最新人教版选修23高二数学12 1 加法原理乘法原理以及排列组合的概念教学设计.docx
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最新人教版选修23高二数学121加法原理乘法原理以及排列组合的概念教学设计
教学目标
1正确理解排列、组合的意义.
2掌握写出所有排列、所有组合的方法,加深对分类讨论方法的理解.
3发展生的抽象能力和逻辑思维能力.
教重点与难点
重点:
正确理解两个原理(加法原理、乘法原理)以及排列、组合的概念.
难点:
区别排列与组合.
教过程设计
师:
上节课我们习了两个基本原理,请大家完成以下两题的练习:
(用投影仪出示)
1书架上层放着50本不同的社会书,下层放着40本不同的自然的书.
(1)从中任取1本,有多少种取法?
(2)从中任取社会书与自然书各1本,有多少种不同的取法?
2某农场为了考察三个外地优良品种A,B,C,计划在甲、乙、丙、丁、戊共五种类型的上地上分别进行引种试验,问共需安排多少个试验小区?
(全体同参加笔试练习.)
4分钟后,找一同谈解答和怎样思考的?
生:
第1
(1)小题从书架上任取1本书,有两类办法,第一类办法是从上层取社会书,可以从50本中任取1本,有50种方法;第二类办法是从下层取自然书,可以从40本中任取1本,有40种方法.根据加法原理,得到不同的取法种数是50+40=90.第
(2)小题从书架上取社会、自然书各1本(共取出2本),可以分两个步骤完成:
第一步取一本社会书,第二步取一本自然书,根据乘法原理,得到不同的取法种数是:
50×40=2000.第2题说,共有A,B,C三种优良品种,而每个品种在甲类型土地上实验有三个小区,在乙类型的土地上有三个小区……所以共需3×5=15个实验小区.
师:
习了两个基本原理之后,继续习排列和组合,什么是排列?
什么是组合?
这两个问题有什么区别和联系?
这是我们讨论的重点.先从实例入手:
1北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线,需要准备多少种不同飞机票?
希望同们设计好方案,踊跃发言.
生甲:
首先确定起点站,如果
北京是起点站,终点站是上海或广州,需要制2种飞机票,若起点站是上海,终点站是北京或广州,又需制2种飞机票;若起点站是广州,终点站是北京或上海,又需要2种飞机票,共需要2+2+2=6种飞机票.
师:
生甲用加法原理解决了准备多少种飞机票问题.能不能用乘法原理设计方案呢?
生乙:
首先确定起点站,在三个站中,任选一个站为起点站,有3种方法.即北京、上海、广泛任意一个城市为起点站,当选定起点站后,再确定终点站,由于已经选了起点站,终点站只能在其余两个站去选.那么,根据乘法原理,在三个民航站中,每次取两个,按起点站在前、终点站在后的顺序排列不同方法共有3×2=6种.
师:
根据生乙的分析写出所有种飞机票.
生丙:
(板演)
在航海中,船舰常以“旗语”相互联系,即利用不同颜色的旗子发送出各种不同的信号.如有红、黄、绿三面不同颜色的旗子,按一定顺序同时升起表示一定的信号,问这样总共可以表示出多少种不同的信号?
请同们谈谈自己的想法.
生丁:
事实上,红、黄、绿三面旗子按一定顺序的一个排法表示一种信号,所以不同颜色的同时升起可以表示出的信号种数,也就是红、黄、红这三面旗子的所有不同顺序的排法总数.
首先,先确定最高位置的旗子,在红、黄、绿这三面旗子中任取一个,有3种方法;
其次,确定中间位置的旗子,当最高位置确
定之后,中间位置的旗子只能从余下的两面旗中去取,有2种方法.
乘下那面旗子,放在最低位置.[][]
根据乘法原理,用红、黄、绿这三面旗子同时升起表示出所有信号种数是:
3×2×1=6(种).
师:
根据生丁同的分析,写出三面旗子同时升起表示信号的所有情况.(包括每个位置情况)
生戊:
(板演)
师:
第三个实例,请全体同都参加设计,把所有情况(包括每个位置情况)写出.
由数字1,2,3,4可以组成多少个没有重复数字的三位数?
写出这些所有的三位数.
(教师在教室巡视,过3分钟找一个同板演)
根据乘法原理,从四个不同的数字中,每次取出三个排成三位数的方法共有
4×3×2=24(个).
师:
请板演同谈谈怎样想的?
生:
第一步,先确定百位上的数字.在1,2,3,4这四个数字
中任取一个,有4种
取法.第二步,确定十位
上的数字.当百位上的数字确定以后,十位上的数字只能从余下的三个数字去取,有3种方法.
第三步,确定个位上的数字.当百位、十位上的数字都确定以后,个位上的数字只能从余下的两个数字中去取,有2种方法.
