全国初中数学联合竞赛试题及答案详解.docx
《全国初中数学联合竞赛试题及答案详解.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《全国初中数学联合竞赛试题及答案详解.docx（14页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
全国初中数学联合竞赛试题及答案详解
2016年全国初中数学联合竞赛试题
第一试
（3月20日上午8:
30-9:
30）
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
（本题共有6个小题，每题均给出了代号为A,B,C,D的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.）
1.用表示不超过的最大整数，把称为的小数部分.已知，是的小数部分，是的小数部分，则（）
2.三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，那么不同的购书方案有（）
种种种种
3（A）.如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如：
和均为“和谐数”.那么，不超过的正整数中，所有的“和谐数”之和为（）
3（B）.已知二次函数的图象的顶点在第二象限，且过点.当为整数时，（）
4.已知的半径垂直于弦,交于点，连接并延长交于点,若,则的面积为（）
5.如图，在四边形中，，,,对角线的交点为，则（）
6.设实数满足则的最大值为（）
二、填空题（本题满分28分，每小题7分）
（本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上.）
1.【1（A）、2（B）】已知的顶点、在反比例函数（）的图象上，,,轴，点在点的上方，且则点的坐标为.
1（B）.已知的最大边上的高线和中线恰好把三等分，,则.
2（A）.在四边形中，∥,平分,为对角线的交点，则.
3.【3（A）、4（B）】有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍，这个六位数是.
3（B）.若质数、满足：
则的最大值为.
4（A）.将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和，设这5个和的最小值为,则的最大值为.
第二试
（3月20日上午9:
50—11:
20）
一、（本题满分20分）
已知为正整数，求能取到的最小正整数值.
二、（本题满分25分）
（A）.如图，点在以为直径的上，于点,点在上，四边形是正方形，的延长线与交于点.证明:
.
（B）.已知：
求的值.
三、（本题满分25分）
（A）.已知正实数满足：
且
.
（1）求的值.
（2）证明:
.
（B）.如图，在等腰中,为边上异于中点的点，点关于直线的对称点为点,的延长线与的延长线交于点求的值.
2016年全国初中数学联合竞赛试题及详解
第一试
（3月20日上午8:
30-9:
30）
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
（本题共有6个小题，每题均给出了代号为A,B,C,D的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.）
1.用表示不超过的最大整数，把称为的小数部分.已知，是的小数部分，是的小数部分，则（）
【答案】.
【解析】即
又故选A.
2.三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，那么不同的购书方案有（）
种种种种
【答案】C.
【解析】设购买三种图书的数量分别为则，
即，解得依题意得，为自然数（非负整数），
故有种可能的取值（分别为，对于每一个值，和都有唯一的值（自然数）相对应.即不同的购书方案共有11种，故选C.
3（A）.如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如：
和均为“和谐数”.那么，不超过的正整数中，所有的“和谐数”之和为（）
【答案】B.
【解析】
（其中为非负整数），由得，
，即得所有不超过2016的“和谐数”，它们的和为
故选B.
3（B）.已知二次函数的图象的顶点在第二象限，且过点.当为整数时，（）
【答案】B.
【解析】依题意知故且，
，于是
又为整数，故，故选B.
4.已知的半径垂直于弦,交于点，连接并延长交于点,若,则的面积为（）
【解析】设则
于
在中，
即解得，即（第4题答案图）
为的中位线，是的直径，
故选A.
5.如图，在四边形中，，,,对角线的交点为，则（）
（第5题答案图）
【答案】D.
【解析】过点作于点则～设则
在中，则
显然，化简整理得
解得（不符合题意，舍去），故
在中，,故选D.
6.设实数满足则的最大值为（）
【答案】C.
【解析】
当且仅当时，取等号，故，故选C.
二、填空题（本题满分28分，每小题7分）
（本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上.）
1.【1（A）、2（B）】已知的顶点、在反比例函数（）的图象上，,,轴，点在点的上方，且则点的坐标为.
