圆锥曲线实用高考.docx

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圆锥曲线实用高考

23.已知椭圆的中心在原点，焦点在

轴上，焦距为

，且经过点

，直线

交椭圆于不同的两点A，B.

（1）求

的取值范围；，

（2）若直线

不经过点

，求证：

直线

的斜率互为相反数.

24.已知椭圆

．

（Ⅰ）设椭圆的半焦距

，且

成等差数列，求椭圆

的方程；

（Ⅱ）设

（1）中的椭圆

与直线

相交于

两点，求

的取值范围．

25.已知抛物线

的焦点为F2，点F1与F2关于坐标原点对称，直线m垂直于x轴，垂足为T，与抛物线交于不同的两点P、Q且

.

（1）求点T的横坐标

；

（2）若以F1,F2为焦点的椭圆C过点

.

①求椭圆C的标准方程；

②过点F2作直线l与椭圆C交于A,B两点，求

的取值范围.

26.设F1、F别为椭圆C:

=1（a>b>0）的左、右两个焦点.

（1）若椭圆C上的点A（1,

）到F1、F2两点的距离之和等于4,写出椭圆C的方程和焦点坐标;

（2）设点K是

（1）中所得椭圆上的动点,求线段F1K的中点的轨迹方程.

27.已知椭圆

的右焦点,长轴的左、右端点分别为,且.

（Ⅰ）求椭圆的方程;

（Ⅱ）过焦点斜率为的直线交椭圆于两点,弦的垂直平分线与轴相交于点.试问椭圆上是否存在点使得四边形为菱形?

若存在,试求点到轴的距离;若不存在,请说明理由.

28.（Ⅰ）设椭圆方程的左、右顶点分别为，点M是椭圆上异于的任意一点，设直线的斜率分别为，求证为定值并求出此定值；

（Ⅱ）设椭圆方程的左、右顶点分别为，点M是椭圆上异于的任意一点，设直线的斜率分别为，利用（Ⅰ）的结论直接写出的值。

（不必写出推理过程）

29.已知椭圆过点,离心率为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点且斜率为（）的直线与椭圆相交于两点，直线、分别交直线于、两点,线段的中点为.记直线的斜率为，求证:

为定值.

30.设椭圆的左焦点为，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.

（1）求椭圆方程.

（2）过点的直线与椭圆交于不同的两点，当面积最大时，求.

31.已知中心在原点O,焦点在x轴上的椭圆E过点（1,）,离心率为.

（Ⅰ）求椭圆E的方程;

（Ⅱ）直线x+y+1=0与椭圆E相交于A、B（B在A上方）两点,问是否存在直线l,使l与椭圆相交于C、D（C在D上方）两点且ABCD为平行四边形,若存在,求直线l的方程与平行四边形ABCD的面积;若不存在,请说明理由.

32.椭圆的左、右焦点分别为F1（-1，0），F2（1,0），过F1作与x轴不重合的直线l交椭圆于A,B两点.

（I）若ΔABF2为正三角形，求椭圆的离心率；

（II）若椭圆的离心率满足,为坐标原点，求证:

.

33.已知椭圆:

的两个焦点分别为,,离心率为,且过点.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程;

（Ⅱ）,,,是椭圆上的四个不同的点,两条都不和轴垂直的直线和分别过点,,且这两条直线互相垂直,求证:

为定值.

34.设是椭圆的左焦点，直线方程为，直线与轴交于点，、分别为椭圆的左右顶点，已知，且．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）过点且斜率为的直线交椭圆于、两点，求三角形面积．

35.已知椭圆的离心率为,短轴一个端到右焦点的距离为.

（Ⅰ）求椭圆C的方程:

（Ⅱ）设直线与椭圆C交于A．B两点,坐标原点O到直线的距离为,求△AOB面积的最大值.

36.已知椭圆C：

＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A．B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为．

（Ⅰ）求a，b的值；

（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有＝＋成立？

若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．

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38.已知中心在原点,焦点在轴上的椭圆过点,离心率为,点为其右顶点.过点作直线与椭圆相交于两点,直线,与直线分别交于点,.

（Ⅰ）求椭圆的方程;

（Ⅱ）求的取值范围.

39.已知椭圆:

的离心率,原点到过点,的直线的距离是.

（Ⅰ）求椭圆的方程;

（Ⅱ）若直线交椭圆于不同的两点,,且,都在以为圆心的圆上,求的值.

