拓展训练人教版数学八年级上册112 与三角形有关的角.docx

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拓展训练人教版数学八年级上册112与三角形有关的角

拓展训练2020年人教版数学八年级上册11.2与三角形有关的角

基础闯关全练

1．若一个三角形三个内角的度数之比为1:

2:

3，则这个三角形是（）

A．锐角三角形B．等边三角形

C．钝角三角形D．直角三角形

2．在△ABC中，2（∠A+∠B）=3∠C，则∠C的补角等于（）

A.36°B.72°C.108°D.144°

3．如图11-2-1，CE是△ABC的角平分线，若∠B=∠ACB，∠BAC=40°，则∠ACE的度数是（）

A.20°B.35°C.40°D.70°

4．在△ABC中，若∠A=30°，∠B=50°，则∠C=.

5．如图11-2-2，已知AD、CE是△ABC的角平分线，AD、CE交于点F，∠BAC=60°，∠ACB=76°，求∠AFC的度数．

6．已知直角△ABC的一个锐角等于50°，则另一个锐角的度数是（）

A.30°B.40°C.45°D.50°

7．下列条件，可以确定△ABC是直角三角形的是（）

A.∠A+∠B+∠C=180°

B.∠A+∠B=∠C

C.∠A=∠B=∠C

D.∠A=∠B=2∠C

8．如图11-2-3所示，DH⊥AB于H，AC⊥BD于C，DH与AC相交于点E，仔细观察图形，回答以下问题：

（1）图中有几个直角三角形？

（2）∠AEH和∠B是什么关系？

为什么？

（3）若∠B=70°，那么∠A和∠CED各是多少度？

9．如图11-2-4，∠ACD=120°，∠B=20°，则∠A的度数是（）

A.120°B.90°C.100°D.30°

10．如图11-2-5，在△ABC中，∠BAC=x°，∠B=2x°，∠C=3x°，则∠BAD=（）

A.145°B.150°C.155°D.160°

11.如图11-2-6，D是△ABC的边AC上一点，E是BD上一点，连接EC，若∠A=60°，∠ABD=25°，∠DCE=35°，则∠BEC的度数为.

12.如图11-2-7所示，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=69°，求∠DAC的度数．

能力提升全练

1．如图11-2-8，在△ABC中，∠B=∠C，D为BC边上的一点，E点在AC边上，∠ADE=∠AED，若∠BAD=20°，则∠CDE=（）

A.10°B.15°C.20°D.30°

2．如图11-2-9所示，在△ABC中，∠A=60°，BD，CE分别是AC，AB上的高，H是BD和CE的交点，则∠BHC=度．

3．当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．

（1）已知一个“特征三角形”的“特征角”为100°，求这个“特征三角形”的最小内角的度数；

（2）是否存在“特征角”为120°的三角形？

若存在，请举例说明；若不存在，请说明理由。

三年模拟全练

一、选择题

1．（2018河南平顶山宝丰期末，5，★★☆）已知△ABC的三个内角∠A，∠B，∠C满足关系式∠B+∠C=2∠A，则此三角形（）

A.一定有一个内角为45°B.一定有一个内角为60°

C.一定是直角三角形D.一定是钝角三角形

2．（2019湖北武汉江汉期中，6，★★☆）如图11-2-10，BE、CF是△ABC的角平分线，BE、CF相交于D，∠ABC=50°，∠ACB=70°，则∠CDE的度数是（）

A.50°B.60°C.70°D.120°

二、填空题

3．（2019重庆北碚西南大学附中，12，★★☆）如图11-2-11，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C=70°，∠ABC=48°，那么∠3=.

4．（2019福建龙岩新罗月考，15，★★☆）如图11-2-12所示，∠ACD为△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD平分线交于点P，已知∠A=50°，则∠P=.

