应力波复习资料修改.docx

1、应力波复习资料修改复习内容: 概念：应力波；物质坐标，空间坐标，物质微商，空间微商，物质波速；特征线；强 间断，弱间断，冲击波，波的弥散效应；层裂；弹性卸载假设；卸载边界；应变间断 面；应力松弛；蠕变；粘性弥散；Hugoniot弹性极限；固体高压状态方程；冲击绝热 线；主要内容：一、Lagrange方法推导一维应力纵波的波动方程。XX+dXF(X+dx,t),有F(X,t) F(X,t) dXF(X dX)根据牛顿第二定律，有voAodX F(XdX) F(X,t)解在Lagrange坐标中建立图示一维应力波长度为 dX的微元的受力图，截面X上作用 有总力F(X,t),截面X+dX上作用有总力

2、解之，有v0A0 dX t而F(X,t) A。，故上式可以化为(a)对于一维应力纵波，()C则 d C2d代入(a)式,可得(b)c2因为v u,t程：,代入(b)式，则得到了一维应力波在Lagrange坐标系中的波动方X2 2u 2 U c2 C 2 0t2 X2用方向导数法求下列偏微分方程组的特征方程和特征相容关系v(1) t (vv 0x xv 2v ) c 0x x解:对一阶偏微分方程组进行线性组合,(v C2)X 根据特征线求解方法，特征线特征方程为X入+其中 为待定系数,整理可得:v) vv 0 (a)dx(即v c2解之，得C，(为即特征线的微分方程为：dx (vc)dtd dt

3、dt值代入上式，可得特征线上的相容关系为将其积分即可得到特征线方程。由(a)式,整理有dvdvcv xvv -x(1 )c2解：对一阶偏微分方程组进行线性组合v (1 )c2 (1x t根据特征线求解方法，特征线特征方程为,X入+，其中为待定系数，整理可得:v v)v 0 (a)x t2(dx) v (1 )c (dt)(1 )1dvdx解之，得c,(和v (1)C,即特征线的微分方程为：dxv (1)cdt将其积分即可得到特征线方程。 由(a)式,整理有v (1 )c2(1 )dv 0dt dt值代入上式，可得特征线上的相容关系为：ddvcd对一阶偏微分方程组进行线性组合,+v c2- r

4、t根据特征线求解方法，特征线特征方程为，其中v)为待定系数，整理可得:2t0 (a) r(dt) v解之，得?(缶v c,即特征线的微分方程为：dr(v c)dt将其积分即可得到特征线方程。 由(a)式,整理有vc2 rdv 2 vdt rddt值代入上式，可得特征线上的相容关系为：2 vd dv dtc r1_C210 X为待定系数，整理可得:解：对一阶偏微分方程组进行线性组合,+X入，其中Xt2 00 X 0C t(a)根据特征线求解方法，特征线特征方程为严)-0(dt)11 C21 dX解之,得 ，() C ,，即特征线的微分方程为：C dtdXCdt将其积分即可得到特征线方程。由(a)

5、式,整理有11(-)-2c2 0xt0Cx t即 d 0dt 0C2 dt将值代入上式，可得特征线上的相容关系为：1 1d 2d d0C2 oC三、用特征线法求解波的传播。设半无限长弹性杆初始状态为 (X,0) ,v(X,0) v, (X,0) ,t=0时刻杆左端X=0处受到一冲击载荷,即边界条件为v(0,t) V0(),用特征线法求解(X,t)平面上AOX和Aot区域的物理量。解：严) g巧/xOA为经0(0,0)点作的右传波的特征线,将(X,t)平面划分为外加载荷产生的弹性 波尚未到达的A0)区和弹性波已传到的Aot区。对于弹性波，特征线和特征线上相容条件对应于：dX Cdtdv C0d0

6、Cdv引入积分常数Ki、K2后,可写成右行波有:CotCooCov1K1X左行波有：vCotCooCov2K2(1) AOX区在该区任一点P,作正向特征线 沿着特征线PQ和PR分别有PQ和负向特征线PR,分别交0X轴于Q点和R点,VP Co P VQVP Co P VRCoCo0C0VP0C0VP0C0VQ K10C0VR K2vP由( 1)(2)可得:122Co(VqVr)Co( Rq)(Vr Vq) Co (P由初始条件，有R Q ,v(X,0) v , (X,0),则可解得Vp vp由于P点位AO)区域中的任意点，因此该解适合用于整个 AOX区。对于Aot区该区任一点B,作正向特征线BC

