高三数学理一轮复习讲解与练习12命题及其关系充分条件与必要条件含答案解析.docx
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高三数学理一轮复习讲解与练习12命题及其关系充分条件与必要条件含答案解析
[备考方向要明了]
考什么
怎么考
1.理解命题的概念．
2.了解“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题和逆否命题，会分析四种命题的相互关系．
3.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.
1.对本节内容的考查形式多为选择题或填空题．
2.对命题及其关系的考查主要有以下两种方式：
（1）考查简单命题的真假判断，其中结合命题的四种形式、充要条件以及复合命题、全称命题等组成的混合选项问题是命题的重点．
（2）考查命题的四种形式，以原命题的否命题、逆否命题的形式为考查重点．如2012年湖南T2.
3.对充要条件的考查，主要从以下三个方面命题：
（1）以其他知识模块内容为背景，考查充要条件的判断，多以函数的性质、不等式的性质及其应用、解析几何中的直线与圆、圆锥曲线的位置关系以及空间中的线面位置关系等为主．如2012年北京T3，天津T2，安徽T6等．
（2）以其他知识模块内容为背景，考查充要条件的探求，尤其要注意逻辑联结词“非”与充要条件相结合的问题．
（3）考查利用条件和结论之间的充要条件关系求解参数的取值范围．如2011年陕西T12.
[归纳·知识整合]
1．命题
在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
2．四种命题及其关系
（1）四种命题间的相互关系
（2）四种命题的真假关系：
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
[探究] 1.在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中，真命题的个数可能有几个？
提示：
由于原命题与逆否命题是等价命题；逆命题与否命题是等价命题，所以真命题的个数可能为0,2,4.
3．充分条件与必要条件
（1）如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．
（2）如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充分必要条件．记作p⇔q.
[探究] 2.“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”两者的说法相同吗？
提示：
两者说法不相同．“p的一个充分不必要条件是q”等价于“q是p的充分不必要条件”，显然这与“p是q的充分不必要条件”是截然不同的．
3．命题“若p，则q”的逆命题为真，逆否命题为假，则p是q的什么条件？
提示：
逆命题为真即q⇒p，逆否命题为假，即p⇒/q，故p是q的必要不充分条件．
[自测·牛刀小试]
1．（教材改编题）给出命题：
“若x2＋y2＝0，则x＝y＝0”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是（ ）
A．0个 B．1个
C．2个D．3个
解析：
选D 逆命题为：
若x＝y＝0，则x2＋y2＝0，是真命题．
否命题为：
若x2＋y2≠0，则x≠0或y≠0，是真命题．
逆否命题为：
若x≠0或y≠0，则x2＋y2≠0，是真命题．
2．下列命题：
①“a>b”是“a2>b2”的必要条件；②“|a|>|b|”是“a2>b2”的充要条件；③“a>b”是“a＋c>b＋c”的充要条件．
其中是真命题的是（ ）
A．①②B．②③
C．①③D．①②③
解析：
选B ①a>b⇒/a2>b2，且a2>b2⇒/a>b；故①不正确；②a2>b2⇔|a|>|b|，故②正确；
③“a>b”⇒a＋c>b＋c，且a＋c>b＋c⇒a>b，故③正确．
3．命题“若f（x）是奇函数，则f（－x）是奇函数”的否命题是（ ）
A．若f（x）是偶函数，则f（－x）是偶函数
B．若f（x）不是奇函数，则f（－x）不是奇函数
C．若f（－x）是奇函数，则f（x）是奇函数
D．若f（－x）不是奇函数，则f（x）不是奇函数
解析：
选B 原命题的否命题是既否定题设又否定结论，故“若f（x）是奇函数，则f（－x）是奇函数”的否命题是B选项．
4．（2012·湖南高考）命题“若α＝
，则tanα＝1”的逆否命题是（ ）
A．若α≠
，则tanα≠1B．若α＝
，则tanα≠1
C．若tanα≠1，则α≠
D．若tanα≠1，则α＝
解析：
选C 命题“若α＝
，则tanα＝1”的逆否命题是“若tanα≠1，则α≠
”．
5．（2012·天津高考）设φ∈R，则“φ＝0”是“f（x）＝cos（x＋φ）（x∈R）为偶函数”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
