特殊三角形易错题汇总.docx

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特殊三角形易错题汇总

一．选择题（共10小题）

1．（2010•东阳市）已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（　　）

A．

40°

B．

100°

C．

40°或100°

D．

70°或50°

2．（2010•广安）等腰三角形的两边长为4、9，则它的周长是（　　）

A．

B．

17或22

C．

D．

3．（2005•岳阳）等腰三角形一腰上的高与腰长之比为1：

2，则等腰三角形顶角的度数为（　　）

A．

30°

B．

150°

C．

60°或120°

D．

30°或150°

4．（2005•金华）如图1，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，将△ADE沿线段DE向下折叠，得到图2．下列关于图2的四个结论中，不一定成立的是（　　）

A．

点A落在BC边的中点

B．

∠B+∠1+∠C=180°

C．

△DBA是等腰三角形

D．

DE∥BC

5．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为（　　）

A．

7cm

B．

3cm

C．

7cm或3cm

D．

8cm

6．已知等腰三角形的一个外角等于100°，则它的顶角是（　　）

A．

80°

B．

20°

C．

80°或20°

D．

不能确定

7．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，若∠A：

∠B：

∠C=1：

2：

3．则a：

b：

c=（　　）

A．

1：

：

B．

：

1：

C．

1：

D．

1：

2：

8．已知两边的长分别为8，15，若要组成一个直角三角形，则第三边应该为（　　）

A．

不能确定

B．

C．

D．

17或

9．直角三角形的两边长分别为3厘米，4厘米，则这个直角三角形的周长为（　　）

A．

12厘米

B．

15厘米

C．

12或15厘米

D．

12或（7+

）厘米

10．Rt△ABC中∠A=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则（　　）

A．

a2+b2=c2

B．

b2+c2=a2

C．

a2+c2=b2

D．

无法确定

二．填空题（共6小题）

11．（2010•淄博）如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”．只用没有刻度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出以格点为端点、长度为

的线段　_________　条．

12．（2007•徐汇区二模）如图，有两个全等的直角三角形，它们的边长分别为3和4，把这两个直角三角形拼成一个三角形或一个四边形，在这些图形中，周长最小值是　_________　．

13．等腰三角形的对称轴最多有　_________　条．

14．如下图，在△ADC中，AD=BD=BC，若∠C=25°，则∠ADB=　_________　度．

15．如图，在△ABC中，∠C=25°，AD⊥BC，垂足为D，且AB+BD=CD，则∠BAC的度数是　_________　度．

16．如图，在△ABC中，AB=AC，D，E分别是AC，AB上的点，且BC=BD，AD=DE=EB，则∠A=　_________　度．

三．解答题（共4小题）

17．（2012•珠海）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线．

（1）用尺规作图方法，作∠ADC的平分线DN；（保留作图痕迹，不写作法和证明）

（2）设DN与AM交于点F，判断△ADF的形状．（只写结果）

18．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，沿着DE折叠三角形，顶点A恰好落在点C（点A′）处，且∠B=∠BCD．

（1）判断△ABC的形状，并说明理由；

（2）求证：

DE∥BC．

19．请在下图方格中画出三个以AB为腰的等腰△ABC（要求：

1、锐角三角形、直角三角形、钝角三角形各画一个；2、点C在格点上）

20．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且AD=AE．

（1）若∠BAC=90°，∠BAD=30°，求∠EDC的度数？

（2）若∠BAC=a（a＞30°），∠BAD=30°，求∠EDC的度数？

（3）猜想∠EDC与∠BAD的数量关系？

（不必证明）

特殊三角形易错题汇总

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）

1．（2010•东阳市）已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（　　）

A．

40°

B．

100°

C．

40°或100°

D．

70°或50°

考点：

专题：

分类讨论．

分析：

此题要分情况考虑：

40°是等腰三角形的底角或40°是等腰三角形的顶角．再进一步根据三角形的内角和定理进行计算．

解答：

解：

当40°是等腰三角形的顶角时，则顶角就是40°；

当40°是等腰三角形的底角时，则顶角是180°﹣40°×2=100°．

故选：

C．

点评：

注意：

当等腰三角形中有一个角是锐角时，可能是它的底角，也可能是它的顶角；当等腰三角形中有一个角是锐角时，只能是它的顶角．

2．（2010•广安）等腰三角形的两边长为4、9，则它的周长是（　　）

A．

B．

17或22

C．

D．

考点：

专题：

分类讨论．

分析：

先根据等腰三角形两腰相等的性质可得出第三边长的两种情况，再根据两边和大于第三边来判断能否构成三角形得到第三边的长度，从而求解．

解答：

解：

根据题意可知等腰三角形的三边可能是4，4，9或4，9，9

∵4+4＜9，故4，4，9不能构成三角形，应舍去

4+9＞9，故4，9，9能构成三角形

∴它的周长是4+9+9=22

故选D．

点评：

本题综合考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系．常常利用两边和大于第三边来判断能否构成三角形．