根据乘法原理,所以共有4×3×2=24种.
师:
以上我们讨论了三个实例,这三个问题有什么共同的地方?
生:
都是从一些研究的对象之中取出某些研究的对象.
师:
取出的这些研究对象又做些什么?
生:
实质上按着顺序排成一排,交换不同的位置就是不同的情况.
师:
请大家看书,第×页、第×行.我们把被取的对象叫做双元素,如上面问题中的民航站、旗子、数字都是元素.
上面第一个问题就是从3个不同的元素中,任取2个,然后按一定顺序排成一列,求一共有多少种不同的排法,后又写出所有排法.第二个问题,就是从3个不同元素中,取出3个,然后按一定顺序排成一列,求一共有多少排法和写出所有排法.第三个问题呢?
生:
从4个不同的元
素中,任取3个,然后按一定的顺序排成一列,求一共有多少种不同的排法,并写出所有的排法.
师:
请看课本,第×页,第×行,一般地说,从个不同的元素中,任取m(m≤)个元素(本章只研究被取出的元素各不相同的情况),按着一定的顺序排成一列,叫做从个不同元素中取出m个元素的一个排列.
按着这个定义,结合上面的问题,请同们谈谈什么是相同的排列?
什么是不同的排列?
生:
从排列的定义知道,如果两个排列相同,不仅这两上排列的元素必须完全相同,而且排列的顺序(即元素所在的位置)也必须相同.两个条件中,只要有一个条件不符合,就是不同的排列.
如第一个问题中,北京—广州,上海—广州是两上排列,第三个问题中,213与423也是两个排列.
再如第一个问题中,北京—广州,广州—北京;第二个问题中,红黄绿与红绿黄;第三个问题中231和213虽然元素完全相同,但排列顺序不同,也是两个排列.
师:
还需要搞清楚一个问题,“一个排列”是不是一个数?
生:
“一个排列”不应当是一个数,而应当指一件具体的事.如飞机票“北京—广州”是一个排列,“红黄绿”是一种信号,也是一个排列.如果问飞机票有多少种?
能表示出多少种信号.只问种数,不用把所有情况罗列出,才是一个数.前面提到的第三个问题,实质上也
是这样的.
师:
下面我们进一步讨论:
1在北京、上海、
广州三个民航站之间的直达航线,有多少种不同的飞机票价与准备多少种不同的飞机票,有什么区别?
2某
班某小组五名同在暑假互相都通信一次,打电话一次,通信的封数与打电话的次数是否一致?
3有四个质数2,3,5,7两两分别作加法、减法、乘法、除法,所得到的和、差、积、商是否相同?
生A:
我回答第1个问题.前边已经讨论过有要准备6种飞机票,但票价只有三种,北京—上海与上海—北京,北京—广州与广州—北京,上海—广州与广州—上海票价是一样的,共有3种票价.
生B:
我回答第2个问题.举个例子,张玉同给李刚同写信,李刚同给张玉同写信,这样两封信才算彼此通一次信.而两人通一次电话,无论是张玉打给李刚的,还是李刚打给张玉的,两个人都同时参与了,彼此通了一次电话.
师:
那么通了多少封信?
打了多少次电话?
生C:
五个人都要给其他四位同写信,5×4=20封.关于打电话次数,我现在数一数:
设五名同的代号是,b,c,d,.则—b,—c,—d,—,b—,b—d,b—,c—d,c—,d—.共十次.
生D:
我回答第3个问题.减法与除法所得的差和商个数是同一个数,因为被减数与减数,被除数与除数交换位置所得的差与商是不同的.加法与乘法所得的和与积个数是同一个数,根据加法、乘法交换律,被加数与加数,被乘数与乘数交换位置,和与积不受影响.
师:
有多少个差与商?
有多少个和与积?
生E:
2,3,5,7都可以做被减数和被除数,对于每一个被减数(或被除数)都对应着有3个数作减数(或除数),共有4×3=12个差或商.把交换位置的情况除去,就是和或积的数字,即12÷2=6.
师:
以上三个问题六件事,有什么共同点?
再按类分,类与类之间有什么区别?
区别在哪里?
生:
都是从一些元素中,任取某些元素的问题.
可以分两类.一类属于前边过的排列问题,即取出的元素要“按照一定的顺序排成一列”,只要交换位置,就是不同的排列.前边三个问题中的飞机票、通信封数、减法与除法运算的结果都属于这一类.另一类是取出的元素,不必管顺序,只有取不同元素时,才是不同的情况,如飞机票价,打电话次数、加法与乘法运算的结果都属于这一类.
师:
分析得很好,我们说后一类问题是从个元素中任取m(m≤)个元素,不管怎样的顺序并成一组,求一共有多少种不同的组.如以上三个问题中飞机票价题是3组,打电话次数题是10组,和与积的个数题都是6组.