解析：
选A 因为f（x）是偶函数⇔φ＝kπ，k∈Z，所以“φ＝0”是“f（x）是偶函数”的充分而不必要条件．
四种命题及其真假判断
[例1] 在命题p的四种形式（原命题、逆命题、否命题、逆否命题）中，真命题的个数记为f（p），已知命题p：
“若两条直线l1：
a1x＋b1y＋c1＝0，l2：
a2x＋b2y＋c2＝0平行，则a1b2－a2b1＝0”．那么f（p）等于（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
[自主解答] 原命题p显然是真命题，故其逆否命题也是真命题．而其逆命题是：
若a1b2－a2b1＝0，则两条直线l1与l2平行，这是假命题，因为当a1b2－a2b1＝0时，还有可能l1与l2重合，逆命题是假命题，从而否命题也为假命题，故f（p）＝2.
[答案] B
—————
——————————————
判断四种命题间的关系的方法
（1）在判断四种命题之间的关系时，首先要注意分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系．要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应地有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”．
（2）当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动；对于由多个并列条件组成的命题，在写其他三种命题时，应把其中一个（或n个）作为大前提．
1．设原命题是“当c>0时，若a>b，则ac>bc”，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假．
解：
“当c>0时”是大前提，写其他命题时应该保留，原命题的条件是a>b，结论是ac>bc.
因此它的逆命题：
当c>0时，若ac>bc，则a>b.它是真命题；否命题：
当c>0时，若a≤b，则ac≤bc.它是真命题；
逆否命题：
当c>0时，若ac≤bc，则a≤b.它是真命题.
充分条件、必要条件的判断
[例2]
（1）（2012·浙江高考）设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：
ax＋2y－1＝0与直线l2：
x＋（a＋1）y＋4＝0平行”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
（2）下面四个条件中，使a>b成立的充分不必要的条件是（ ）
A．a>b＋1B．a>b－1
C．a2>b2D．a3>b3
[自主解答]
（1）“直线l1：
ax＋2y－1＝0与直线l2：
x＋（a＋1）y＋4＝0平行”的充要条件是：
由
＝
≠
，解得a＝－2或1.
故“a＝1”是“直线l1：
ax＋2y－1＝0与直线l2：
x＋（a＋1）y＋4＝0平行”的充分不必要条件．
（2）a>b＋1⇒a－b>1>0⇒a>b，但a＝2，b＝1满足a>b，但a＝b＋1，故A项正确．或用排除法：
对于B，a>b－1不能推出a>b，排除B；而a2>b2不能推出a>b，如a＝－2，b＝1，（－2）2>12，但－2<1，故C项错误；a>b⇔a3>b3，它们互为充要条件，排除D.
[答案]
（1）A
（2）A
—————
——————————————
充分条件、必要条件的判断方法
判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：
一是由条件p能否推得条件q；二是由条件q能否推得条件p.
2．已知命题p：
函数f（x）＝|x－a|在（1，＋∞）上是增函数，命题q：
f（x）＝ax（a>0且a≠1）是减函数，则p是q的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：
选A 若命题p为真，则a≤1；若命题q为真，
则0∴p是q的必要不充分条件．
充要条件的应用
[例3] 已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．
（1）是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件，若存在，求出m的范围；
（2）是否存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件，若存在，求出m的范围．
[自主解答]
（1）由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，
∴P＝{x|－2≤x≤10}，
∵x∈P是x∈S的充要条件，∴P＝S，
∴
∴
这样的m不存在．
（2）由题意x∈P是x∈S的必要条件，则S⊆P.
