数值分析实验报告.docx
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数值分析实验报告
数值分析实验报告
课题名称：
曲线拟合的最小二乘法
姓名：
马成章
专业：
材料表针与分析
学号：
2014230074
2014年12月17日
一问题提出
从随机的数据中找出其规律性，给出其近似表达式的问题，在生产实践和科学实验中大量存在，通常利用数据的最小二乘法求得拟合曲线。
在某冶炼过程中，根据统计数据的含碳量与时间关系，试求含碳量y与时间t的拟合曲线。
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
0
1.27
2.16
2.86
3.44
3.87
4.15
4.37
4.51
4.58
4.02
4.64
二要求
1、用最小二乘法进行曲线拟合；
2、近似解析表达式为；f（t）=a1t+a2t2+a3t3
3、打印出拟合函数f（t），并打印出f（tj）与y（tj）的误差，j=1,2,.....,12
4、另外选取一个近似表达式，尝试拟合效果的比较；
5、绘制出曲线拟合图。
三意义和目的
1、掌握曲线拟合的最小二乘法；
2、最小二乘法亦可用于解超定线代数方程组；
3、探索拟合函数的选择与拟合精度间的关系。
四计算方法
本题要求我们用
对曲线进行拟合，这里
故
由于
可以利用此式算出拟合曲线的
，即
所以求得
，
，
，
，误差为
，而均方误差为
五程序具体实现
privatevoidResultReport_Load（objectsender,System.EventArgse）
{
this.InitialDeal（）;
this.Deal（）;
}
//初始化各个变量。
privatevoidInitialDeal（）
{
inti=0;
while（tString.Length>0）
{
t[i++]=Convert.ToDouble（tString.Substring（0,tString.IndexOf（","）））*tUnit;
tString=tString.Remove（0,tString.IndexOf（","）+1）;
}
num=i;
i=0;
while（yString.Length>0）
{
y[i++]=Convert.ToDouble（yString.Substring（0,yString.IndexOf（","）））*yUnit;
yString=yString.Remove（0,yString.IndexOf（","）+1）;
}
i=0;
while（i{
a11+=y[i]*y[i];
i++;
}
this.labelA11.Text=a11.ToString（"#.00E0;（#.00E0）;0.00"）;
i=0;
while（i{
a12+=y[i]*y[i]*y[i];
i++;
}
a21=a12;
this.labelA12.Text=a12.ToString（"#.00E0;（#.00E0）;0.00"）;
this.labelA21.Text=a21.ToString（"#.00E0;（#.00E0）;0.00"）;
i=0;
while（i{
a13+=y[i]*y[i]*y[i]*y[i];
i++;
}
a31=a13;
a22=a13;
this.labelA31.Text=a31.ToString（"#.00E0;（#.00E0）;0.00"）;
this.labelA13.Text=a13.ToString（"#.00E0;（#.00E0）;0.00"）;
this.labelA22.Text=a22.ToString（"#.00E0;（#.00E0）;0.00"）;
i=0;
while（i{
a23+=y[i]*y[i]*y[i]*y[i]*y[i];
i++;
}
a32=a23;
this.labelA23.Text=a23.ToString（"#.00E0;（#.00E0）;0.00"）;
this.labelA32.Text=a32.ToString（"#.00E0;（#.00E0）;0.00"）;
i=0;
while（i{
a33+=y[i]*y[i]*y[i]*y[i]*y[i]*y[i];
i++;
}
this.labelA33.Text=a33.ToString（"#.00E0;（#.00E0）;0.00"）;
i=0;
while（i{
b1+=y[i]*t[i];
i++;
}
this.labelB1.Text=b1.ToString（"#.00E0;（#.00E0）;0.00"）;
i=0;
while（i{
b2+=y[i]*y[i]*t[i];
i++;
}
this.labelB2.Text=b2.ToString（"#.00E0;（#.00E0）;0.00"）;
i=0;
while（i{
b3+=y[i]*y[i]*y[i]*t[i];
i++;
}
this.labelB3.Text=b3.ToString（"#.00E0;（#.00E0）;0.00"）;
}
//进行最小二乘法处理。
privatevoidDeal（）
{
doubleab11,ab12,ab13,ab21,ab22,ab23,ab31,ab32,ab33=0;
doubleaDiterminal=0;
aDiterminal=a11*a22*a33+a12*a23*a31+a13*a21*a32-a13*a22*a31-a23*a32*a11-a12*a21*a33;
ab11=（a22*a33-a32*a23）/aDiterminal;
ab12=（a13*a32-a12*a33）/aDiterminal;
ab13=（a12*a23-a13*a22）/aDiterminal;
ab21=（a23*a31-a21*a33）/aDiterminal;
ab22=（a11*a33-a13*a31）/aDiterminal;
ab23=（a13*a21-a11*a23）/aDiterminal;
ab31=（a21*a32-a31*a22）/aDiterminal;
ab32=（a12*a31-a11*a32）/aDiterminal;
ab33=（a11*a22-a12*a21）/aDiterminal;
//声明一个3行3列的两维数组，用于存放矩阵A
//初始化矩阵A
double[,]matrixA=newdouble[3,3]{{ab11,ab12,ab13},{ab21,ab22,ab23},{ab31,ab32,ab33}};
//声明一个3行1列的两维数组，用于存放矩阵B
//初始化矩阵B
double[,]matrixB=newdouble[3,1]{{b1},{b2},{b3}};
//声明一个3行1列的两维数组，用于存放矩阵A和矩阵B的乘积
double[,]matrixC=newdouble[3,1];
//计算矩阵A的逆转
//计算矩阵A和矩阵B的乘积
for（inti=0;i<3;i++）
{
for（intj=0;j<1;j++）
{
//初始化矩阵C
matrixC[i,j]=0;
//计算矩阵A和矩阵B的乘积，并把值存放在矩阵C中
for（intk=0;k<3;k++）
{
matrixC[i,j]+=matrixA[i,k]*matrixB[k,j];
}
}
}
this.labela1Result.Text=matrixC[0,0].ToString（"#.00E+0;#.00E-0;0.00"）;
this.labela2Result.Text=matrixC[1,0].ToString（"#.00E+0;#.00E-0;0.00"）;
this.labela3Result.Text=matrixC[2,0].ToString（"#.00E+0;#.00E-0;0.00"）;
}
实验结果
对一次拟合做matlab检验，结果如下：
可从图像得一次拟合是错误的，于是进行三次拟合，结果如下：
因此，得出上述数据应进行三次最小二乘法拟合才能得到比较精确的解
六结果讨论与分析
最小二乘法如果想将曲线拟合的比较完美，必须应用适当的模拟曲线，如果模拟曲线选择不够适当，那么用最小二乘法计算完后，会发现拟合曲线误差比较大，均方误差也比较大，而如果拟合曲线选择适当，那么效果较好。
因此，需要对已知点根据分布规律选取多个可能的近似拟合曲线，算出后比较误差与均方误差，得到最佳拟合曲线。
但是如果已知点分布非常不规律，无法观察或是无法正确观察出其近似曲线，那么根本无法使用最小二乘法进行曲线拟合，我们只能使用其它方法进行逼近，如最佳一致逼近多项式。
如果本题我们错误的使用
对本题进行模拟，那样误差与均方误差都非常大，肯定无法得到好的效果，相比较而言，本题所选取的
可以达到预期效果。
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