7、交Ot轴于C点，负向特征线BD,交OX轴于D点, 再过C点作负向特征线CE交特征线OA于E点，沿着特征线BC BD和 CE分别有VBC0 BvcCo C1B0C0VBC 0C0VC 1VbC0 BVdCo D2B0C0VBD 0C0VD k2；VcCo CVeC0 E3 VCoC 0C0VC E 0C0V E k23沿着特征线OA,其上各点与AOX区具有相同的参数值，即有D E,Vd Ve, D E此外,Vc由边界条件已给出,即 Vc Vo ()于是可解得v Vo()B CCoVb VcVo()可以看出，在 时刻，施加于杆端部的扰动Vo()和c以Co的速度沿杆传播，并且XCo沿着特征线BC,对

8、应的参数值保持不变。特征线BC的特征方程可表示为X Co(t ),则有由于B点Aot区中任意选取的,那么,对于Aot区任意一点,其解为V Vo(t 为CoCoXv Vo(t )CoXoCo V vo(t )Co四、波形曲线和时程曲线一线性硬化材料半无限长杆X o，应力应变关系如图所示，其中3 E iooGPa,E! E/25,Y 2ooMPa,。4g/cm。在杆的左端 X 0处施加如图所示的载荷。(1)画出X t图；(2)画出t O.4ms时刻的波形曲线;(3)画出X 0.5m位置的时程曲线Y解：半无限长杆中弹性波波速:103m/s10m/s，时间tY 0.1ms。(图上把关键点的坐标表示清楚

9、，X t图、波形图和时程图尽量画在一起)0 2 0 3 1.5 2; X(m)t=0 4ms时的滾形柱线報S宦曲旨M0 眞C-E五、弹性波的相互作用处理原则：在撞击面上作用力和反作用力；速度相等；1相同材料弹性杆的共轴撞击图如图所示，作出X-t图和-v图,并确定其撞击结束 时间及两杆脱开时间.（做a b）LoVi 0V3 8m/ s4 v2 0 Vi 0L0解：作图说明：两弹性杆材料相同,故在X-t图中,由于两杆波速相等,同方向的特征线 斜率相同；在-v状态图中同方向的波传播 -v关系曲线斜率相同。（a）AB6t7vN61445M33312o2Lo3杆2杆N6554413241杆Lo1 2 5

10、Lo由波系图和v状态图可得，2杆和3杆撞击结束时间t壬，对应于M点,此后,2杆和3杆都保持静止状态，但不相互脱离。而 1杆由于应力波在右端面的反射,由波系图和 v状态图可得，两杆撞击结束时间为t卷，对应于M点，此时两杆在撞击界面上质点速度均为0，此后一直到时间t 昱时(N点)，两杆界面上质点Co保持静止，并未相互脱离。而应力波在被撞击杆右端反射后，使该杆逐渐获得了正向态的撞击杆脱离，向右飞出(b)L tX速度，当t卷时，被撞杆的左端面得介质速度由0跃为v0,与早已处于静止状2(5)(7)* X3 6 v(a?解:：60 1092.4 1035000m/ s， CB7 2ACA 1.2 10 K

11、g.s/m ，3.6107Kg.s/mACA8.33m/s， vYBYBBCB6.67m/s杆内逐渐获得了正向速度。当t 4Lo时，1杆和2杆界面对应于N点，1杆的左端面Co的介质速度由v40提高至v0,而此时2杆右端面的介质速度刚好由v40下降为 0，1杆和2杆脱离（之前，1杆和2杆界面两端的介质始终保持相同的质点速度）。2、已知两种材料质的弹性杆 A和B的You ng模量，密度和屈服极限分别为：EA 60GPa、 A 2.4g/cm3、YA 100MPa、EB 180GPa、 B 7.2g/cm3、Yb 240MPa ,试对图中所示情况分别画出 X-t图和 v图，并确定其撞击结束时间、两杆

