版高考数学理科一轮设计第13章教师用书人教A版.docx

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版高考数学理科一轮设计第13章教师用书人教A版

2018版高考数学理科一轮设计：

第1~3章教师用书（人教A版）

第1讲　集　合

最新考纲　1了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题；2理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义；3理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用韦恩（Venn）图表达集合间的基本关系及集合的基本运算知识梳理

1元素与集合

（1）集合中元素的三个特性：

确定性、互异性、无序性

（2）元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉

（3）集合的三种表示方法：

列举法、描述法、图示法

2集合间的基本关系

（1）子集：

若对任意x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A

（2）真子集：

若A⊆B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则AB或BA

（3）相等：

若A⊆B，且B⊆A，则A＝B

（4）空集的性质：

∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集

3集合的基本运算

集合的并集集合的交集集合的补集

符号表示A∪BA∩B若全集为U，则集合A的补集为ͦUA

图形表示

集合表示{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x∉A}

4集合关系与运算的常用结论

（1）若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个

（2）子集的传递性：

A⊆B，B⊆ͤA⊆

（3）A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B

（4）ͦU（A∩B）＝（ͦUA）∪（ͦUB），ͦU（A∪B）＝（ͦUA）∩（ͦUB）

诊断自测

1判断正误（在括号内打“√”或“×”）　精彩PPT展示

（1）任何集合都有两个子集（　　）

（2）已知集合A＝{x|＝x2}，B＝{|＝x2}，＝{（x，）|＝x2}，则A＝B＝（　　）

（3）若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1（　　）

（4）若A∩B＝A∩，则B＝（　　）

解析　

（1）错误空集只有一个子集，就是它本身，故该说法是错误的

（2）错误集合A是函数＝x2的定义域，即A＝（－∞，＋∞）；集合B是函数＝x2的值域，即B＝[0，＋∞）；集合是抛物线＝x2上的点集因此A，B，不相等

（3）错误当x＝1，不满足互异性

（4）错误当A＝∅时，B，可为任意集合

答案　

（1）×　

（2）×　（3）×　（4）×

2（必修1P7练习2改编）若集合A＝{x∈N|x≤10}，a＝22，则下列结论正确的是（　　）

A{a}⊆ABa⊆A{a}∈ADa∉A

解析　由题意知A＝{0，1，2，3}，由a＝22，知a∉A

答案　D

3（2016•全国Ⅰ卷）设集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，则A∩B＝________

A－3，－32B－3，32

1，32D32，3

解析　易知A＝（1，3），B＝32，＋∞，所以A∩B＝32，3

答案　D

4（2017•石家庄模拟）设全集U＝{x|x∈N*，x<6}，集合A＝{1，3}，B＝{3，}，则ͦU（A∪B）等于（　　）

A{1，4}B{1，}

{2，}D{2，4}

解析　由题意得A∪B＝{1，3}∪{3，}＝{1，3，}又U＝{1，2，3，4，}，∴ͦU（A∪B）＝{2，4}

答案　D

已知集合A＝{（x，）|x，∈R，且x2＋2＝1}，B＝{（x，）|x，∈R，且＝x}，则A∩B的元素个数为________

解析　集合A表示圆心在原点的单位圆，集合B表示直线＝x，易知直线＝x和圆x2＋2＝1相交，且有2个交点，故A∩B中有2个元素

答案　2考点一　集合的基本概念

【例1】

（1）已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－|x∈A，∈A}中元素的个数是（　　）

A1B3D9

（2）若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝（　　）

A92B980D0或98

解析　

（1）当x＝0，＝0，1，2时，x－＝0，－1，－2；

当x＝1，＝0，1，2时，x－＝1，0，－1；

当x＝2，＝0，1，2时，x－＝2，1，0

根据集合中元素的互异性可知，B的元素为－2，－1，0，1，2，共个

（2）若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根

当a＝0时，x＝23，符合题意；

当a≠0时，由Δ＝（－3）2－8a＝0，得a＝98，

所以a的取值为0或98

答案　

（1）　

（2）D

规律方法　

（1）第

（1）题易忽视集合中元素的互异性误选D第

（2）题集合A中只有一个元素，要分a＝0与a≠0两种情况进行讨论，此题易忽视a＝0的情形

（2）用描述法表示集合，先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合

【训练1】

（1）设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝0，ba，b，则b－a＝________

（2）已知集合A＝{x∈R|ax2＋3x－2＝0}，若A＝∅，则实数a的取值范围为________

解析　

（1）因为{1，a＋b，a}＝0，ba，b，a≠0，

所以a＋b＝0，且b＝1，

所以a＝－1，b＝1，所以b－a＝2

（2）由A＝∅知方程ax2＋3x－2＝0无实根，

当a＝0时，x＝23不合题意，舍去；

当a≠0时，Δ＝9＋8a<0，∴a<－98

答案　

（1）2　

（2）－∞，－98

考点二　集合间的基本关系

【例2】

（1）已知集合A＝{x|＝1－x2，x∈R}，B＝{x|x＝2，∈A}，则（　　）

AABBBAA⊆BDB＝A

（2）已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|＋1<x<2－1}，若B⊆A，则实数的取值范围是________

