应力波复习资料修改.docx
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应力波复习资料修改
复习内容:
概念：
应力波；物质坐标，空间坐标，物质微商，空间微商，物质波速；特征线；强间断，弱间断，冲击波，波的弥散效应；层裂；弹性卸载假设；卸载边界；应变间断面；应力松弛；蠕变；粘性弥散；Hugoniot弹性极限；固体高压状态方程；冲击绝热线；
主要内容：
一、Lagrange方法推导一维应力纵波的波动方程。
X
X+dX
F（X+dx,t）,有
F（X,t）F（X,t）dX
F（XdX）
根据牛顿第二定律，有
v
oAodXF（X
dX）F（X,t）
解
在Lagrange坐标中建立图示一维应力波长度为dX的微元的受力图，截面X上作用有总力F（X,t）,截面X+dX上作用有总力
解之，有
v
0A0dXt
而F（X,t）A。
，故上式可以化为
（a）
对于一维应力纵波，（）
C
则d°C2d
代入（a）式,可得
（b）
c2
因为vu,
t
程：
——,代入（b）式，则得到了一维应力波在Lagrange坐标系中的波动方
X
22
u2Uc
2C20
t2X2
用方向导数法求下列偏微分方程组的特征方程和特征相容关系
v
（1）t（v
v0
xx
v2
v）c——0
xx
解:
对一阶偏微分方程组进行线性组合,
（vC2）——
X根据特征线求解方法，特征线特征方程为
①X入+②其中为待定系数,整理可得:
v）v
v0（a）
dx
（即
vc2
解之，得C，（为…’即特征线的微分方程为：
dx（v
c）dt
ddt
dt
值代入上式，可得特征线上的相容关系为
将其积分即可得到特征线方程。
由（a）式,整理有
—dv
—dv
c
v—
x
v
v-
x
（1）c2
解：
对一阶偏微分方程组进行线性组合
[v
（1）c2][（1
xt
根据特征线求解方法，特征线特征方程为
①X入+②，其中
为待定系数，整理可得:
vv
）v]0（a）
xt
2
（dx）v
（1）c（dt）
（1）
1
dv
dx
解之，得c,（和v（1
）C,即特征线的微分方程为：
dx
[v（1
）c]dt
将其积分即可得到特征线方程。
由（a）式,整理有
v
（1）c2
（1）
dv0
dtdt
值代入上式，可得特征线上的相容关系为：
d
dv
cd
对一阶偏微分方程组进行线性组合,①+
[vc2]-rt
根据特征线求解方法，特征线特征方程为
，其中
v）」
为待定系数，整理可得:
—2
t
0（a）r
（dt）v
解之，得?
（缶vc,
即特征线的微分方程为：
dr
（vc）dt
将其积分即可得到特征线方程。
由（a）式,整理有
[v
c2]—
r
dv2v
dtr
d
dt
值代入上式，可得特征线上的相容关系为：
2v
d—dvdt
cr
1_
C2
1
0X
为待定系数，整理可得:
解：
对一阶偏微分方程组进行线性组合,①+②X入，其中
X
t
20
0X0Ct
（a）
根据特征线求解方法，特征线特征方程为
严）
-0
（dt）
1
1°C2
1dX
解之,得，（）C,
，即特征线的微分方程为：
Cdt
dX
Cdt
将其积分即可得到特征线方程。
由（a）式,整理有
1
1
（-
）-
2
c20
x
t
0C
xt
即d0
dt0C2dt
将值代入上式，可得特征线上的相容关系为：
11
d2dd
0C2oC
三、用特征线法求解波的传播。
设半无限长弹性杆初始状态为（X,0）,v（X,0）v,（X,0）,t=0时刻杆左端
X=0处受到一冲击载荷,即边界条件为v（0,t）V0（）,用特征线法求解（X,t）平面上AOX
和Aot区域的物理量。
解：
严）
\g巧
/x
OA为经0（0,0）点作的右传波的特征线,将（X,t）平面划分为外加载荷产生的弹性波尚未到达的A0）区和弹性波已传到的Aot区。