三、解答题

5．（2019湖北黄石十四中期中，20，★★☆）已知：

如图11-2-13，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，若∠B=40°，∠EAD=15°，求∠C的度数．

6．（2019安徽淮南潘集期中，21，★★☆）某零件如图11-2-14所示，按规定∠A=90°，∠B=32°，∠C=21°，当检验员量得∠BDC=146°时，就断定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗？

五年中考全练

一、选择题

1．（2018江苏宿迁中考，3，★☆☆）如图11-2-15，点D在△ABC的边AB的延长线上，DE∥BC，若∠A=35°，∠C=24°，则∠D的度数是（）

A.24°B.59°C.60°D.69°

2．（2018吉林长春中考，5，★☆☆）如图11-2-16，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E，若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE的大小为（）

A．44°B．40°C．39°D．38°

3．（2018湖北黄石中考，7，★★☆）如图11-2-17，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=（）

A.75°B.80°C.85°D.90°

4．（2018四川眉山中考，5，★★☆）将一副直角三角板按如图11-2-18所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（）

A.45°B.60°C.75°D.85°

二、填空题

5．（2018四川巴中中考，16，★★☆）如图11-2-19，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，若∠BOC=110°，则∠A=.

6．如图11-2-20，在△ABC中，∠B=40°，三角形ABC的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=.

三、解答题

7．（2018湖北宜昌中考，18，★★☆）如图11-2-21，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．

（1）求∠CBE的度数；

（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．

核心素养全练

1．

（1）如图11-2-22①，△ABC是锐角三角形，高BD、CE相交于点H，求出∠BHC与∠A的数量关系；

（2）如图11-2-22②，△ABC是钝角三角形，∠A＞90°，高BD、CE所在的直线相交于点H，把图11-2-22②补充完整，并说明∠BHC与∠A的数量关系与

（1）中的结论是否一致．

2．问题情景：

如图11-2-23①，△ABC中，有一块直角三角板PMN放置在△ABC上（P点在△ABC内），使三角板PMN的两条直角边PM、PN恰好分别经过点B和点C．

试问∠ABP与∠ACP是否存在某种确定的数量关系．

（1）特殊探究：

若∠A=50°，则∠ABC+∠ACB=____度，∠PBC+∠PCB=____度，∠ABP+∠ACP=____度；

（2）类比探索：

请探究∠ABP+∠ACP与∠A的关系；

（3）类比延伸：

如图11-2-23②，改变直角三角板PMN的位置，使P点在△ABC外，三角板PMN的两条直角边PM、PN仍然分别经过点B和点C，

（2）中的结论是否仍然成立？

若不成立，请直接写出你的结论．

11.2与三角形有关的角

基础闯关全练

1.D设三个内角的度数分别为x，2x，3x，根据三角形内角和定理得x+2x+3x=180°，解得x=30°，∴三个内角的度数分别为30°，60°，90°，则这个三角形为直角三角形，故选D．

2.C∵2（∠A+∠B）=3∠C，∠A+∠B=180°-∠C，

∴2（180°-∠C）=3∠C，∴∠C=72°，

∴∠C的补角等于108°，故选C．

3.B∵∠B=∠ACB，∠BAC=40°，∴∠ACB=

×（180°-40°）=70°，∵CE是△ABC的角平分线，∴∠ACE=

∠ACB=35°，故选B．

4．答案100°

解析∵在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°，

∴∠C=180°-30°-50°=100°.

故答案为100°．

5．解析∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC=60°，

∴∠DAC=

∠BAC=30°，

∵CE是△ABC的角平分线，∠ACB=76°，

∴∠ACF=

∠ACB=38°，

∴∠AFC=180°-30°-38°=112°.

6．B∵直角三角形的一个锐角为50°．

∴另一个锐角的度数=90°-50°=40°，故选B．

7.B∠A+∠B+∠C=180°，∠A，∠B，∠C的度数不确定，故A不能确定△ABC是直角三角形；∠A+∠B=∠C，根据三角形内角和定理得到∠C=90°，故B可以确定△ABC是直角三角形；∠A=∠B=∠C，则△ABC是等边三角形，故C不能确定△ABC是直角三角形；∠A=∠B=2∠C，故∠A=∠B=72°，∠C=36°，故D不能确定△ABC是直角三角形。