解析　

（1）易知A＝{x|－1≤x≤1}，

所以B＝{x|x＝2，∈A}＝{x|0≤x≤1}

因此BA

（2）当B＝∅时，有＋1≥2－1，则≤2

当B≠∅时，若B⊆A，如图

则＋1≥－2，2－1≤7，＋1<2－1，

解得2<≤4

综上，的取值范围为（－∞，4]

答案　

（1）B　

（2）（－∞，4]

规律方法　

（1）若B⊆A，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论

（2）已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图，化抽象为直观进行求解

【训练2】

（1）（2017•长郡中学质检）若集合A＝{x|x>0}，且B⊆A，则集合B可能是（　　）

A{1，2}B{x|x≤1}

{－1，0，1}DR

（2）（2016•郑州调研）已知集合A＝{x|x＝x2－2，x∈R}，B＝{1，}，若A⊆B，则的值为（　　）

A2B－1

－1或2D2或2

解析　

（1）因为A＝{x|x＞0}，且B⊆A，再根据选项A，B，，D可知选项A正确

（2）由x＝x2－2，得x＝2，则A＝{2}

因为B＝{1，}且A⊆B，

所以＝2

答案　

（1）A　

（2）A

考点三　集合的基本运算

【例3】

（1）（201•全国Ⅰ卷）已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为（　　）

AB4

3D2

（2）（2016•浙江卷）设集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪（ͦRQ）＝（　　）

A[2，3]B（－2，3]

[1，2）D（－∞，－2）∪[1，＋∞）

解析　

（1）集合A中元素满足x＝3n＋2，n∈N，即被3除余2，而集合B中满足这一要求的元素只有8和14共2个元素

（2）易知Q＝{x|x≥2或x≤－2}

∴ͦRQ＝{x|－2<x<2}，

又P＝{x|1≤x≤3}，故P∪（ͦRQ）＝{x|－2<x≤3}

答案　

（1）D　

（2）B

规律方法　

（1）在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化

（2）一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍

【训练3】

（1）（2017•石家庄模拟）设集合＝{－1，1}，N＝{x|x2－x<6}，则下列结论正确的是（　　）

AN⊆BN∩＝∅

⊆ND∩N＝R

（2）（2016•东卷）设集合U＝{1，2，3，4，，6}，A＝{1，3，}，B＝{3，4，}，则ͦU（A∪B）＝（　　）

A{2，6}B{3，6}

{1，3，4，}D{1，2，4，6}

解析　

（1）易知N＝（－2，3），且＝{－1，1}，∴⊆N

（2）∵A＝{1，3，}，B＝{3，4，}，∴A∪B＝{1，3，4，}，

又全集U＝{1，2，3，4，，6}，因此ͦU（A∪B）＝{2，6}

答案　

（1）　

（2）A[思想方法]

1集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到解题后要进行检验，要重视符号语言与字语言之间的相互转化

2对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号能否取到

3对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图这是数形结合思想的又一体现

[易错防范]

1集合问题解题中要认清集合中元素的属性（是数集、点集还是其他类型集合），要对集合进行化简

2空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解

3解题时注意区分两大关系：

一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系

4Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心基础巩固题组

（建议用时：

2分钟）

一、选择题

1（201•全国Ⅱ卷）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，则（　　）

AA＝BBA∩B＝∅

ABDBA

解析　∵A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，∴2，3∈A且2，3∈B，1∈A但1∉B，∴BA

答案　D

2（2016•全国Ⅱ卷）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|（x＋1）•（x－2）<0，x∈Z}，则A∪B＝（　　）

