x52=1;
x13+x23+x33+x43+x53=1;
x14+x24+x34+x44+x54=1
lingo模型程序和运行结果
因此，最优解为x21=1,x32=1,x43=1,x54=1,其余变量为0;
成绩为257.7（秒）=4′17"7,新方案:
乙~蝶泳、丙~仰泳、丁~蛙泳、戊~自由泳。
2.某工厂用A1，A2两台机床加工B1，B2，B3三种不同零件，已知在一个生产周期内A1只能工作80机时，A2只能工作100机时。
一个生产周期内加工B1为70件，B2为50件，B3为20件。
两台机床加工每个零件的时间和加工每个零件的成本，分别如下所示
加工每个零件时间表（单位:
机时/个）
机床零件
B1
B2
B3
A1
1
2
3
A2
1
1
3
加工每个零件成本表（单位：
元/个）
机床零件
B1
B2
B3
A1
2
3
5
A2
3
3
6
问怎样安排两台车床一个周期的加工任务，才能使加工成本最低？
解：
设在A1机床上加工零件B1、B2、B3的数量分别为x1、x2、x3，在A2机床上加工零件B1、B2、B3的数量分别为x4、x5、x6,可建立以下线性规划模型：
目标函数：
min=2*x1+3*x2+5*x3+3*x4+3*x5+6*x6
约束条件：
x1,x2,x3,x4,x5,x6均为整数
x1+2*x2+3*x3<=80
x1+x2+3*x3<=100
x1+x4=70
x2+x5=50
x3+x6=20
lingo模型程序和运行结果
最优解为x1=70,x2=0,x3=3,x4=0,x5=50,x6=17;最低成本价为407元。
即：
在A1机床上加工零件B1、B2、B3的数量分别为70、0、3，在A2机床上加工零件B1、B2、B3的数量分别为0、50、17。
3.某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税。
此外还有以下限制：
（1）政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；
（2）所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越高）；
（3）所购证券的平均到期年限不超过5年。
证券名称
证券种类
信用等级
到期年限
到期税前收益（%）
A
市政
2
9
4.3
B
代办机构
2
15
5.4
C
政府
1
4
5.0
D
政府
1
3
4.4
E
市政
5
2
4.5
（1）若该经理有1000万元资金，应如何投资?
（2）如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作?
（3）在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%，投资应否改变?
若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变?
解：
设投资证劵A、证劵B、证劵C、证劵D、证劵E的金额分别为：
X1、X2、X3、X4、X5（百万元），投资之后获得的总收益为Y百万元。
（1）.建立如下的线性规划模型：
目标函数：
max
Y=0.043*X1+（0.054*0.5）*X2+（0.05*0.5）*X3+（0.044*0.5）*X4+0.045*X5
约束条件:
X2+X3+X4>=4
X1+X2+X3+X4+X5<=10
（2*X1+2*X2+X3+X4+5*X5）/（X1+X2+X3+X4+X5）<=1.4
（9*X1+15*X2+4*X3+3*X4+2*X5）/（X1+X2+X3+X4+X5）<=5
整理化简可得：
MaxY=0.043*X1+0.027*X2+0.025*X3+0.022*X4+0.045*X5；
X2+X3+X4>=4；
X1+X2+X3+X4+X5<=10；
6*X1+6*X2-4*X3-X4+36*X5<=0；
4*X1+10*X2-X3-2*X4-3*X5<=0；
lingo模型程序和运行结果
因此，最优解为Y=0.298，X1=2.182，X3=7.364，X5=0.454
最优解方案不投资证劵B和证劵D，投资证劵A为218.2万元，投资证劵C为736.4万元，投资证劵E为45.4万元;总收益为29.8万元。
（2）.由问题
（1）得:
投资金额每增加100万元，收益可增加2.98万元，而借贷100万元所要支付的利息是2.75万元，比2.98万元少，因此应该借贷这100万元去投资。
目标函数仍为：
MaxY=0.043*X1+0.027*X2+0.025*X3+0.022*X4+0.045*X5；
X2+X3+X4>=4；
X1+X2+X3+X4+X5<=11；
6*X1+6*X2-4*X3-X4+36*X5<=0；
4*X1+10*X2-X3-2*X4-3*X5<=0；
lingo模型程序和运行结果
因此，最优解为:
X1=2.40,X3=8.10,X5=0.50,Y=0.328;