对于弹性波，特征线和特征线上相容条件对应于：
dXC°dt
dvC0d
0C°dv
引入积分常数
Ki、K2后,可写成
右行波有:
Cot
Co
oCov
1
K1
X
左行波有：
v
Cot
Co
oCov
2
K2
（1）AOX区
在该区任一点P,作正向特征线沿着特征线PQ和PR分别有
PQ和负向特征线
PR,分别交0X轴于Q点和R点,
VPCoPVQ
VPCoPVR
Co
Co
0C0VP
0C0VP
0C0VQK1
0C0VRK2
vP
由
（1）
（2）可得:
1
2
2Co
（Vq
Vr）
Co（R
q）
（VrVq）Co（
P
由初始条件，有RQ,v（X,0）v,（X,0）,则可解得Vpv
p
由于P点位AO）区域中的任意点，因此该解适合用于整个AOX区。
⑵对于Aot区
该区任一点B,作正向特征线BC交Ot轴于C点，负向特征线BD,交OX轴于D点,再过C点作负向特征线CE交特征线OA于E点，沿着特征线BCBD和CE分别有
VB
C0B
vc
CoC
1
B
0C0VB
C0C0VC^1
Vb
C0B
Vd
CoD
2
B
0C0VB
D0C0VDk2；
Vc
CoC
Ve
C0E
3V
Co
C0C0VCE0C0VEk23
沿着特征线OA,其上各点与AOX区具有相同的参数值，即有
DE
VdVe
DE
此外,Vc由边界条件已给出
即VcVo（
）
于是可解得
vVo（）
BC
Co
VbVc
Vo（）
可以看出，在时刻，施加于杆端部的扰动Vo（）和c以Co的速度沿杆传播，并且
X
Co
沿着特征线BC,对应的参数值保持不变。
特征线BC的特征方程可表示为XCo（t）,则有
由于B点Aot区中任意选取的,那么,对于Aot区任意一点,其解为
VVo（t为
Co
Co
X
vVo（t）
Co
X
oCoVvo（t）
Co
四、波形曲线和时程曲线
一线性硬化材料半无限长杆Xo，应力应变关系如图所示，其中
3
EiooGPa,E!
E/25,Y2ooMPa,。
4g/cm。
在杆的左端X0处施加如图所示
的载荷。
（1）画出Xt图；
（2）画出tO.4ms时刻的波形曲线;
（3）画出X0.5m位置的时程曲线
Y
解：
半无限长杆中弹性波波速:
103m/s
10m/s，
时间tY0.1ms。
（图上把关键
点的坐标表示清楚，Xt图、波形图和时程图尽量画在一起）
02031.52;X（m）
t=04ms时的滾形柱线
報S®宦曲旨M0眞C-—E
五、弹性波的相互作用
处理原则：
在撞击面上作用力和反作用力；速度相等；
1相同材料弹性杆的共轴撞击图如图所示，作出X-t图和-v图,并确定其撞击结束时间及两杆脱开时间.（做ab）
Lo
Vi0
V38m/s
4v20Vi0
L0
解：
作图说明：
两弹性杆材料相同,故在X-t图中,由于两杆波速相等,同方向的特征线斜率相同；在-v状态图中同方向的波传播-v关系曲线斜率相同。
（a）
A
B
6
t
7
v
N
6
⑷1
4
4
5
M
3
3
3
1
2
o
2Lo
3杆
2杆
N
6
5
5
4
4
1
3
2
4
1杆
Lo
125
Lo
由波系图和v状态图可得，2杆和3杆撞击结束时间t壬，对应于M点,此
后,2杆和3杆都保持静止状态，但不相互脱离。
而1杆由于应力波在右端面的反射,
由波系图和v状态图可得，两杆撞击结束时间为t
卷，对应于M点，此时两
杆在撞击界面上质点速度均为0，此后一直到时间t昱°时（N点），两杆界面上质点
Co
保持静止，并未相互脱离。
而应力波在被撞击杆右端反射后，使该杆逐渐获得了正向
态的撞击杆脱离，向右飞出
（b）
Lt
—X
速度，当t卷时，被撞杆的左端面得介质速度由
0跃为v0,与早已处于静止状
2（5）（7）
*X
36v
（a?