【答案】.
【解析】如图，过点作于点.
在中，
在中，（第1题答案图）
设，
依题意知故，于是
解得，故点的坐标为.
1（B）.已知的最大边上的高线和中线恰好把三等分，,则.
【答案】.
【解析】
（第1题答案图1）（第1题答案图2）
依题意得,故.
（1）若时，如答案图1所示，≌
又平分在中，即
从而.
在中，
在中，.
（2）若时，如答案图2所示.同理可得.综上所述，.
2（A）.在四边形中，∥,平分,为对角线的交点，则.
【答案】.
【解析】设,
平分,,
∥,,（第2题答案图）
,,
,
解得，,
故.
3.【3（A）、4（B）】有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍，这个六位数是.
【答案】.
【解析】设两个三位数分别为，则，①
故是的正整数倍，不妨设（为正整数），代入①得是三位数，，解得
为正整数，的可能取值为验证可知，只有符合，此时
故所求的六位数为.
3（B）.若质数、满足：
则的最大值为.
【答案】.
【解析】由得，
因为质数，故的值随着质数的增大而增大，当且仅当取得最大值时，取得最大值.
又，，因为质数，故的可能取值为
，但时，不是质数，舍去.
当时,恰为质数.故.
4（A）.将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和，设这5个和的最小值为,则的最大值为.
【答案】
【解析】（依据5个1分布的列数的不同情形进行讨论,确定的最大值.
（1）若5个1分布在同一列，则；
（2）若5个1分布在两列中，则由题意知这两列中出现的最大数至多为3，故
故;
（3）若5个1分布在三列中，则由题意知这三列中出现的最大数至多为3，故
故;
（4）若5个1分布在至少四列中，则其中某一列至少有一个数大于3，这与已知矛盾.
综上所述，
另一方面，如下表的例子说明可以取到10.故的最大值为
1
1
1
4
5
1
1
2
4
5
2
2
2
4
5
3
3
2
4
5
3
3
3
4
5
第二试
（3月20日上午9:
50—11:
20）
一、（本题满分20分）
已知为正整数，求能取到的最小正整数值.
【解析】解：
因为正整数，要使得的值为正整数，则有.
当时，只能为1，此时故能取到的最小正整数值不超过4.
当时，只能为1或2.若;若，则.
当时，只能为1或2或3.若;若;若则.
（下面考虑：
的值能否为1？
）
（反证法）假设，则，即，
①
因为正整数，故为奇数，从而为奇数，为偶数，
不妨设，其中均为正整数，则
即被除所得余数为3，而被4除所得余数为1，
故①式不可能成立，故.因此，能取到的最小正整数值为2.
二、（本题满分25分）
（A）.如图，点在以为直径的上，于点,点在上，四边形是正方形，的延长线与交于点.证明:
.
（第2（A）题答案图）
【证明】：
连接、为的直径，于点
由四边形是正方形及于点可知:
点在上，
以点为圆心、为半径作与直线交于另一点,则与切于点,即是的切线，直线是的割线，故由切割线定理得
即点与点重合，点在上，.
（注：
上述最后一段得证明用了“同一法”）
（B）.已知：
求的值.
【解析】由已知得
由恒等式得，
又
同理可得
∴原式=
【注：
恒等式】
三、（本题满分25分）
（A）.已知正实数满足：
且
.
（3）求的值.
（4）证明:
.
【解析】
（1）解：
由等式，
去分母得，
，
，，
，原式=
（2）证明：
由
（1）得计算过程知，又为正实数,
∴.
【注：
】
（B）.如图，在等腰中,为边上异于中点的点，点关于直线的对称点为点,的延长线与的延长线交于点求的值.
（第3（B）题答案图）
【解析】如图，连接,则
点关于直线的对称点为点,
四点共圆,（同弧所对得圆周角相等）
四点共圆，
（注：
若共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆，也可以说成：
若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆）
升级会员 