即应投资证劵A240万元，证劵C810万元，证劵E50万元。
此时收益总额为32.8万元，再减去所要支付的利息2.75万元，还剩30.05万元，比问题
（1）中的收益总额29.8万元还要多，这也证明了借贷100万元来投资是明智的。
（3）.问题
（1）的灵敏度分析可得下图：
则在最优解不变的条件下目标函数系数允许的变化范围：
X1的系数为（0.043-0.013，0.043+0.0035），即（0.030，0.0465）；X3的系数为（0.025-0.0006，0.025+0.017），即（0.02494，0.042）；当证劵A的税前收益增加为4.5%时，其在目标函数中的系数为0.045，在最优解不变的条件下目标函数系数允许的变化范围内，因此投资方案不应该改变。
当证劵C的税前收益减少为4.8%时，其在目标函数中的系数为0.024，不在最优解不变的条件下目标函数系数允许的变化范围内，因此只有改变投资方案，才能使银行经理获得最大收益值。
4.某医院负责人每日至少需要下表数量的护士。
班次
时间
最少护士
1
6时—10时
60
2
10时—14时
70
3
14时—18时
60
4
18时—22时
50
5
22时—02时
20
6
02时—06时
30
每班的护士在值班开始时向病房报到，连续工作8小时，医院领导为满足每班所需要的护士数，最少需要用多少护士？
解：
设在i班刚加入工作的人数分别为x1、x2、x3、x4、x5、x6；
目标函数为：
min=x1+x2+x3+x4+x5+x6;
约束条件：
x1,x2,x3,x4,x5,x6均为整数
x1+x2>=70
x2+x3>=60
x3+x4>=50
x4+x5>=20
x5+x6>=30
x6+x1>=60
lingo模型程序和运行结果
因此，最优解为：
x1=60、x2=10、x3=50、x4=0、x5=30、x6=0；
最少需要护士150人。
5．某海岛上有12个主要的居民点，每个居民点的位置（用平面坐标x,y表示，距离单位：
km）和居住的人数R如表下表所示，现在准备在岛上建一个服务中心为居民提供各种服务，那么服务中心应该建在何处？
居民点
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
x
0
8.20
0.50
5.70
0.77
2.87
4.43
2.58
0.72
9.76
3.19
5.55
y
0
0.50
4.90
5.00
6.49
8.76
3.26
9.32
9.96
3.16
7.20
7.88
R
600
1000
800
1400
1200
700
600
800
1000
1200
1000
1100
解：
设第i个居民点的位置（
，
），居住的人数为
，i=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12;设服务中心的位置为（a，b）,无约束条件；
服务中心应该让所有的人都方便，因此目标函数为
min=
lingo模型程序和运行结果
因此，服务中心应该建的位置是（3.19，3.20）第十一个小岛。
6.某厂向用户提供发动机，合同规定，第一、二、三季度末分别交货40台、60台、80台。
每季度的生产费用为
（元），其中x是该季生产的发动机台数，若交货后有剩余，可用于下季度交货，但需支付存储费，每台每季度c元。
已知工厂每季度最大生产能力为100台，第一季度开始无存货，设a=50，b=0.2，c=4，问工厂应如何安排生产计划，才能既满足合同有使总费用最低？
讨论a、b、c、变化对计划的影响，并作出合理的解释。
解：
（1）.设工厂第一季度生产x1台发动机，第二季度生产x2台发动机，第三季度生产x3台发动机。
目标函数：
min=
50*x1+0.2*x1^2+50*x2+0.2*x2^2+50*x3+0.2*x3^2+4*（x1-40）+4*（x1+x2-100）;
约束条件：
x1,x2,x3均为整数
x1<=100;
x2<=100;
x3<=100;
x1>=40;
x1+x2>=100;
x1+x2+x3>=180;
lingo模型程序和运行结果
因此，最优解为：
x1=50,x2=60,x3=70;
即：
工厂第一季度生产50台发动机，第二季度生产60台发动机，第三季度生产70台发动机。
可使总费用最低，总费用为11280.00元。
7.广告费用与效应。
某装饰材料公司欲以每桶2元的价钱购进一批彩漆。
一般来说，随着彩漆售价的提高，预期销售量将减少，并对此进行了估算，见下表。
手机与预期销售量
售价（元）
预期销售量（桶）
售价（元）
预期销售量（桶）
2.00
41000
2.50
38000
3.00
34000
3.50
32000
4.00
29000
4.50
28000
5.00
25000
5.50
22000
6.00
20000
为了尽快收回资金并获得较多的盈利，装饰材料公司打算做广告。
