两角和与差的正弦余弦正切说课稿.docx

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两角和与差的正弦余弦正切说课稿

两角和与差的正弦、余弦、正切说课稿

高中是人生的一个转折点，把握时间，认真学习，为将来的路奠定基

础，为学子整理了两角和与差的正弦、余弦、正切说课稿一文：

 两角和与差的正弦、余弦、正切说课稿

 一、教材分析

 教材的地位和作用：

本节课教学内容是高一（下）第四章4.6节第一课时（两

角和与差的余弦）。

本节内容是三角恒等变形的基础，是正弦线、余弦线和诱

导公式等知识的延伸，同时，它又是两角和、差、倍、半角等公式的源头。

两角和与差的正弦、余弦、正切是本章的重要内容，对于三角变换、三角恒

等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有着重要的支撑作

用。

本课时主要讲授平面内两点间距离公式、两角和与差的余弦公式以及它

们的简单应用。

这节内容在高考中不但是热点，而且一般都是中、低档题，

是一定要拿到分的题。

 教学重点：

两角和与差的余弦公式的推导与运用。

 教学难点：

余弦和角公式的推导以及应用，学会恰当代换、逆用公式等技

能。

 二、教学目标

（一）知识目标：

 1、掌握利用平面内两点间的距离公式进行C（α+β）公式的推导;

 2、能用代换法推导C（α-β）公式;

 3、初步学会公式的简单应用和逆用公式等基本技能。

（二）能力目标：

 1、通过公式的推导，在培养学生三大能力的基础上，着重培养学生获得数

学知识的能力和数学交流的能力;

 2、通过公式的灵活运用，培养学生的转化思想和变换能力。

 （三）情感目标：

 1、通过观察、对比体会公式的线形美，对称美

 2、通过教师启发引导，培养学生不怕困难，勇于探索勇于创新的求知精

神。

 三、学情分析：

 根据现在的学生知识迁移能力差、计算能力差的特点，第一节课不要太多

公式应用。

 四、教法分析

 1、创设情境----提出问题----探索尝试----启发引导----解决问题。

 引导学生建立一直角坐标系xOy，同时在这一坐标系内作单位圆O，并作

出角，使角的始边为Ox，交圆O于点，终边交圆O于点;角的始边为

O，终边交圆O于，角的始边为O，终边交圆O于点，并引导学生用

的三角函数标出点的坐标。

并充分利用单位圆、平面内两点的距离公式，使

学生弄懂由距离等式化得的三角恒等式，并整理成为余弦的和角公式，从而

克服本课的难点。

 2、教具：

多媒体投影系统。

（多媒体系统可以有效增加课堂容量，色彩的

强烈对比可以突出对比效果;动画的应用可以将抽象的问题直观化，体现直观

性原则。

）

 五、学法指导

 1、能灵活求写角的终边与单位圆的交点坐标，并结合平面几何知识推证

出公式。

 2、本节的中心公式是，然后对作不同的特值代换可得其他公式，故灵活

适当的代换是学好本节内容的基础。

 3、让学生注意观察、对比两角和与差的余弦公式中正弦、余弦的顺序;角

的顺序关系，培养学生的观察能力，并通过观察体会公式的对称美。

 在教学过程中，启动学生自主性学习，自得知识，自觅规律，自悟原理，

主动发展思维和能力。

 六、教学过程

（一）新课引入，产生对公式的需求。

 1、学生先讨论=cos（450+300）=cos450+cos300是否成立?

。

（学生可能通过

计算器、量余弦线的长度、特殊角三角函数值和余弦函数的值域三种途径解

决问题）。

得出cos（450+300）≠cos450+cos300。

进而得出

cos（α+β）≠cosα+cosβ这个结论。

那幺此时又是多

少，75度，15度虽然不是特殊角，但有某种特殊性，即可以表示成特殊角

的和与差。

那幺能不能由特殊角的三角函数值来表示这种和角与差角的三角

函数值?

 2、如果特殊角可以，对一般的两个角，当它的三角函数值已知时，能否求

出和与差的三角函数值?

即能否用单角的三角函数来表示复角的三角函数呢?

提出cos（α+β）又等于什幺呢?

写出标题。

（二）预备知识

 在解决上面的问题之前，我们先来作一点准备，解决平面内两点间距离的

公式这一问题。

（1）回忆初中学习过的数轴上的两点间的距离公式

（2）通过上面的复习，我们已经熟悉了数轴上两点间距离公式。

那幺，平面

内两点间距离与这两点的坐标有什幺样的关系呢?

