中考数学三轮复习专项练习《四边形》含答案.docx

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中考数学三轮复习专项练习《四边形》含答案

备战2020中考数学三轮复习专项练习：

《四边形》

1．在△ABC中，AB＝AC，点P为△ABC所在平面内一点过点P分别作PE∥AC交AB于点E，PF∥AB交BC于点D，交AC于点F．

（1）观察猜想

如图

（1），当点P在BC边上时，此时点P、D重合，试猜想PD，PE，PF与AB的数量关系：

　　．

（2）类比探究

如图

（2），当点P在△ABC内时，过点P作MN∥BC交AB于点M，交AC于点N，试写出PD，PE，PF与AB的数量关系，并加以证明．

（3）解决问题

如图（3），当点P在△ABC外时，若AB＝6，PD＝1，请直接写出平行四边形PEAF的周长　　．

2．我们定义：

两边平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做“奇异三角形”．

（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断命题：

“等边三角形一定是奇异三角形”

是　　命题．（填写“真命题、假命题”）

（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若Rt△ABC是

“奇异三角形”，则a：

b：

c＝　　．

（3）如图，在四边形ACBD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，若在四边形ACBD内存在点E使得AE＝AD，CB＝CE．

①求证：

△ACE是“奇异三角形”；

②当△ACE是直角三角形时，且AC＝，求线段AB的长．

3．操作体验：

如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C′处．点P为直线EF上一动点（不与E、F重合），过点P分别作直线BE、BF的垂线，垂足分别为点M和N，以PM、PN为邻边构造平行四边形PMQN．

（1）如图1，求证：

BE＝BF；

（2）特例感知：

如图2，若DE＝5，CF＝3，当点P在线段EF上运动时，求平行四边形PMQN的周长；

（3）类比探究：

如图3，当点P在线段EF的延长线上运动时，若DE＝a，CF＝b．请直接用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系．（不要求写证明过程）

4．

（1）问题探究：

如图1所示，有公共顶点A的两个正方形ABCD和正方形AEFG．AE＜AB，连接BE与DG，请判断线段BE与线段DG之间有怎样的数量关系和位置关系．并请说明理由．

（2）理解应用

如图2所示，有公共顶点A的两个正方形ABCD和正方形AEFG，AE＜AB，AB＝10，将正方形AEFG绕点A在平面内任意旋转，当∠ABE＝15°，且点D、E、G三点在同一条直线上时，请直接写出AE的长　　；

（3）拓展应用

如图3所示，有公共顶点A的两个矩形ABCD和矩形AEFG，AD＝4，AB＝4，AG＝4，AE＝4，将矩形AEFG绕点A在平面内任意旋转，连接BD，DE，点M，N分别是BD，DE的中点，连接MN，当点D、E、G三点在同一条直线上时，请直接写出MN的长　　

5．已知四边形ABCD是正方形，∠MAN＝90°，将∠MAN绕顶点A旋转，旋转角为∠DAM（0°＜DAM＜45°），AM交CD于点E，∠MAN的平分线与CB交于点G．

（1）如图1，连接GE．求证：

GE＝DE+BG；

（2）如图2，设AN交CB的延长线于点F，直线EF分别交AG，AB于点P，H．

①探究GH与AE的位置关系，并证明你的结论；

②若正方形的边长为6，BG＝2，求GH的长．

6．如图，在矩形ABCD中，DE＝1，BE＝2，F，G分别是BE，BC的中点，延长GF，交AD于点H．

（1）求证：

点H是AD的中点；

（2）连结AF，当∠EBA＝70°时，求∠EFA的度数；

（3）设AB＝x，AD＝y，求y关于x的函数关系式，并猜想函数图象是什么图形；

（4）当△AEF是直角三角形时，求边AB的长．

7．如图，在平面直角坐标系中，▱ABOC的顶点A（0，2），点B（﹣4，0），点O为坐标原点，点C在第一象限，若将△AOB沿x轴向右运动得到△EFG（点A、O、B分别与点E、F、G对应），运动速度为每秒2个单位长度，边EF交OC于点P，边EG交OA于点Q，设运动时间为t（0＜t＜2）秒．