∴
∴m≤3.
综上，可知m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件．
保持本例条件不变，若綈P是綈S的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
解：
由例题知P＝{x|－2≤x≤10}，
∵綈P是綈S的必要不充分条件，
∴P⇒S且S⇒/P.
∴[－2,10][1－m,1＋m]．
∴
或
∴m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞）．
—————
——————————————
1.解决与充要条件有关的参数问题的方法
解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解.
2.利用转化的方法理解充分必要条件
若綈p是綈q的充分不必要（必要不充分、充要）条件，则p是q的必要不充分（充分不必要、充要）条件.
3．已知不等式
<1的解集为p，不等式x2＋（a－1）x－a>0的解集为q，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（ ）
A．（－2，－1] B．[－2，－1]
C．[－3,1]D．[－2，＋∞）
解析：
选A 不等式
<1等价于
－1<0，即
>0，解得x>2或x<1，所以p为（－∞，1）∪（2，＋∞）．不等式x2＋（a－1）x－a>0可以化为（x－1）（x＋a）>0，当－a≤1时，解得x>1或x<－a，即q为（－∞，－a）∪（1，＋∞），此时a＝－1；当－a>1时，不等式（x－1）（x＋a）>0的解集是（－∞，1）∪（－a，＋∞），此时－a<2，即－21个转化——正难则反的转化
由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而当判断一个命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假．
2个区别——“否命题”与“命题的否定”以及“充分条件”与“必要条件”的区别
（1）否命题是既否定命题的条件，又否定命题的结论，而命题的否定是只否定命题的结论．要注意区别．
（2）充分必要条件的判断应注意问题的设问方式，①A是B的充分不必要条件是指：
A⇒B且B⇒/A；②A的充分不必要条件是B是指：
B⇒A且A⇒/B，在解题中一定要弄清它们的区别，以免出现错误．
3种方法——判断充分条件和必要条件的方法
（1）命题判断法．
设“若p，则q”为原命题，那么：
①原命题为真，逆命题为假时，p是q的充分不必要条件；
②原命题为假，逆命题为真时，p是q的必要不充分条件；
③原命题与逆命题都为真时，p是q的充要条件；
④原命题与逆命题都为假时，p是q的既不充分也不必要条件．
（2）集合判断法．
从集合的观点看，建立命题p，q相应的集合：
p：
A＝{x|p（x）成立}，q：
B＝{x|q（x）成立}，那么：
①若A⊆B，则p是q的充分条件；若AB时，则p是q的充分不必要条件；
②若B⊆A，则p是q的必要条件；若BA时，则p是q的必要不充分条件；
③若A⊆B且B⊆A，即A＝B时，则p是q的充要条件．
（3）等价转化法．
p是q的什么条件等价于綈q是綈p的什么条件.
创新交汇——与充要条件有关的交汇问题
1．充分条件、必要条件和充要条件的判断是每年高考的热点内容，多与函数、不等式、向量、立体几何、解析几何等交汇命题．
2．突破此类问题的关键有以下四点：
（1）要分清命题的条件与结论；
（2）要善于将文字语言转化为符号语言进行推理；
（3）要注意等价命题的运用；
（4）当判断多个命题之间的关系时，常用图示法，它能使问题直观、易于判断．
[典例] （2011·陕西高考）设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.
[解析] x＝
＝2±
，因为x是整数，即2±
为整数，所以
为整数，且n≤4，又因为n∈N*，取n＝1,2,3,4，验证可知n＝3,4符合题意，所以n＝3,4时可以推出一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根．
[答案] 3或4
1．本题有以下两个创新点
（1）考查内容创新：
本题以一元二次方程为背景，探求方程有整数根的充要条件．
（2）命题方式创新：
此题目的特点是给出结论，未给条件，由结论探求条件．
2．解决本题的关键有以下两点
（1）从结论出发，正确求出使结论成立的必要条件；
（2）要验证所得到的必要条件是否满足充分性，否则极易得出n＝1,2,3,4的错误答案．
1．已知向量a＝（x－1,2），b＝（2,1），则a⊥b的充要条件是（ ）
A．x＝－
B．x＝－1
C．x＝5D．x＝0
解析：
选D a⊥b⇔a·b＝0，a·b＝（x－1,2）·（2,1）＝2（x－1）＋2×1＝2x＝0，∴x＝0.