3．（2005•岳阳）等腰三角形一腰上的高与腰长之比为1：

2，则等腰三角形顶角的度数为（　　）

A．

30°

B．

150°

C．

60°或120°

D．

30°或150°

考点：

专题：

计算题．

分析：

等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成立，因而应分两种情况进行讨论．

解答：

解：

当高在三角形外部时，顶角是150°；

当高在三角形内部时，顶角是30°；

所以等腰三角形的顶角的度数为30°或150°；

故选D．

点评：

熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是只是求出30°一种情况，把三角形简单的化成锐角三角形．

4．（2005•金华）如图1，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，将△ADE沿线段DE向下折叠，得到图2．下列关于图2的四个结论中，不一定成立的是（　　）

A．

点A落在BC边的中点

B．

∠B+∠1+∠C=180°

C．

△DBA是等腰三角形

D．

DE∥BC

考点：

专题：

操作型．

分析：

根据折叠的性质明确对应关系，易得∠A=∠1，DE是△ABC的中位线，所以易得B、D答案正确，D是AB中点，所以DB=DA，故C正确．

解答：

解：

根据题意可知DE是三角形ABC的中位线，所以DE∥BC；∠B+∠1+∠C=180°；∵BD=AD，∴△DBA是等腰三角形．故只有A错，BA≠CA．故选A．

点评：

主要考查了三角形的内角和外角之间的关系以及等腰三角形的性质．还涉及到翻折变换以及中位线定理的运用．

（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和．

（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件．通过折叠变换考查正多边形的有关知识，及学生的逻辑思维能力．解答此类题最好动手操作．

5．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为（　　）

A．

7cm

B．

3cm

C．

7cm或3cm

D．

8cm

考点：

专题：

分类讨论．

分析：

已知的边可能是腰，也可能是底边，应分两种情况进行讨论．

解答：

解：

当腰是3cm时，则另两边是3cm，7cm．而3+3＜7，不满足三边关系定理，因而应舍去．

当底边是3cm时，另两边长是5cm，5cm．则该等腰三角形的底边为3cm．

故选：

B．

点评：

本题从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．

6．已知等腰三角形的一个外角等于100°，则它的顶角是（　　）

A．

80°

B．

20°

C．

80°或20°

D．

不能确定

考点：

专题：

分类讨论．

分析：

此外角可能是顶角的外角，也可能是底角的外角，需要分情况考虑，再结合三角形的内角和为180°，可求出顶角的度数．

解答：

解：

①若100°是顶角的外角，则顶角=180°﹣100°=80°；

②若100°是底角的外角，则底角=180°﹣100°=80°，那么顶角=180°﹣2×80°=20°．

故选C．

点评：

当外角不确定是底角的外角还是顶角的外角时，需分两种情况考虑，再根据三角形内角和180°、三角形外角的性质求解．

7．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，若∠A：

∠B：

∠C=1：

2：

3．则a：

b：

c=（　　）

A．

1：

：

B．

：

1：

C．

1：

D．

1：

2：

考点：

分析：

先根据∠A：

∠B：

∠C=1：

2：

3，求出三个角的度数，然后根据直角三角形的性质进行解答即可．

解答：

解：

若∠A：

∠B：

∠C=1：

2：

3，则根据三角形的内角和定理，得∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°．

设a=x，根据30°所对的直角边是斜边的一半，得c=2x，再根据勾股定理，得b=

x，

则a：

b：

c=1：

：

2．

故选A．

点评：

熟记30°的直角三角形的三边比是1：

：

2．

8．已知两边的长分别为8，15，若要组成一个直角三角形，则第三边应该为（　　）

A．

不能确定

B．

C．

D．

17或

考点：

分析：

根据勾股定理的内容，两直角边的平方和等于斜边的平方，分两种情况进行解答．

解答：

解：

分两种情况进行讨论：

①两直角边分别为8，15，由勾股定理得第三边应该为

=17，

②一直角边为8，一斜边为15，由勾股定理得第三边应该为

，

故选D．

点评：

本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．

9．直角三角形的两边长分别为3厘米，4厘米，则这个直角三角形的周长为（　　）

A．

12厘米

B．

15厘米

C．

12或15厘米

D．

12或（7+

）厘米

考点：

分析：

本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边4既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即4是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．