请同们看课本,第×页第×行开始到第×页第×行结束.
(用5分钟时间生读课本,教师巡视,回答生提出的问题)
师:
组合这一节讲的主要内容是什么?
生:
组合定义;什么是相同的组合,什么是不同的组合;排列与组合的区别;怎样写出某个组合问题的所有组合.
师:
现在请同们回答这四个问题.每位同只说一个问题
.
生F:
组合定义是从个不同的元素中,任取m(m≤)个元素并成一组,叫做从个不同元素中取出m个元素的一个组合.
生G:
如果两个组合中的元素完全相同,那么不管元素的顺序如何,都是相同的组合;只有当组合中的元素不完全相同时,才是不同的组合.
生H:
排列与元素的顺序有关,组合与顺序无关.如231与213是两个排列,2+3+1的和与2+1+3的和是一个组合.
生I:
我举个例子.前边生C同提到的,b,c,d,这五个元素,写出每次取出2个元素的所有组合.
先把从左到右依次与b,c,d,组合,写出b,c,d,.再把B依次与c,d,组合,写出bc,bd,b.再把c依次与d,组合,写出cd,c.最后d与组合,写出d.前面生C面已经写得很好.
师:
一定要认真体会排列与组合的区别在于顺序是否有关,在以后的各种实际应用题中要区别清楚才能寻找正确解题途径.
和排列一样,还需要区分清楚“
一个组合”和“组合种数”这两个概念.一个组合不是一个数,而是具体的一件事,刚才生I同回答的每一种如b,又如c,…都叫一个组合,共10种,而10就是组合
数.
怎样写出所有的排列和所有的组合是本节的技能方面要求,现在请同们写出由1,2,3,4中取出3个数所有组合.
(教师请生M到黑板板演)
板演:
123,124,134,234.
师:
最后希望大家思考,下面的问题是排列问题,还是组合问题?
怎样解?
1今欲从1,2,3,8,9,10,12诸数中选取两数,使其和为偶数,问共有几种选法?
2有四张卡片,每张分别写着数码1,2,3,4.有四个空箱,分别写
着号码1,2,3,4.把
卡片放到空箱内,每箱必须并且只能放一张,而且卡片数码与箱子号码必须不一致,问有多少种放法?
(两道题用投影仪示出)
同们独立思考几分钟,然后全班进行讨论,请思考成熟的同发言.
生:
我谈第1题.要求出用两个数码所组成的其和为偶数的数的个数,这时按两奇数的和为偶数与两偶数的和为偶数这一标准,进行分类.选出的两数不考虑顺序,因为交换位置其和不变,是组合问题.解法是:
在1,3,9中任选两段:
1,3;1,9;3,9有3个组合.
在2,8,10,12中任选两数:
2,8;2,10;2,12;8,10;8,12;10,12.有6个组合.根据加法原理,3+6=9.
所以共有9种选法.
生P:
我谈第2题.这是从四张卡片中取出4张,分别放在四个位置上,只要交换卡片位置,就是不同的放法,是个附有条件的排列问题.解法是:
第一步是把数码卡片四张中2,3,4三张任选一个放在第1空箱.
第二步从余下的三张卡片中任选符合条件的一张放在第2空箱.
第三步从余下的两张卡片中任选符合条件的一张放在第3空箱.
第四步把最后符合条件的一张放在第四空箱.具体排法,我用下面图表表示:
所以,共有9种放法.
师:
参加讨论的同对于什么是排列,什么是组合?
一个排列与排列种数,一个组合与组合种数区别是什么?
怎样排列,怎样组合都比较清楚了.由于排列组合问题遇到的情况不是唯一的,经常使用分类讨论的方法.
作业
课本:
P232练习,1,7;P243练习1,2,3,4,6.[]
补充作业
1空间有五个点,其中任何四点不共面,以每四个点为顶点作一个四面体,一共可作多少个四面体?
(5个)
2用0,2,3,5可以组成多少个数字不重复且被5整除的三位数?
(10个)
3同室四人各写一张贺年卡,先集中起,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡,则四张贺年卡不同的分配方式有多少种?
(9种)
课堂教设计说明
1温故才能知新,为了培养生良好的习习惯,习新课前进行了复习练习.
2为了更深刻地理解排列组合概念,设计教案时采取了两项有效措施.
(1)先给出排列、组合的感性认识,再抽象出排列、组合定义,利于生抽象能力的培养,并能激发生的习兴趣,积极参加习过程中.
(2)改变了教材的安排,把排列与组合的概念放在同一节课,既节约了课时又通过对比,更深刻理解排列与组合概念本质,掌握它们的共同点与不同点.
3教案设计中注意了生主体参与,通过生实践,掌握概念的形成过程和应用,从而培养能力,并注意训练生的自能力.