2．对于常数m、n，“mn>0”是“方程mx2＋ny2＝1的曲线是椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
解析：
选B 当m<0，n<0时，mn>0，但mx2＋ny2＝1没有意义，不是椭圆；反之，若mx2＋ny2＝1表示椭圆，则m>0，n>0，即mn>0.
3．设集合A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}，C＝{x∈R|x（x－2）>0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
解析：
选C 化简得A＝{x|x>2}，B＝{x|x<0}，
C＝{x|x<0，或x>2}．
∵A∪B＝C，∴“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件．
一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
1．（2013·潍坊模拟）命题“若△ABC有一内角为
，则△ABC的三内角成等差数列”的逆命题（ ）
A．与原命题同为假命题
B．与原命题的否命题同为假命题
C．与原命题的逆否命题同为假命题
D．与原命题同为真命题
解析：
选D 原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC的三内角成等差数列，则△ABC有一内角为
”，它是真命题．
2．设集合M＝{x|0A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：
选B M＝{x|03．（2013·日照模拟）已知直线l1：
x＋ay＋1＝0，直线l2：
ax＋y＋2＝0，则命题“若a＝1或a＝－1，则直线l1与l2平行”的否命题为（ ）
A．若a≠1且a≠－1，则直线l1与l2不平行
B．若a≠1或a≠－1，则直线l1与l2不平行
C．若a＝1或a＝－1，则直线l1与l2不平行
D．若a≠1或a≠－1，则直线l1与l2平行
解析：
选A 命题“若A，则B”的否命题为“若綈A，则綈B”，显然“a＝1或a＝－1”的否定为“a≠1且a≠－1”，“直线l1与l2平行”的否定为“直线l1与l2不平行”．
4．已知a，b为非零向量，则“函数f（x）＝（ax＋b）2为偶函数”是“a⊥b”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
解析：
选C 依题意得f（x）＝a2x2＋2（a·b）x＋b2.由函数f（x）是偶函数，得a·b＝0，又a·b为非零向量，所以a⊥b；反过来，由a⊥b得，a·b＝0，f（x）＝a2x2＋b2，函数f（x）是偶函数．综上所述，“函数f（x）＝（ax＋b）2为偶函数”是“a⊥b”的充要条件．
5．（2012·安徽高考）设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
解析：
选A 若α⊥β，又α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，根据两个平面垂直的性质定理可得b⊥α，又因为a⊂α，所以a⊥b；反过来，当a∥m时，因为b⊥m，一定有b⊥a，但不能保证b⊥α，即不能推出α⊥β.