12、脱开时间。以及分离之后各自的整体飞行速度。f 卜 vL= 01 OCIcm可见A、B两杆弹性波速相同，但波阻抗值不同，即两杆在波系图中特征线的斜率 相同，而在 v状态平面上 v关系曲线斜率不相等。v2 8m/s -v1 0AB(MPa)Jt(ms)2.0 4.0 8.0 v(m/s)X(cm)-4.0如图示波系图及状态平面图，由于 A、B两杆均为弹性杆，故在杆中传播的为弹 性波。A杆撞击B杆后由界面处向左传播一弹性波，对于被撞的 B杆，向右传播一弹性波，在碰撞面处两端应力相等，质点速度相等。由图可知，当t 2La 20ms时，A杆中应力波由自由界面反射至两杆界面处，Ca使界面处质点速度小于零（

13、-0.4m/s）, A将脱离B杆向左飞离，B杆左端变为自由端 面，从而B杆左端应力卸为0,速度也减为0,两杆碰撞也结束了。两杆分离后， A 杆的速度为-0.4m/s，B杆的平均速度为2.0m/s。根据碰撞界面上速度相等、应力相等条件，波阵面上的守恒条件，求解方程及结果为：1区：自然静止区3、假定 A和B均为线性硬化材料，已知其材料常数分别为EA 60GPa、2 02区：V28m/s3BCBV33 72MPa3区：32ACA (v3V2)v3 2m/s4 04 04区：43ACa(v4V3)v4 4m/s5 05 05区：53BCB(V5V3)V5 06 06 06区：63BCB(V6V3)v6

14、 4m/sB 7.2g/cm3、YB 240MPa。试确A 2.4g /cm3、YA 100MPa、EB 180GPa、定图A所示两种情况下使图中被撞击杆1屈服的最低打击速度v2为多大?吟 Vj = 0B AS (bO i解：CA；60 109 2.4 1035000m/ s， CB5000m/saCa 1.2 107, bCb 3.6 107aC A8.33m/s , VybYbbCb6.67m/sA、B两杆弹性波速相同，则两杆在波系图中的特征线的斜率相等。B杆撞击A杆，如图（1）所示，撞击杆B屈服极限值较大，要使被撞击的A杆屈服,只需图3区解对应于Ya和Vya即可，这是一种临界状态X3 b

15、C b(V3 V2)3 Ya可解得，使得被撞击杆的 A杆屈服，最小打击速度为v2 11m/s（c） A杆撞击A杆，两杆会同时达到屈服，仍如图（1）所示，有3 ACA（V3 V2）3 YaV3 VYA可解得：v2 16.67m/s。5、相同材料的弹性杆,A杆以va 8m s的速度撞击初始静止靠在一起的 B,C,D杆,如图 所示，试作出X t图，确定撞击结束时间，脱开时间及撞击后各杆的运动状态。4 = 3 m/s = 0 p亡二口 CD解:作出X t图和 v如下图所示.X t图中各区域中的状态量可得：1区:B,C,D杆初始状态为 0,v 0 ,在波阵面未达到之前,为未扰动区域,应有2区:A杆初始状

16、态 0, v 8m/s;对应 v图上2 0,V2 8m/sC0 （v3 v2）Co（V3 Vi）34 Co4m/s4区:左行压缩波在A杆左端自由面反射，反射波经过后杆的状态4 0 4 04 3 C（V4 V3） V4 05区:右行压缩波在D杆右端自由面反射，反射波经过后杆的状态5 3 C0（V5 V3） V5 8或者从 V图也可以得到各杆最终的运动状态.撞击结束时间4Lcl，a杆处于4L静止自然状态;B杆左端从tC0开始,应力卸载到零,速度也卸载到零5L;到t 时BC0杆整体处于应力为零，速度为零的状态；D杆在t坐 时整体处于应力为零，以8m/s的51速度向右飞出；C杆在t 5-时整体处于应力为零,以8m/s的速度向右飞出.Co6、 弹性波在自由端和固定端的反射；7、 弹性波在不同界面处的反射和透射；分析反射波、透射波和入射波之间的关系。 &冲击波形成的时间和地点。9、 弹塑性波的相互作用；加载，追赶卸载问题。10、 粘弹性材料 MaxwellVoigt模型的本构方程；应力松弛、蠕变、延迟回复；三元 体本构方程；11、 一维应变状态；一维应变平面波的控制方程。12、对线性硬化、递减硬化材料，当对半无限长杆左端施加不同载荷时，相应的 X-t 图、 v图及 图的绘制。