（1）在运动过程中，线段AE的长度为　　（直接用含t的代数式表示）；

（2）若t＝1，求出四边形OPEQ的面积S；

（3）在运动过程中，是否存在四边形OPEQ为菱形？

若存在，直接写出此时四边形OPEQ的面积；若不存在，请说明理由．

8．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝12，BC＝16，点O是对角线AC的中点，点E是AD边上的动点，连结EO并延长交BC于点F，过O作GH⊥EF，分别交矩形的边于点G，H．

（1）当H，F，G，E四点分别分布在矩形ABCD的四条边上（不包括顶点）时，

①求证：

四边形HFGE是菱形．

②求AE的取值范围．

（2）当四边形HFGE的面积为144时，求AE的长．

9．四边形ABCD是矩形，点E是射线BC上一点，连接AC，DE．

（1）如图1，点E在边BC的延长线上，BE＝AC，若∠ACB＝40°，求∠E的度数；

（2）如图2，点E在边BC的延长线上，BE＝AC，若M是DE的中点，连接AM，CM，求证：

AM⊥MC；

（3）如图3，点E在边BC上，射线AE交射线DC于点F，∠AED＝2∠AEB，AF＝4，AB＝4，则CE＝　　．（直接写出结果）

10．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E为BC延长线上一点，且BD＝BE，连接DE，Q为DE的中点，有一动点P从B点出发，沿BC以每秒1个单位的速度向E点运动，运动时间为t秒．

（1）如图1，连接DP、PQ，则S△DPQ＝　　（用含t的式子表示）；

（2）如图2，M、N分别为AD、AB的中点，当t为何值时，四边形MNPQ为平行四边形？

请说明理由；

（3）如图3，连接CQ，AQ，试判断AQ、CQ的位置关系并加以证明．

11．在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°．

（1）如图1，若AB＝1，AD＝，CD＝，求BC的长；

（2）如图2，若BC＝CD，连接AC，求证：

AC平分∠DAB；

（3）如图3，在

（2）的条件下，若AB＝3，AD＝5，直接写出AC的长度为　　．

12．如图1，P为Rt△ABC所在平面内任意一点（不在直线AC上），∠ACB＝90°，M为AB边中点．操作：

以PA、PC为邻边作平行四边形PADC，连结PM并延长到点E，使ME＝PM，连结DE．

（1）请你利用图2，选择Rt△ABC内的任意一点P按上述方法操作；

（2）经历

（1）之后，观察两图形，猜想线段DE和线段BC之间有怎样的数量和位置关系？

请选择其中的一个图形证明你的猜想；

（3）观察两图，你还可得出和DE相关的什么结论？

请说明理由．

（4）若以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，其中A、C、D的坐标分别为（0，0），（5，3），（4，2），能否在平面内找到一点M，使以A、C、D、M为点构造成平行四边形，若不能，说明理由，若能，请直接写出点M的坐标．

13．【方法回顾】连接三角形任意两边中点的线段叫三角形的中位线，探索三角形中位线的性质，方法如下：

如图1，D、E分别是AB、AC中点，延长DE到F，使EF＝DE，连接CF；

（1）证明△ADE≌△CFE，再证四边形DBCF是平行四边形，从而得到线段DE与BC的位置关系和数量关系分别为　　、　　．

（2）【初步运用】如图2，正方形ABCD中，E为边AD中点，G、F分别在边AB、CD上，且AG＝2，DF＝3，∠GEF＝90°，求GF长．

（3）【拓展延伸】如图3，四边形ABCD中，∠A＝100°，∠D＝110°，E为AD中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG＝2，DF＝，∠GEF＝90°，求GF长．