6．设p：
f（x）＝x3＋2x2＋mx＋1在（－∞，＋∞）内单调递增，q：
m≥
对任意x>0恒成立，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：
选B f（x）在（－∞，＋∞）内单调递增，则f′（x）≥0在（－∞，＋∞）上恒成立，即3x2＋4x＋m≥0对任意x恒成立，故Δ≤0，即m≥
；m≥
对任意x>0恒成立，即x>0时，m≥
max，而
＝
≤
＝2，故m≥2.当p成立时q不一定成立，即p不是q的充分条件，但如果p不成立，即m<
时，q一定不成立，即p是q的必要不充分条件．
二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
7．（2013·南京模拟）有下列几个命题：
①“若a>b，则a2>b2”的否命题；
②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
③“若x2<4，则－2其中真命题的序号是________．
解析：
①原命题的否命题为“若a≤b则a2≤b2”错误．
②原命题的逆命题为：
“x，y互为相反数，则x＋y＝0”正确．
③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”正确．
答案：
②③
8．（2013·石家庄质检）下列四个命题：
①“∃x∈R，x2－x＋1≤0”的否定；
②“若x2＋x－6≥0，则x>2”的否命题；
③在△ABC中，“A>30°”是“sinA>
”的充分不必要条件；
④“函数f（x）＝tan（x＋φ）为奇函数”的充要条件是“φ＝kπ（k∈Z）”．其中真命题的序号是________（把真命题的序号都填上）．
解析：
“∃x∈R，x2－x＋1≤0”的否定为“∀x∈R，x2－x＋1>0”，①是真命题；“若x2＋x－6≥0，则x>2”的否命题是“若x2＋x－6<0，则x≤2”，②也是真命题；在△ABC中，“A>30°”是“sinA>
”的必要不充分条件，③是假命题；“函数f（x）＝tan（x＋φ）为奇函数”的充要条件是“φ＝
（k∈Z）”，④是假命题．
答案：
①②
9．已知α：
x≥a，β：
|x－1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a的取值范围为________．
解析：
α：
x≥a，可看作集合A＝{x|x≥a}，
∵β：
|x－1|<1，∴0∴β可看作集合B＝{x|0又∵α是β的必要不充分条件，∴BA，∴a≤0.
答案：
（－∞，0]
三、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分）
10．已知集合A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若命题“A∩B＝∅”是假命题，求实数m的取值范围．
解：
因为“A∩B＝∅”是假命题，所以A∩B≠∅.
设全集U＝{m|Δ＝（－4m）2－4（2m＋6）≥0}，
则U＝{m|m≤－1或m≥
}．
假设方程x2－4mx＋2m＋6＝0的两根x1，x2均非负，则有
⇒
⇒m≥
.
又集合{m|m≥
}关于全集U的补集是{m|m≤－1}，
所以实数m的取值范围是{m|m≤－1}．
11．已知集合A＝
，B＝{x|x＋m2≥1}．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数m的取值范围．
解：
y＝x2－
x＋1＝
2＋
，
∵x∈
，∴
≤y≤2，
∴A＝
.
由x＋m2≥1，得x≥1－m2，
∴B＝{x|x≥1－m2}．
∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件，
∴A⊆B，∴1－m2≤
，
解得m≥
或m≤－
，
故实数m的取值范围是
∪
.
12．已知两个关于x的一元二次方程mx2－4x＋4＝0和x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，求两方程的根都是整数的充要条件．
解：
∵mx2－4x＋4＝0是一元二次方程，
∴m≠0.
又另一方程为x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，且两方程都要有实根，
∴
解得m∈
.
∵两方程的根都是整数，故其根的和与积也为整数，
∴
∴m为4的约数．
又∵m∈
，
∴m＝－1或1.
当m＝－1时，第一个方程x2＋4x－4＝0的根为非整数；
而当m＝1时，两方程的根均为整数，
∴两方程的根均为整数的充要条件是m＝1.
1．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是（ ）
A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3
B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3
C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3
D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3
解析：
选A a＋b＋c＝3的否定是a＋b＋c≠3，a2＋b2＋c2≥3的否定是a2＋b2＋c2<3.
2．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
解析：
选A 由x≥2且y≥2可得x2＋y2≥4，但反之不成立．
3．“a＝b”是“直线y＝x＋2与圆（x－a）2＋（y－b）2＝2相切”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：
选A a＝b时，圆心到直线距离
d＝
＝
，
所以相切；若直线与圆相切时，有d＝
＝
，
所以a＝b或a＝－4＋b.
4．已知集合A＝
，B＝{x|－1解析：
A＝
＝{x|－1∴AB，∴m＋1>3，即m>2.
答案：
（2，＋∞）
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