全等三角形培优专题训练.docx

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全等三角形培优专题训练

八年级数学培优专题训练

探索三角形全等的条件

1、一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张纸片摆成如下图形式，使点B、F、C、D在同一条直线上.

⑴求证：

AB⊥ED；

⑵若PB＝BC，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明

2、如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，BE⊥AD交AC的延长线于F，E为垂足，则结论：

①AD＝BF；②CF＝CD；③AC＋CD＝AB；④BE＝CF；⑤BF＝2BE.其中正确的是（）

3、如图，点C在线段AB上，DA⊥AB，EB⊥AB，FC⊥AB，且DA＝BC，EB＝AC，FC＝AB，∠AFB＝51°，求∠DFC的度数.

4、如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，O为对角线AC的中点，过点O作一条直线分别与AB、CD交于点M、N，点E、F在直线M、N上，且OE＝OF.

⑴图中共有几对全等三角形，请把它们都写下来；

⑵求证：

∠MAE＝∠NCF

5、在△ABC中，高所在直线AD和BE交于H点，且BH＝AC，则∠ABC＝_____________.

6、下列三个判断：

⑴有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等；

⑵有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等；

⑶一边及其它两边上的高对应相等的两个三角形全等.

上述判断是否正确？

若正确，说明理由；若不正确，请举出反例.

八年级数学培优专题训练（三）

全等三角形的应用

全等三角形常用来转移线段和角，用它来证明：

①线段和角的等量关系

②线段和角的和差倍分关系

③直线与直线的平行或垂直等位置关系

1、如图，已知BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP＝AC，点Q在CE上，CQ＝AB.试判断AP与AQ的关系，并证明.

2、如图，AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于点F，且BF＝AC，FD＝CD，

求证：

BE⊥AC

3、（2012·阜新中考）如图,在△ABC中,AB＝AC,AD＝AE,∠BAC＝∠DAC＝90°.

⑴当点D在AC上时,如图①,线段BD,CE有怎样的数量和位置关系?

证明你猜想的结论.

⑵将图①中的△ADE绕点A顺时针旋转α角（0°＜α＜90°） ，如图②，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？

问明理由.

4、在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE.

⑴如图①，当点D在线段BC上时，若∠BAC＝90°，则∠BCE＝_______度.

⑵设∠BAC＝α，∠BCE＝β

a、如图②，当点D在线段BC上移动时，α，β之间有怎样的数量关系？

请说明理由.

b、当点D在直线BC上移动时，α，β之间有怎样的数量关系？

请直接写出你的结论.

八年级数学培优专题训练（四）

辅助线作法之连接法

在几何证明中，常通过添加辅助线来构造全等三角形.常见的添加辅助线方法有：

连接法、截长补短法、倍长中线法、翻折法、旋转法以及利用特殊条件构造全等三角形等等.

1、如图，△ABC的两条高BD，CE相交于点P，且PD＝PE.

证明∶AC＝AB

2、已知AB＝DE，BC＝EF，∠B＝∠E，AF＝CD

求证：

AC∥DF

3、如图，AB交CD于点O，AD、CB的延长线相交于点E，且OA＝OC，EA＝EC.∠A＝∠C吗？

点O在∠AEC的平分线上吗？

八年级数学培优专题训练（五）

辅助线作法之倍长中线法

在题目条件中含有中线的问题，我们常用的辅助线就是将中线延长一倍，其目的是为了得一对全等三角形，将分散的条件集中到一个三角形中去.

1、△ABC中，AB＝5，AC＝3，求中线AD的取值范围.

2、如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，又是BC上的中线

求证：

AB＝AC

3、（2014·襄阳初三模拟）在△ABC中，D是边BC上的一点，且CD＝AB，∠BAD＝∠BDA，AE是△ABD的中线.

求证∶AC＝2AE

4、（竞赛014）△ABC中，D为BC的中点，DE⊥DF交AB，AC于点E，F.

求证：

BE＋CF＞EF

6、（竞赛015）例：

已知AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE＝EF.

求证:

AC＝BF

八年级数学培优专题训练（六）

辅助线作法之截长补短法

截长法：

在第三条线段上截下一段使其等于两条线段中的一条，再证明剩余部分与另一条相等.

补短法：

把两条线段中的一条补到另一条线段上去，证明所得新线段与第三条线段相等.

1、已知AC∥BD，EA，EB分别平分∠CAB和∠DBA，点E在CD上.