A{1}B{1，2}

{0，1，2，3}D{－1，0，1，2，3}

解析　由（x＋1）（x－2）<0，得－1<x<2，又x∈Z，所以B＝{0，1}，因此A∪B＝{0，1，2，3}

答案　

3（2017•肇庆模拟）已知集合A＝{x|lgx>0}，B＝{x|x≤1}，则（　　）

AA∩B≠∅BA∪B＝RB⊆ADA⊆B

解析　由B＝{x|x≤1}，且A＝{x|lgx>0}＝（1，＋∞），∴A∪B＝R

答案　B

4已知集合P＝{x|x2≤1}，＝{a}若P∪＝P，则a的取值范围是（　　）

A（－∞，－1]B[1，＋∞）

[－1，1]D（－∞，－1]∪[1，＋∞）

解析　因为P∪＝P，所以⊆P，即a∈P，

得a2≤1，解得－1≤a≤1，所以a的取值范围是[－1，1]

答案　

（2016•东卷）设集合A＝{|＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，则A∪B＝（　　）

A（－1，1）B（0，1）

（－1，＋∞）D（0，＋∞）

解析　由＝2x，x∈R，知>0，则A＝（0，＋∞）

又B＝{x|x2－1<0}＝（－1，1）

因此A∪B＝（－1，＋∞）

答案　

6（2016•浙江卷）已知全集U＝{1，2，3，4，，6}，集合P＝{1，3，}，Q＝{1，2，4}，则（ͦUP）∪Q＝（　　）

A{1}B{3，}

{1，2，4，6}D{1，2，3，4，}

解析　∵U＝{1，2，3，4，，6}，P＝{1，3，}，∴ͦUP＝{2，4，6}，∵Q＝{1，2，4}，∴（ͦUP）∪Q＝{1，2，4，6}

答案　

7若x∈A，则1x∈A，就称A是伙伴关系集合，集合＝－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是（　　）

A1B3

7D31

解析　具有伙伴关系的元素组是－1，12，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：

{－1}，12，2，－1，12，2

答案　B

8已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合ͦU（A∪B）＝（　　）

A{x|x≥0}B{x|x≤1}

{x|0≤x≤1}D{x|0<x<1}

解析　∵A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，

∴A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，在数轴上表示如图

∴ͦU（A∪B）＝{x|0<x<1}

答案　D

二、填空题

9已知集合A＝{x|x2－2x＋a>0}，且1∉A，则实数a的取值范围是________

解析　∵1∉{x|x2－2x＋a>0}，

∴1∈{x|x2－2x＋a≤0}，

即1－2＋a≤0，∴a≤1

答案　（－∞，1]

10（2016•天津卷）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{|＝2x－1，x∈A}，则A∩B＝________

解析　由A＝{1，2，3}，B＝{|＝2x－1，x∈A}，∴B＝{1，3，}，因此A∩B＝{1，3}

答案　{1，3}

11集合A＝{x|x<0}，B＝{x|＝lg[x（x＋1）]}，若A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，则A－B＝________

解析　由x（x＋1）>0，得x<－1或x>0，

∴B＝（－∞，－1）∪（0，＋∞），

∴A－B＝[－1，0）

答案　[－1，0）

12（2017•石家庄质检）已知集合A＝{x|x2－2016x－2017≤0}，B＝{x|x<＋1}，若A⊆B，则实数的取值范围是________

解析　由x2－2016x－2017≤0，得A＝[－1，2017]，

又B＝{x|x<＋1}，且A⊆B，

所以＋1>2017，则>2016

答案　（2016，＋∞）

能力提升题组

（建议用时：

10分钟）

13（2016•全国Ⅲ卷改编）设集合S＝{x|（x－2）（x－3）≥0}，T＝{x|x>0}，则（ͦRS）∩T＝（　　）

A[2，3]B（－∞，－2）∪[3，＋∞）

（2，3）D（0，＋∞）

解析　易知S＝（－∞，2]∪[3，＋∞），∴ͦRS＝（2，3），

因此（ͦRS）∩T＝（2，3）

答案　

14（2016•黄模拟）集合U＝R，A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|＝ln（1－x）}，则图中阴影部分所表示的集合是（　　）

A{x|x≥1}B{x|1≤x<2}

{x|0<x≤1}D{x|x≤1}

解析　易知A＝（－1，2），B＝（－∞，1），∴ͦUB＝[1，＋∞），A∩（ͦUB）＝[1，2）因此阴影部分表示的集合为A∩（ͦUB）＝{x|1≤x<2}

答案　B

1（2017•南昌十所省重点中学模拟）设集合A＝x∈N|14≤2x≤16，B＝{x|＝ln（x2－3x）}，则A∩B中元素的个数是________

解析　由14≤2x≤16，x∈N，

∴x＝0，1，2，3，4，即A＝{0，1，2，3，4}

又x2－3x>0，知B＝{x|x>3或x<0}，

∴A∩B＝{4}，即A∩B中只有一个元素

答案　1

16已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|（x－）（x－2）<0}，且A∩B＝（－1，n），则＋n＝________