14．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，AD＝16，BC＝21，CD＝13．

（1）求直线AD和BC之间的距离；

（2）动点P从点B出发，沿射线BC以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位长度的速度运动，点P、Q同时出发，当点Q运动到点D时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒．试求当t为何值时，以P、Q、D、C为顶点的四边形为平行四边形？

（3）在

（2）的条件下，是否存在点P，使△PQD为等腰三角形？

若存在，请直接写出相应的t值，若不存在，请说明理由．

15．在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，以斜边AB为边向Rt△AEB形外作正方形ABCD，若正方形ABCD的对角线交于点O（如图1）．

（1）求证：

EO平分∠AEB；

（2）猜想线段OE与EB、EA之间的数量关系为　　（直接写出结果，不要写出证明过程）；

（3）过点C作CF⊥EB于F，过点D作DH⊥EA于H，CF和DH的反向延长线交于点G（如图2），求证：

四边形EFGH为正方形．

16．教材呈现：

如图是华师版八年级下册数学教材第111页的部分内容．

问题解决：

请结合图①，写出例1的完整解答过程．

问题探究：

在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝4，∠BAD＝2∠ABC．过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E．

（1）如图②，连结OE，则OE的长为　　．

（2）如图③，若点P是对角线BD上的一个动点，连结PC、PE，则PC+PE的最小值为　　．

17．在平行四边形ABCD中，AC为对角线，AE⊥CD，点G，F分别为AB，BC边上的点，连接FG，AF，AF平分∠GFC．

（1）如图①，若FG⊥AB，且AG＝6，AE＝5，sinB＝，求平行四边形ABCD的面积．

（2）如图②，若∠AGF﹣∠ACB＝∠CAE，过F作FH⊥FG交AC于H，求证：

AC+AH＝AF．

参考答案

1．解：

（1）答：

PD+PE+PF＝AB．

证明如下：

∵点P在BC上，

∴PD＝0，

∵PE∥AC，PF∥AB，

∴四边形PFAE是平行四边形，

∴PF＝AE，

∵PE∥AC，

∴∠BPE＝∠C，

∴∠B＝∠BPE，

∴PE＝BE，

∴PE+PF＝BE+AE＝AB，

∵PD＝0，

∴PD+PE+PF＝AB，

故答案为：

PD+PE+PF＝AB；

（2）如图2，结论成立：

PD+PE+PF＝AB．

证明：

过点P作MN∥BC分别交AB，AC于M，N两点，

∵PE∥AC，PF∥AB，

∴四边形AEPF是平行四边形，

∵MN∥BC，PF∥AB，

∴四边形BDPM是平行四边形，

∴AE＝PF，∠EPM＝∠ANM＝∠C，

∵AB＝AC，

∴∠EMP＝∠B，

∴∠EMP＝∠EPM，

∴PE＝EM，

∴PE+PF＝AE+EM＝AM．

∵四边形BDPM是平行四边形，

∴MB＝PD．

∴PD+PE+PF＝MB+AM＝AB，

即PD+PE+PF＝AB；

（3）如图3，过点P作MN∥BC分别交AB、AC延长线于M、N两点．

∵PE∥AC，PF∥AB，

∴四边形PEAF是平行四边形，

∴PF＝AE，

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∵MN∥BC，

∴∠ANM＝∠C＝∠B＝∠AMN，

∵PE∥AC，

∴∠EPM＝∠FNP，

∴∠AMN＝∠FPN，

∴∠EPM＝∠EMP，

∴PE＝ME，

∵AE+ME＝AM，

∴PE+PF＝AM，

∵MN∥CB，DF∥AB，

∴四边形BDPM是平行四边形，

∴MB＝PD，

∴PE+PF﹣PD＝AM﹣MB＝AB，

∴PE+PF＝AB+PD＝6+1＝7，

∴平行四边形PEAF的周长＝14，

故答案为：

14．

2．解：

（1）令等边三角形三边的长度为a，

则a2+a2＝2a2，符合奇异三角形的概念，

∴“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题；

故答案为：

真；

（