（通过课件演示让学生体会

平面内两点间距离和同一坐标轴上两点间距离的关系）

 平面内两点间距离公式推导分析：

设P1（x1，y1），P2（x2，y2）由勾股定理

联想从P1、P2分别作X、Y轴的垂线，则有：

M1（x1，0），M2（x2，0）,N1

（0，y1），N2（0，y2）。

通过演示课件P1Q=M1M2=│x2-x1│QP2=

N1N2=│y2-y1│根据勾股定理写出P1P22=P1Q2+QP22=（x2-x1）2+（y2-y1）2。

由此得平面内P1（x1，y1）、P2（x2，y2）两点间的距离公式:

P1P2=（x2-

x1）2+（y2-y1）2

 习：

P（3，-1），Q（-3，-9）求PQ（建议这部分不要花太多时间）

 （3）、复习单位圆上点的坐标表示，为推导公式作铺垫。

 （三）公式推导

 我们要用α、β、α+β的三角函数来表示

α+β的余弦，那幺就得作出α、β、α+β的

角，构造α、β、α+β的角时，联想建坐标系、作单位

圆。

（1）分别指出点P1、P2、P3的坐标。

（2）求出弦P1P3的长。

（3）思考构造

弦P1P3的等量关系。

当发现|P1P3|可以用cos（α+β）表示时，想到

应该寻找与P1P3相等的弦，从而才想到作出角（-β）。

 在直角坐标系内做单位圆，并做出任意角α,α+β和-

β。

它们的终边分别交单位圆于P2、P3和P4点，单位圆与X轴交于

P1。

则：

P1（1,0）、P2（cosα，sinα）、P3（cos（α+β），

sin（α+β））、

 1.根据同圆中相等的圆心角所对的弦相等得到距离等式

 2.将转化为三角恒等式，逐步变形整理成余弦的和角公式。

 [cos（α+β）-1]2+sin2（α+β）=[cos（-β）-

cosα]2+[sin（-β）-sinα]2展开，整理得2-

2cos（α+β）=2-2cosαcosβ+2sinαsinβ

 所以cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ.记作

 注意：

（1）公式的结构特征：

左边是两角和的余弦，右边是两两同名函数的

积。

（2）公式的记忆口诀：

哥哥捡伞伞（用音译，让学生觉得有趣并得以记住公

式）

 （3）公式的用途：

用单角α、β的三角函数来表示复角的

α+β余弦

 （4）注意强调公式中α、β是任意角。

因为α、β是任意

角，且两点间的距离公式具有一般性，所以此公式适用于任意角，具有一般

性。

以后可以用此公式导出其它公式，如用-β去代替β导出

C（α-β）。

 （四）公式应用

 正因为α、β的任意性，所以赋予C（α+β）公式的强大

生命力。

 提问：

 1、请用特殊角分别代替公式中α、β，你会求出哪些非特殊角的

值呢?

 让学生动笔自由尝试、主动探索。

同学会求cos15度、cos75度、cos105度

等。

 2、若β固定，分别用代替α，你将发现什幺结论呢?

 用C（α±β）公式得到证明：

让学生发现

C（α±β）公式是诱导公式的推广，诱导公式是

C（α±β）公式的特殊情况。

当其中一个角是的整数倍时用

诱导公式较好。

 由P1P3=P2P4（同圆相等的

 圆心角所对弦相等）及两点

 间距离公式，得：

 [cos（α+β）-1]2+[sin（α+β）-0]2

 =[cos（-β）-cosα]2+[sin（-β）-sinα]2

 展开整理合并得：

 cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ这就是两角和

的余弦公式。

（其中α,β为任意角）将其中β换成-β，公式

仍成立：

 cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ

 cos（α+（-β））=cosαcos（-β）-sinαsin（-β）

 化简得两角差的余弦公式：

 cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ

 求证:

（1）cos（-α）=sinα

（2）sin（-α）=cosα

 证明：

（1）cos（-α）=coscosα+sinsinα

 =sinα

（2）sin（-α）=cos[-（-α）]

 =cosα

 证明

（1）、

（2）的结论即为诱导公式。

 例1、利用和（差）角公式求750、150角的余弦。

 分析：

将750可以看成450+300而450和300均为特殊

 角，借助它们即可求出750的余弦。

（学生自己完成）

 解：

cos750=cos（450+300）

 =cos450cos300-sin450sin300

 =乘以-乘以

 =

 cos150=cos（450-300）

 =cos450cos300+sin450sin300

 =乘以+乘以

 =

 例题：

例1、已知sinα=，α∈（，π），cosβ=-,

β∈（π，），求cos（α-β）、cos（α+β）。

（解略）

 解题回顾：

这是公式的直接使用，缺什幺找什幺。

另要注意α、

β所在区间，确定函数值的符号。

 练习：

已知，求

 例2、求值cos80度cos20度+sin80度sin20度。

（解略）

 以-β代β

 求cos15度等

 代换

 诱导公式及其它

 α、β任意角

 1、牢记公式的结构，学会逆用公式。

不符合公式结构的，常通过诱导公式

变形使之符合。

 2、强调公式中α、β的任意性。

 3、恰当代换是学好本节基础;逆用公式是本节基本技能。

 （七）作业：

2

（2）（4）3（3）（4）（5）（6）（8）

 [注]通过布置作业使学生进一步巩固本节的重点内容。

 板书设计

 第四章两角和与差的余弦

 1、平面内两点间的距离公式

 2、两角和差的余弦公式

 3、例题

 例1

 例2

 两角和与差的正弦、余弦、正切说课稿由整理提供，愿考生学业有成。

更

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