故选B．

8．解析

（1）∵DH⊥AB于H，∴△AEH和△BDH都是直角三角形，∵AC⊥BD于C，∴△ABC和△CDE都是直角三角形，∴直角三角形有四个．

（2）∠AEH=∠B。

理由：

∵DH⊥AB，AC⊥BD，∴∠AEH+∠A=90°，∠B+∠A=90°，∴∠AEH=∠B．

（3）∵AC⊥BD．∴∠ACB=90°，∴∠A=90°-∠B=90°-70°=20°，由

（2）可知，∠AEH=∠B=70°，∴∠CED=∠AEH=70°（对顶角相等）．

9.C∠A=∠ACD-∠B=120°-20°=100°，故选C.

10.B在△ABC中，∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠BAC=x°，∠B=2x°，∠C=3x°，∴6x=180，∴x=30，∴∠BAD=∠B+∠C=5x°=150°．故选B．

11.答案120°

解析∵∠BDC是△ABD的外角，∴∠BDC=∠A+∠ABD=85°，同理：

∠BEC=∠BDC+∠DCE=120°，故答案是120°．

12.解析∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠3=∠1+∠2，∴∠3=∠4=∠1+∠2=2∠1，在△ADC中，∠DAC+∠3+∠4=180°，

∴∠DAC+4∠1=180°，∵∠BAC=∠1+∠DAC=69°，∴∠1+180°-4∠1=69°，解得∠1=37°．∴∠DAC=69°-37°=32°.

能力提升全练

1.A∵∠ADC是△ABD的外角，

∴∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+20°.

∵∠AED是△CDE的外角，

∴∠AED=∠C+∠EDC，∵∠B=∠C，∠ADE=∠AED，

∴∠C+∠EDC=∠ADC-∠EDC=∠B+20°-∠EDC=∠C+20°-∠EDC，

∴∠CDE=10°，故选A．

2．答案120

解析∵BD、CE分别是△ABC边AC、AB上的高，

∴∠ADB=∠AEC=90°，又∠A=60°，

∴∠ABD=90°-∠A=30°，

∴∠BHC=∠CEB+∠ABD=120°，故答案为120.

3．解析设这个“特征三角形”的三个内角为α、β、γ，

（1）∵α=2β，且α+β+γ=180°，

∴当α=100°时，β=50°，则γ=30°，

∴这个“特征三角形”的最小内角的度数为30°，

（2）不存在．

∵α=2β，且α+β+γ=180°，

∴当α=120°时，β=60°，

则γ=0°，此时不能构成三角形，

∴不存在“特征角”为120°的三角形．

三年模拟全练

一、选择题

1.B在△ABC中，∠B+∠C=2∠A，∴∠A+2∠A=180°，∴∠A=60°，故选B．

2.B∵BE、CF是△ABC的角平分线，BE、CF相交于D，∠ABC=50°，∠ACB=70°，∴∠EBC=

∠ABC=

×50°=25°，∠FCB=

∠ACB=

×70°=35°，

∴∠CDE=∠EBC+∠FCB=25°+35°=60°．故选B.

二、填空题

3．答案59°

解析∵∠C=70°，∠ABC=48°，

∴∠CAB=180°-70°-48°=62°，

∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=

∠CAB=31°，

∵BE⊥AC，∴∠AEF=90°，∴∠3=∠AFE=90°-31°=59°，

故答案为59°．

4．答案25°

解析∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACD，

∴∠ACD=2∠PCD，∠ABC=2∠PBC，

又∵∠PCD=∠P+∠PBC，∠ACD=∠ABC+∠A，

∴2∠P+2∠PBC=∠ABC+∠A，∴2∠P=∠A，即∠P=

∠A.

∵∠A=50°，∴∠P=25°．故答案为25°．

三、解答题

5．解析∵AD⊥BC，∠EAD=15°，∴∠AED=90°-15°=75°，

∵∠AED是△ABE的外角，∠B=40°，

∴∠BAE=∠AED-∠B=75°-40°=35°，

∵AE平分∠BAC，∴∠BAC=2∠BAE=2×35°=70°，

∴∠C=180°-∠BAC-∠B=180°-70°-40°=70°.