解析　A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－<x<1}，

由A∩B＝（－1，n）可知<1，

则B＝{x|<x<2}，画出数轴，可得＝－1，n＝1所以＋n＝0

答案　0

第2讲　命题及其关系、充分条与必要条

最新考纲　1理解命题的概念，了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；2理解必要条、充分条与充要条的含义知识梳理

1命题

用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题

2四种命题及其相互关系

（1）四种命题间的相互关系

（2）四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性

②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系

3充分条、必要条与充要条的概念

若pͤq，则p是q的充分条，q是p的必要条

p是q的充分不必要条pͤq且qp

p是q的必要不充分条p且qͤp

p是q的充要条p⇔q

p是q的既不充分也不必要条pq且qp

诊断自测

1判断正误（在括号内打“√”或“×”）　精彩PPT展示

（1）“x2＋2x－3<0”是命题（　　）

（2）命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”（　　）

（3）当q是p的必要条时，p是q的充分条（　　）

（4）“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”（　　）

解析　

（1）错误该语句不能判断真假，故该说法是错误的

（2）错误否命题既否定条，又否定结论

答案　

（1）×　

（2）×　（3）√　（4）√

2（教材练习改编）命题“若α＝π4，则tanα＝1”的逆否命题是（　　）

A若α≠π4，则tanα≠1B若α＝π4，则tanα≠1

若tanα≠1，则α≠π4D若tanα≠1，则α＝π4

解析　命题“若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则綈p”，显然綈q：

tanα≠1，綈p：

α≠π4，所以该命题的逆否命题是“若tanα≠1，则α≠π4”

答案　

3（2016•天津卷）设x>0，∈R，则“x>”是“x>||”的（　　）

A充要条B充分不必要条

必要不充分条D既不充分也不必要条

解析　x>x>||（如x＝1，＝－2）

但x>||时，能有x>

∴“x>”是“x>||”的必要不充分条

答案　

4命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为（　　）

A1B23D4

解析　原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若a>－6，则a>－3”是假命题，从而其否命题也是假命题因此四个命题中有2个假命题

答案　B

（2017•大连双基检测）已知函数f（x）的定义域为R，则命题p：

“函数f（x）为偶函数”是命题q：

“∃x0∈R，f（x0）＝f（－x0）”的（　　）

A充分不必要条B必要不充分条

充要条D既不充分也不必要条

解析　若f（x）为偶函数，则有f（x）＝f（－x），所以pͤq；若f（x）＝x，当x＝0时，f（0）＝f（－0），而f（x）＝x为奇函数，所以qp

∴“命题p”是“命题q”的充分不必要条

答案　A考点一　四种命题的关系及其真假判断

【例1】

（1）命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为（　　）

A“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为真命题

B“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为真命题

“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为假命题

D“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为假命题

（2）原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（　　）

A真、假、真B假、假、真

真、真、假D假、假、假

解析　

（1）根据逆否命题的定义可以排除A，D；由x2－3x－4＝0，得x＝4或－1，所以原命题为假命题，所以其逆否命题也是假命题

（2）由共轭复数的性质，|z1|＝|z2|，∴原命题为真，因此其逆否命题为真；取z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但是z1，z2不互为共轭复数，∴其逆命题为假，故其否命题也为假

答案　

（1）　

（2）B

规律方法　

（1）由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条和结论，如果命题不是“若p，则q”的形式，应先改写成“若p，则q”的形式；如果命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提不变

（2）判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例

（3）根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假

【训练1】已知：

命题“若函数f（x）＝ex－x在（0，＋∞）上是增函数，则≤1”，则下列结论正确的是（　　）

A否命题是“若函数f（x）＝ex－x在（0，＋∞）上是减函数，则＞1”，是真命题

B逆命题是“若≤1，则函数f（x）＝ex－x在（0，＋∞）上是增函数”，是假命题

逆否命题是“若＞1，则函数f（x）＝ex－x在（0，＋∞）上是减函数”，是真命题

D逆否命题是“若＞1，则函数f（x）＝ex－x在（0，＋∞）上不是增函数”，是真命题

解析　由f（x）＝ex－x在（0，＋∞）上是增函数，则f′（x）＝ex－≥0恒成立，

∴≤1

因此原命题是真命题，所以其逆否命题“若＞1，则函数f（x）＝ex－x在（0，＋∞）上不是增函数”是真命题

答案　D