求证：

AB＝AC＋BD

2、在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，且AE＝½（AB＋AD）.

求证∶∠B＋∠D＝180°

3、如图，已知△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为AC的中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F.

求证：

∠ADB＝∠CDF

4、如图，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠BAC的角平分线.

求证∶AC＋CD＝AB

12、如图，已知AB＝CD＝AE＝BC＋DE＝2，∠ABC＝∠AED＝90°，求五边形ABCDE的面积.

八年级数学培优专题训练（七）

辅助线作法之利用特殊条件构造全等三角形

2、（2012·“华罗庚杯”）如图，在△ABC中，AC＝½AB，AD平分∠BAC，且AD＝BD

求证：

CD⊥AC

八年级数学培优专题训练（八）

全等三角形在动态几何中的运用

1、（竞赛·014·3）如图，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC＝BC.△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF＝FP.

⑴在图①中,请你通过观察、测量、猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系;

⑵将△EFP沿直线l向左平移到图②的位置时,EP交AC于点Q,连接AP,BQ.猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系,并证明你的猜想;

⑶将△EFP沿直线l向左平移到图③的位置时,EP的延长线交AC的延长线于点Q,连接AP,BQ.你认为⑵中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗?

若成立,给出证明;若不成立,请说明理由.

八年级数学培优专题训练（九）

探究角平分线

一、知识清单

角平分线的定义：

从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线.

三角形的角平分线定义：

三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连结这个角的顶点和与对边交点的线段叫做三角形的角平分线（也叫三角形的内角平分线）.由定义可知，三角形的角平分线是一条线段.

角平分线性质:

1、角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等.

2、角平分线分得的两个角相等，都等于该角的一半.

3、三角形的三条角平分线交于一点，且到各边的距离相等，这个点称为内心.

二、方法点拨

证明角平分线有两种方法:

一是运用定义证明两个角相等;二是运用角平分线的判定方法.

三、规律清单

①遇到角平分线,可从角平分线上的某一点向角的两边作垂线段（图1）.

②遇到角平分线,常可利用翻折法或截长补短法解题（图2）.

③有两条角平分线（内角或外角）交于一点,则连接该点与三角形第三个顶点的线段会平分一个内角或外角（图3）.

④有垂直于角平分线的线段,则延长这条线段以利用三线合一解题（图4）.

⑤遇到角内的一点到角的两边有垂线段时,就连接这点与角的顶点,看能否平分已知角（图5）.

⑥遇到有多条角平分线时,可尝试用整体的思想解题（图6）.

⑦有翻折条件时,除注意全等的结论,还应关注折线就是角平分线、是对称轴（如图7）.

⑧角平分线、平行线、等腰三角形三个条件中出现任意两个,常可直接得到另一个（如图8）.

四、真题训练

1、（2011·鄂州·竞赛·018·重庆中考）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP相交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝_____________.

2、（竞赛·019）如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC.

求证:

AM平分∠DAB

3、（竞赛·019）如图,在△ABC中,∠BAC＝90°,AB＝AC,BE平分∠ABC,CE⊥BE.

求证:

CE＝

BD

4、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD＝CD

求证：

∠B＝∠C

5、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠BAC的平分线，交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝10cm，则△DBE的周长是多少？

6、（2011，恩施中考）AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为多少？

7、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.

求证：

BE＝CF

8、在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF＋∠BAF＝180°

⑴求证：

DE＝DF

⑵如果把最后一个条件改为AE＞AF，且∠AED＋∠AFD＝180°，那么结论还成立吗？

9、如图，已知AB＝AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE与CF交于点D

求证：

点D在∠BAC的平分线上.

10、如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，AB＞AD，下列结论正确的是（）

A.AB－AD＞CB－CD

B.AB－AD＝CB－CD

C.AB－AD＜CB－CD

D.AB－CD与CB－CD的大小关系不确定

11、（竞赛014）如图，已知△ABC中，∠B＝60°，∠BAC，∠BCA的平分线AD，CE相交于点O.

求证：

DC＋AE＝AC

12、（竞赛·019）如图，已知△ABC，P为内角平分线AD、BE、CF的交点，过点P作PG⊥BC于G点。

试说明∠BPD与∠CPG的大小关系，并说明理由。

八年级数学培优专题训练（十）

应用线段垂直平分线的性质和判定解题

一、知识清单

定义：

经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。

线段垂直平分线的性质：

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。

线段垂直平分的判定：

与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。