6．解析如图，延长BD交AC于E，由三角形外角的性质可知，∠DEC=∠A+∠B=90°+32°=122°，

∴∠BDC=∠DEC+∠C=122°+21°=143°，

而检验员量得∠BDC=146°．

故零件不合格．

五年中考全练

一、选择题

1.B∵∠A=35°，∠C=24°，

∴∠DBC=∠A+∠C=59°，∵DE∥BC，

∴∠D=∠DBC=59°，故选B．

2.C∵∠A=54°，∠B=48°，∴∠ACB=180°-54°-48°=78°，

∵CD平分∠ACB交AB于点D，∴∠DCB=

×78°=39°，

∵DE∥BC，∴∠CDE=∠DCB=39°，故选C．

3.A∵AD是BC边上的高，∠ABC=60°，

∴∠BAD=30°，∵∠BAC=50°，AE平分∠BAC，

∴∠BAE=25°，∴∠DAE=30°-25°=5°，

在△ABC中，∠C=180°-∠ABC-∠BAC=70°，

∴∠EAD+∠ACD=5°+70°=75°，故选A．

4.C如图，

∵∠ACD=90°，∠F=45°，∴∠CGF=∠DGB=45°，

则∠α=∠D+∠DGB=30°+45°=75°，故选C．

二、填空题

5．答案40°

解析∵BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，

∴∠OBC=

∠ABC，∠OCB=

∠ACB，

而∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，

∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-

（∠ABC+∠ACB），

∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A，

∴∠BOC=180°-

（180°-∠A）=90°+

∠A，

而∠BOC=110°，∴90°+

∠A=110°，∴∠A=40°，故答案为40°．

6．答案70°

解析∵三角形ABC的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，

∴∠EAC=

∠DAC，∠ECA=

∠ACF.

如图，

∠DAC+

∠ACF=

（∠B+∠2）+

（∠B+∠1）=

（∠B+∠B+∠1+∠2），

又∠B=40°，∠B+∠1+∠2=180°，∴

∠DAC+

∠ACF=110°，∴∠AEC=180°-（

∠DAC+

∠ACF）=70°.

三、解答题

7．解析

（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，

∴∠ABC=90°-∠A=50°，

∴∠CBD=130°，∵BE平分∠CBD，

∴∠CBE=

∠CBD=65°.

（2）∵∠BCE=90°，∠CBE=65°，

∴∠CEB=90°-65°=25°.

∵DF∥BE，∴∠F=∠CEB=25°.

核心素养全练

1．解析

（1）结论：

∠BHC+∠A=180°.

理由：

∵高BD、CE相交于点H，∴∠AEH=∠ADH=90°．

在四边形AEHD中，∵∠AEH+∠ADH+∠A+∠EHD=360°，

∴∠EHD+∠A=180°，

∵∠BHC=∠EHD，∴∠BHC+∠A=180°．

（2）补充完整的图形如图所示．

结论不变，∠BHC+∠BAC=180°.

理由：

∵高BD、CE所在的直线相交于点H，

∴∠ADH=∠AEH=90°，

在四边形ADHE中，

∵∠AEH+∠ADH+∠DAE+∠EHD=360°，

∴∠EHD+∠DAE=180°，

∵∠BAC=∠DAE，∴∠BHC+∠BAC=180°.

2．解析

（1）130；90；40.

（2）结论：

∠ABP+∠ACP=90°-∠A.

证明：

∵90°+（∠ABP+∠ACP）+∠A=180°，

∴∠ABP+∠ACP+∠A=90°，

∴∠ABP+∠ACP=90°-∠A.

（3）不成立.∠ACP-∠ABP=90°-∠A.

具体过程如下：

△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A，

∵∠MPN=90°，∴∠PBC+∠PCB=90°，

∴（∠ABC+∠ACB）-（∠PBC+∠PCB）=180°-∠A-90°，

即∠ABC+∠ACP+∠PCB-∠ABP-∠ABC-∠PCB=90°-∠A，

∴∠ACP-∠ABP=90°-∠A.