参考答案

一、解答题

23.【答案】

（1）；

（2）证明过程详见解析.

本题主要考查椭圆的标准方程、韦达定理等基础知识，考查运算求解能力、综合分析和解决问题的能力.第一问，用待定系数法，先设出椭圆方程，根据焦距和椭圆过，解出，得到椭圆方程，由于直线与椭圆有2个交点，所以联立得到的关于的方程有2个不相等实根，所以利用求解；第二问，分析题意得只需证明，设出点坐标，利用第一问得出的关于的方程找到，将化简，把的结果代入即可得证.

试题解析：

（1）设椭圆的方程为，因为，所以，

又因为椭圆过点，所以，解得，故椭圆方程为.

将代入并整理得，

，解得.

（2）设直线的斜率分别为和，只要证明.

设，则，.

，

分子

所以直线的斜率互为相反数.

24.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

（Ⅰ）由已知：

，且，解得，

所以椭圆的方程是．

（Ⅱ）将代入椭圆方程，得，

化简得，

设，则，

所以，

，

由，

所以的取值范围是.

25.【答案】

（1）

（2），

解：

（1）由题意得，，设，

则，.

由，

得即，①

又在抛物线上，则，②

联立①、②易得

（2）①设椭圆的半焦距为，由题意得，

设椭圆的标准方程为，

则③，④

将④代入③，解得或（舍去）

所以

故椭圆的标准方程为

②.（ⅰ）当直线的斜率不存在时，，，

又，所以

（ⅱ）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

由得

设，则由根与系数的关系，

可得：

，

因为，所以，

又，

故

令，因为，即，

所以

所以

综上所述：

.

26.【答案】解:

（1）椭圆C的焦点在x轴上,

由椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和是4,得2a=4,即a=2.

又点A（1,）在椭圆上,因此=1得b2=3,于是c2=1.

所以椭圆C的方程为=1,焦点F1（-1,0）,F2（1,0）（6分）

（2）设椭圆C上的动点为K（x1,y1）,线段F1K的中点Q（x,y）满足:

即x1=2x+1,y1=2y.

代入=1得=1.

即为所求的轨迹方程.

27.【答案】（Ⅰ）依题设,,则,.

由,解得,所以.所以椭圆的方程为

（Ⅱ）依题直线的方程为.

由得.

设,,弦的中点为,

则,,,,所以.

直线的方程为,

令,得,则.

若四边形为菱形,则,.所以.

若点在椭圆上,则.

整理得,解得.所以椭圆上存在点使得四边形为菱形.

此时点到的距离为

28.【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）。

（Ⅰ），

在椭圆上有得

所以

（Ⅱ）

29.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）

（Ⅰ）根据条件可得以下方程组:

，解这个方程组求出、的值便得椭圆的方程；（Ⅱ）将用表示出来，这样就是一个只含的式子，将该式化简即可.那么如何用来表示？

设，.因为A（2，0），所以直线的方程分别为：

.

令得：

所以的中点为：

由此得直线的斜率为：

①

再设直线的方程为，代入椭圆方程得:

设，，则由韦达定理得:

代入①式，便可将用

表示出来，从而得到的值.

试题解析：

（Ⅰ）由题设:

，解之得,所以椭圆的方程为

（Ⅱ）设直线的方程为代入椭圆方程得:

设，，则由韦达定理得:

直线的方程分别为：

令,得：

所以

30.【答案】

（1）;

（2）.

（1）由离心率得，由过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为得，再加椭圆中可解出，可得椭圆方程；

（2）将直线方程设为，交点设出，然后根据题意算出的面积，令则，所以当且仅当时等号成立，求出面积最大时的.

试题解析：

（1）由题意可得，，又，解得，所以椭圆方程为（）

（2）根据题意可知，直线的斜率存在，故设直线的方程为，设，由方程组消去得关于的方程（）由直线与椭圆相交于两点，则有，即得

由根与系数的关系得

故（）

又因为原点到直线的距离，

故的面积

令则，所以当且仅当时等号成立，

即时，（）

31.【答案】解:

（Ⅰ）设椭圆的方程为+=1（a>b>0）,由题意可得

解得a2=4,b2=3.