解:
：
60109
〔2.4103
5000m/s，CB
72
ACA1.210Kg.s/m，
3.6
107Kg.s/m
ACA
8.33m/s，vYB
YB
BCB
6.67m/s
杆内逐渐获得了正向速度。
当t4Lo时，1杆和2杆界面对应于N点，1杆的左端面
Co
的介质速度由v40提高至v0,而此时2杆右端面的介质速度刚好由v40下降为0，1杆和2杆脱离（之前，1杆和2杆界面两端的介质始终保持相同的质点速度）。
2、已知两种材料质的弹性杆A和B的Young模量，密度和屈服极限分别为：
EA60GPa、A2.4g/cm3、YA100MPa、EB180GPa、B7.2g/cm3、
Yb240MPa,试对图中所示情况分别画出X-t图和v图，并确定其撞击结束时间、
两杆脱开时间。
以及分离之后各自的整体飞行速度。
f卜vL=0
1OCIcm
可见A、B两杆弹性波速相同，但波阻抗值不同，即两杆在波系图中特征线的斜率相同，而在v状态平面上v关系曲线斜率不相等。
v28m/s-
—►
v10
A
B
（MPa）
Jt（ms）
2.04.08.0v（m/s）
X（cm）
-4.0
如图示波系图及状态平面图，由于A、B两杆均为弹性杆，故在杆中传播的为弹性波。
A杆撞击B杆后由界面处向左传播一弹性波，对于被撞的B杆，向右传播一弹
性波，在碰撞面处两端应力相等，质点速度相等。
由图可知，当t2La20ms时，A杆中应力波由自由界面反射至两杆界面处，
Ca
使界面处质点速度小于零（-0.4m/s）,A将脱离B杆向左飞离，B杆左端变为自由端面，从而B杆左端应力卸为0,速度也减为0,两杆碰撞也结束了。
两杆分离后，A杆的速度为-0.4m/s，B杆的平均速度为2.0m/s。
根据碰撞界面上速度相等、应力相等条件，波阵面上的守恒条件，求解方程及结
果为：
1区：
自然静止区
3、假定A和B均为线性硬化材料，已知其
材料常数分别为
EA60GPa、
20
2区：
V2
8m/s
3
BCBV3
372MPa
3区：
3
2
ACA（v3
V2）
v32m/s
40
40
4区：
4
3
ACa（v4
V3）
v44m/s
50
50
5区：
5
3
BCB（V5
V3）
V50
60
60
6区：
6
3
BCB（V6
V3）
v64m/s
B7.2g/cm3、YB240MPa。
试确
A2.4g/cm3、YA100MPa、EB180GPa、
定图A所示两种情况下使图中被撞击杆1屈服的最低打击速度v2为多大?
吟Vj=0
BA
S（bO£i
解：
CA
；60109
■2.4103
5000m/s，CB
5000m/s
aCa1.2107,bCb3.6107
aCA
8.33m/s,Vyb
Yb
bCb
6.67m/s
A、B两杆弹性波速相同，则两杆在波系图中的特征线的斜率相等。
B杆撞击A杆，如图
（1）所示，撞击杆
B屈服极限值较大，要使被撞击的
A杆屈服,
只需图3区解对应于Ya和Vya即可，
这是一种临界状态
X
3bCb（V3V2）
3Ya
可解得，使得被撞击杆的A杆屈服，最小打击速度为v211m/s
（c）A杆撞击A杆，两杆会同时达到屈服，仍如图
（1）所示，有
3ACA（V3V2）
3Ya
V3VYA
可解得：
v216.67m/s。
5、相同材料的弹性杆,A杆以va8ms的速度撞击初始静止靠在一起的B,C,D杆,如图所示，试作出Xt图，确定撞击结束时间，脱开时间及撞击后各杆的运动状态。
^4=3m/s=0p亡二口°
C
D
解:
作出Xt图和v如下图所示.
Xt图中各区域中的状态量可得：
1区:
B,C,D杆初始状态为0,v0,在波阵面未达到之前,为未扰动区域,应有
2区:
A杆初始状态0,v8m/s;对应v图上20,V28m/s
C0（v3v2）
Co（V3Vi）
3
4Co
4m/s
4区:
左行压缩波在A杆左端自由面反射，反射波经过后杆的状态
4040
43C°（V4V3）V40
5区:
右行压缩波在
D杆右端自由面反射，反射波经过后杆的状态
53C0（V5V3）V58
或者从V图也可以得到各杆最终的运动状态.撞击结束时间
4L
cl，a杆处于
4L
静止自然状态;B杆左端从tC0开始,应力卸载到零,速度也卸载到零
5L
;到t时B
C0
杆整体处于应力为零，速度为零的状态；D杆在t坐时整体处于应力为零，以8m/s的
51
速度向右飞出；C杆在t5-时整体处于应力为零,以8m/s的速度向右飞出.
Co
6、弹性波在自由端和固定端的反射；
7、弹性波在不同界面处的反射和透射；分析反射波、透射波和入射波之间的关系。
&冲击波形成的时间和地点。
9、弹塑性波的相互作用；加载，追赶卸载问题。
10、粘弹性材料Maxwell'Voigt模型的本构方程；应力松弛、蠕变、延迟回复；三元体本构方程；
11、一维应变状态；一维应变平面波的控制方程。
12、对线性硬化、递减硬化材料，当对半无限长杆左端施加不同载荷时，相应的X-t图、v图及图的绘制。
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