解答：

解：

设第三边为x

（1）若4是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理，得

32+42=x2，所以x=5．周长为：

3+4+5=12厘米；

（2）若4是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理，得

32+x2=42，所以x=

，周长为：

3+4+

=7+

厘米．

故选D．

点评：

本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．

10．Rt△ABC中∠A=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则（　　）

A．

a2+b2=c2

B．

b2+c2=a2

C．

a2+c2=b2

D．

无法确定

考点：

专题：

计算题．

分析：

在直角三角形中直角对边为斜边，且直角边的平方和等于斜边的平方．

解答：

解：

∵∠A=90°，∴∠A的对边即a为斜边，

在直角三角形中根据勾股定理斜边的平方等于其他两直角边平方和，

故b2+c2=a2，

故选B．

点评：

本题考查了直角三角形中勾股定理的正确运用，明白斜边的平方为其他两直角边的平方和是解本题的关键．

二．填空题（共6小题）

11．（2010•淄博）如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”．只用没有刻度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出以格点为端点、长度为

的线段　8　条．

考点：

专题：

压轴题．

分析：

如图，由于每个小正方形的边长为1，那么根据勾股定理容易得到长度为

的线段，然后可以找出所有这样的线段．

解答：

解：

如图，所有长度为

的线段全部画出，共有8条．

点评：

此题是一个探究试题，首先探究如何找到长度为

的线段，然后利用这个规律找出所有这样的线段．

12．（2007•徐汇区二模）如图，有两个全等的直角三角形，它们的边长分别为3和4，把这两个直角三角形拼成一个三角形或一个四边形，在这些图形中，周长最小值是　14　．

考点：

分析：

根据勾股定理可求得直角三角形的斜边长是5，再结合题意拼一拼，计算一下可求周长最小值．

解答：

解：

拼成三角形的周长是16或18，拼成四边形的周长是14，16或18，所以周长最小值是14．

点评：

本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，要注意讨论，避免丢解的情况．

13．等腰三角形的对称轴最多有　3　条．

考点：

分析：

当等腰三角形的腰和底不相等时，等腰三角形的对称轴只有一条．但是当等腰三角形的腰和底相等的情况下，即为等边三角形时，其对称轴有3条．

解答：

解：

当等腰三角形的腰和底相等时，等腰三角形的对称轴有3条．因此等腰三角形的对称轴最多有3条．

故填3．

点评：

本题主要考查了等腰三角形的性质及轴对称图形；本题很易出错，往往漏掉等边三角形的情况，做题时，思考要全面．

14．如下图，在△ADC中，AD=BD=BC，若∠C=25°，则∠ADB=　80　度．

考点：

分析：

在等腰△BDC中，可得∠BDC=∠C；根据三角形外角的性质，即可求得∠ABD=50°；进而可在等腰△ABD中，运用三角形内角和定理求得∠ADB的度数．

解答：

解：

∵BD=BC，

∴∠BDC=∠C=25°；

∴∠ABD=∠BDC+∠C=50°；

△ABD中，AD=BD，∴∠A=∠ABD=50°；

故∠ADB=180°﹣∠A﹣∠ABD=80°．

故答案为：

80．

点评：

本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及三角形内角和定理；利用三角形外角求得∠ABD=50°是正确解答本题的关键．

15．如图，在△ABC中，∠C=25°，AD⊥BC，垂足为D，且AB+BD=CD，则∠BAC的度数是　105　度．

考点：

分析：

延长DB至E，使BE=AB，连接AE，则DE=CD，从而可求得∠C=∠E，再根据外角的性质即可求得∠B的度数，根据三角形内角和公式即可求得∠BAC的度数．

解答：

解：

延长DB至E，使BE=AB，连接AE

∵AB+BD=CD

∴BE+BD=CD

即DE=CD，

∵AD⊥BC，

∴AD垂直平分CE，∴AC=AE，

∴∠C=∠E=25°

∵BE=AB

∴∠ABD=2∠E=50°

∴∠BAC=105°．

故填105．

点评：

此题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理等知识点的综合运用．作出辅助线是正确解答本题的关键．