∴椭圆的方程为+=1

32.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析．

（Ⅰ）由椭圆定义易得为边上的中线，在中，可得，即得椭圆的离心率；（Ⅱ）设，，由，，先得，再分两种情况讨论，①是当直线轴垂直时；②是当直线不与轴垂直时，都证明，可得结论．

试题解析：

（Ⅰ）由椭圆的定义知，又，∴，即为边上的中线，∴,

在中，则，∴椭圆的离心率．

（注：

若学生只写椭圆的离心率，没有过程扣）

（Ⅱ）设，因为，，所以

①当直线轴垂直时，，，,

=，因为，所以，恒为钝角，

.

②当直线不与轴垂直时，设直线的方程为：

，代入，

整理得：

，

，

令，由①可知，

恒为钝角.，所以恒有．

33.【答案】（Ⅰ）由已知,

所以.

所以.

所以:

即.

因为椭圆过点,

得,.

所以椭圆的方程为.

（Ⅱ）证明:

由（Ⅰ）知椭圆的焦点坐标为,.

根据题意,可设直线的方程为,

由于直线与直线互相垂直,则直线的方程为.

设,.

由方程组消得

.

则.

所以=.

同理可得.

所以.

34.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）三角形面积为．

（Ⅰ）∵，∴，又∵，

∴，∴，，

∴椭圆的标准方程为

（Ⅱ）由题知：

，，：

，，，

由消得：

，

∴．

点到直线的距离：

，

∴，即三角形面积为．

35.【答案】（Ⅰ）.

（Ⅱ）面积取最大值.

（Ⅰ）属于椭圆的基本题型.通过建立的方程组，求得椭圆方程为.

（Ⅱ）解答本小题，应注意讨论轴和当与轴不垂直的两种情况.在与轴不垂直设直线的方程为.利用坐标原点到直线的距离为，建立的方程.通过将直线方程与椭圆方程联立，应用韦达定理、弦长公式，得到.应用均值定理得到

．

试题解析：

（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，依题意，离心率为,短轴一个端到右焦点的距离为.

，，∴所求椭圆方程为.

（Ⅱ）设.

当轴时，.

②当与轴不垂直时，设直线的方程为.

∵坐标原点到直线的距离为，，

把代入椭圆方程，整理得，

当且仅当时等号成立，

当时，，

综上所述．

∴当最大时，面积取最大值．

36.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）P（，±），x±y－＝0.

（Ⅰ）先利用点到直线的距离公式求，再利用离心率求，最后利用参数的关系求；（Ⅱ）设点利用方程组消元后得根与系数关系，然后代入题中条件化简可求.

试题解析：

（Ⅰ）设F（c，0），当l的斜率为1时，其方程为x－y－c＝0，

∴O到l的距离为，

由已知，得＝，∴c＝1.

由e＝＝，得a＝，b＝＝．

（Ⅱ）假设C上存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有＝＋成立，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则P（x1＋x2，y1＋y2）．

由（Ⅰ），知C的方程为＋＝1.

由题意知，l的斜率一定不为0，故不妨设l：

x＝ty＋1.

由，消去x并化简整理，得（2t2＋3）y2＋4ty－4＝0.

由韦达定理，得y1＋y2＝－，

∴x1＋x2＝ty1＋1＋ty2＋1＝t（y1＋y2）＋2＝－＋2＝，

∴P（，－）．

∵点P在C上，∴＋＝1，

化简整理，得4t4＋4t2－3＝0，即（2t2＋3）（2t2－1）＝0，解得t2＝．

当t＝时，P（，－），l的方程为x－y－＝0；

当t＝－时，P（，），l的方程为x＋y－＝0.

故C上存在点P（，±），使＝＋成立，此时l的方程为x±y－＝0.

37.【答案】

38.【答案】解:

（Ⅰ）设椭圆的方程为,

依题意得解得,.

所以椭圆的方程为

（Ⅱ）显然点.

（1）当直线的斜率不存在时,不妨设点在轴上方,易得,,所以

（2）当直线的斜率存在时,由题意可设直线的方程为,显然时,不符合题意.

由得.

设,则.

直线,的方程分别为:

令,则.

所以,

所以

因为,所以,所以,即.

综上所述,的取值范围是

39.【答案】（共13分）解（Ⅰ）因为,,所以.

因为原点到直线:

的距离,解得,.

故所求椭圆的方程为.

（Ⅱ）由题意消去,整理得.可知.

设,,的中点是,

则,.

所以.所以.

即.又因为,

所以.所以