投入一定的公告费用后，销售量将有一个增长，可由销售增长因子来表示。
例如，投入40000元的广告费，销售增长因子为1.95，即销售将是预期量的1.95倍。
根据经验，广告费与销售增长因子的关系见下表。
广告与销售增长因子
广告费（元）
销售增长因子
广告费（元）
销售增长因子
0
1.00
10000
1.40
20000
1.70
30000
1.85
40000
1.95
50000
2.00
60000
1.95
70000
1.80
解：
设售货单价为x（元），预期销售量为y（桶），广告费为z（元），销售增长因子为k。
投入广告后实际销售量为s（桶），获得的利润为P（元）。
分析：
预期销售量y随售价x的增加而减小，可近似用线性关系表示
y=a0+a1x
（1）
其中，a0和a1是待定常数。
销售增长因子k随广告费用z先增后减，可用二次方程表示
k=b0+b1z+b2z2
（2）
其中，b0，b1和b2也是待定常数。
待定常数可根据表中数据拟合。
投入广告费之后，实际销售量为
s=ky（3）
利润是收入减支出，收入是售货单价x乘以销售量s；支出包括成本和广告费，成本是进货单价2乘以销售量s。
因此利润为
P=sx–2s-z=ky（x–2）-z=（b0+b1z+b2z2）（a0+a1x）（x–2）-z（4）
这是二元函数，求最大利润就是二元函数的最大值。
先计算常数，画出拟合曲线。
再形成利润的矩阵，求出最大利润和下标，从而计算最大利润的售价和广告费。
画出利润曲面，标记最大值。
程序如下：
clear
x=2:
0.5:
6;
y=[41,38,34,32,29,28,25,22,20]*1000;
z=（0:
7）*1e4;
k=[1,1.4,1.7,1.85,1.95,2,1.95,1.8];
figure
subplot（2,1,1）
plot（x,y,'rx'）
gridon
fs=12;
title（'预期销售量和售价的拟合线','fontsize',fs）
xlabel（'售价（元）','fontsize',fs）
ylabel（'预期销售量（桶）','fontsize',fs）
a=polyfit（x,y,1）
xx=2:
0.01:
6;
yy=polyval（a,xx）;
holdon
plot（xx,yy）
legend（'经验值','拟合线'）
subplot（2,1,2）
plot（z,k,'rx'）
gridon
title（'销售增长因子和广告费的拟合曲线','fontsize',fs）
xlabel（'广告费（元）','fontsize',fs）
ylabel（'销售增长因子','fontsize',fs）
b=polyfit（z,k,2）
zz=（0:
0.01:
7）*1e4;
kk=polyval（b,zz）;
holdon
plot（zz,kk）
legend（'经验值','拟合线',2）
[X,Z]=meshgrid（xx,zz）;
K=polyval（b,Z）;
Y=polyval（a,X）;
P=K.*Y.*（X-2）-Z;
[mi,i]=max（P）;
[m,j]=max（mi）
xm=xx（j）
zm=zz（i（j））
km=polyval（b,zm）
stem（zm,km,'--'）
text（zm,km,[num2str（zm）,',',num2str（km）],'fontsize',fs）
subplot（2,1,1）
ym=polyval（a,xm）
stem（xm,ym,'--'）
text（xm,ym,[num2str（xm）,',',num2str（ym）],'fontsize',fs）
sm=km*ym;
text（2,2e4,['最大利润的实际销售量:
',num2str（sm）],'fe',fs）
figure
surf（xx,zz,P）
shadinginterp
boxon
title（'利润与售价和广告费曲面','fontsize',fs）
xlabel（'售价（元）','fontsize',fs）
ylabel（'广告费（元）','fontsize',fs）
zlabel（'利润（元）','fontsize',fs）
text（xm,zm,m,[num2str（xm）,',',num2str（zm）,',',num2str（m）],'fontsize',fs）
运行结果：
（1）.如第一个图所示，预期销售量随售价增加几乎线性减小，当利润最大时，售价应该为5.91元，预期销售量为20084桶，由于广告效应，实际销售量达到38300桶。
如M2_3a之下图所示，销售增长因子随广告费先增后减，当利润最大时，广告费约为33100元，销售增长因子达到1.907。
（2）.如第二个图所示，当售价比较小的时候，利润随广告费增加而减少；当售价比较大的时候，利润随广告费增加而先增后减，最大利润大约为116655元。
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