16．如图，在△ABC中，AB=AC，D，E分别是AC，AB上的点，且BC=BD，AD=DE=EB，则∠A=　45　度．

考点：

分析：

根据已知条件结合图形，列出相关角的关系，然后利用三角形的内角和求解．

解答：

解：

∵AB=AC，BC=BD，

∴∠C=∠ABC=∠BDC，

∵AD=DE=EB，

∴∠EBD=∠EDB，∠A=∠AED，

又∠EBD+∠EDB=∠AED，即2∠EDB=∠A，

又∠A+∠AED=∠EDB+∠BDC，即2∠A=∠EDB+∠BDC，

由

⇒∠A=

∠C，

又由三角形内角和定理得：

∠A+∠ABC+∠C=180°，

即4∠A=180°，

∴∠A=45°．

故答案为：

45．

点评：

本题考查了等腰三角形的性质，及三角形内角和定理；此题需灵活运用等腰三角形的性质，通过寻找相关角之间的关系求解是正确解答本题的关键．

三．解答题（共4小题）

17．（2012•珠海）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线．

（1）用尺规作图方法，作∠ADC的平分线DN；（保留作图痕迹，不写作法和证明）

（2）设DN与AM交于点F，判断△ADF的形状．（只写结果）

考点：

专题：

作图题；压轴题．

分析：

（1）以D为圆心，以任意长为半径画弧，交AD于G，交DC于H，分别以G、H为圆心，以大于

GH为半径画弧，两弧交于N，作射线DN，交AM于F．

（2）求出∠BAD=∠CAD，求出∠FAD=

×180°=90°，求出∠CDF=∠AFD=∠ADF，推出AD=AF，即可得出答案．

解答：

解：

（1）如图所示：

（2）△ADF的形状是等腰直角三角形，

理由是：

∵AB=AC，AD⊥BC，

∴∠BAD=∠CAD，

∵AF平分∠EAC，

∴∠EAF=∠FAC，

∵∠FAD=∠FAC+∠DAC=

∠EAC+

∠BAC=

×180°=90°，

即△ADF是直角三角形，

∵AB=AC，

∴∠B=∠ACB，

∵∠EAC=2∠EAF=∠B+∠ACB，

∴∠EAF=∠B，

∴AF∥BC，

∴∠AFD=∠FDC，

∵DF平分∠ADC，

∴∠ADF=∠FDC=∠AFD，

∴AD=AF，

即直角三角形ADF是等腰直角三角形．

点评：

本题考查了作图﹣基本作图，等腰三角形的性质和判定的应用，主要培养学生的动手操作能力和推理能力，题目比较典型，难度也适中．

18．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，沿着DE折叠三角形，顶点A恰好落在点C（点A′）处，且∠B=∠BCD．

（1）判断△ABC的形状，并说明理由；

（2）求证：

DE∥BC．

考点：

专题：

探究型．

分析：

（1）先根据图形翻折变换的性质得到∠ACD=∠A，∠ACB=∠ACD+∠BCD，∠BCD=∠B，再由三角形内角和定理可得到即可求出∠ACB的度数，进而判断出△ABC的形状；

（2）根据

（1）中可知△ABC是直角三角形，由图形翻折变换的性质可得到∠DEA=∠ACB，由平行线的判定定理即可解答．

解答：

解：

（1）△ABC是直角三角形．（1分）

∵∠ACB=∠ACD+∠BCD，∠ACD=∠A，∠BCD=∠B，

∴∠ACB=∠A+∠B，（3分）

又∵∠ACB+∠A+∠B=180°，（4分）

∴2∠ACB=180°，∠ACB=90°；（5分）

（2）由

（1）可知：

∠ACB=90°，

∵∠DEA=∠DEC=

×180°=90°，（6分）

∴∠DEA=∠ACB，（7分）

∴DE∥BC．（8分）

点评：

本题考查的是图形翻折变换的性质、直角三角形的性质及平行线的判定定理，熟知图形翻折变换的性质是解答此题的关键．

19．请在下图方格中画出三个以AB为腰的等腰△ABC（要求：

1、锐角三角形、直角三角形、钝角三角形各画一个；2、点C在格点上）

考点：

专题：

作图题．

分析：

根据等腰三角形、直角三角形、锐角三角形的特点和网格特点，再根据勾股定理画出即可．

解答：

解：

如图：

点评：

本题考查了对等腰三角形的性质和勾股定理的应用，主要培养学生的观察能力和画图能力，题型较好，难度也不大．

20．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且AD=AE．

（1）若∠BAC=90°，∠BAD=30°，求∠EDC的度数？

（2）若∠BAC=a（a＞30°），∠BAD=30°，求∠EDC的度数？

（3）猜想∠EDC与∠BAD的数量关系？

（不必证明）

考点：

专题：

证明题．

分析：

（1）根据等腰三角形性质求出∠B的度数，根据三角形的外角性质求出∠ADC，求出∠DAC，根据等腰三角形性质求出∠ADE即可；

（2）根据等腰三角形性质求出∠B的度数，根据三角形的外角性质求出∠ADC，求出∠DAC，根据等腰三角形性质求出∠ADE即可；

（3）根据

（1）

（2）的结论猜出即可．

解答：

（1）解：

∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠B=∠C=

（180°﹣∠BAC）=45°，

∴∠ADC=∠B+∠BAD=45°+30°=75°，

∵∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=90°﹣30°=60°，

∵AD=AE，

∴∠ADE=∠AED=

（180°﹣∠DAC）=60°，

∴∠EDC=∠ADC﹣∠ADE=7

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