七年级秋季班第5讲乘法公式.docx

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七年级秋季班第5讲乘法公式

本节课学习乘法公式，需要掌握会用文字和字母表示平方差公式、完全平方公式，知道平方差公式和完全平方公式的结构特征．理解平方差公式和完全平方公式中的字母，既可以表示数，又可以表示单项式或多项式等．做到能够理解补充的立方和、差公式以及完全立方公式．重点是在数的简捷运算、代数式的化简求值及解方程中正确、熟悉地运用平方差公式和完全平方公式．难点是在运用乘法公式时，逐步树立代换的思想，利用字母的意义，灵活进行乘法运算．

1．平方差公式

两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差，即：

（a+b）（a-b）=a2-b2．

2．公式变化

（1）位置变化：

（a+b）（-b+a）=（a+b）（a-b）=a2-b2；

（2）符号变化：

（-a-b）（a-b）=-（a+b）（a-b）=-（a2-b2）=b2-a2；

（3）公式中的字母，可以表示具体的数字，可以表示单项式，也可以表示多项式．

【例1】计算：

（1）（a+2）（a-2）=；

（2）（-x+2y）（x+2y）=；

（3）⎛0.1m-2n⎫⎛0.1m+2n⎫=；（4）（xn-y）（xn+y）=；

ç3⎪ç3⎪

⎝⎭⎝⎭

（5）（x-y+z）（-x+y+z）=z2-（）2；（6）（4x-y）（）=y2-16x2；

（6）（0.2a-3b）（）=0.04a2-9b2．

【例2】如图，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a>b），把剩下的部分

拼成一个梯形，分别计算这两个图形的面积，验证了公式．

a

bb

b

【例3】对于任意整数n，能整除代数式（n+3）（n-3）-（n+2）（n-2）的整数是（）．

A．4B．3C．5D．2

【例4】若a-b=-3，a2-b2=9，求a+b的值．

【例5】若（a+2m）⎛a+1⎫的结果中不含关于a的一次项，那么m的值为（）．

ç2⎪

A．1

2

⎝⎭

B．-1

2

C．1

4

D．-1

4

【例6】简便计算：

（1）88⨯92；

（2）251⨯246；（3）20162-2015⨯2017．

77

【例7】计算：

（1）（2m+3n）（2m-3n）-（3m-2n）（3m+2n）；

（3）（x+2）（x-2）（x2+4）；

（4）（a2+b）（a2-b）-（-a）2⋅（-a2）．

【例8】解方程：

x（x-2）+（x-2）（x+2）=2（x-3）（x+3）-2．

【例9】已知（2a+2b+1）（2a+2b-1）=63，求a+b的值．

【例10】计算：

4⋅⎛1x-1⎫⋅（4x2+1）⋅（2x+1）．

⎝⎭

【例11】已知（t+58）2=654481，求（t+48）（t+68）的值．

【例12】计算：

1002-992+982-972+···+22-1．

【例13】已知324-1可能被20至30之间的两个整数整除，求这两个整数．

【例14】计算：

（1）（2+1）（22+1）（24+1）···（232

+1）1+；

⎣⎦

（2）（x+1+x）⋅⎡⎣（x+1）2+x2⎤⎦⋅⎡（x+1）4+x4⎤．

1．完全平方公式

两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的两倍，

即：

（a+b）2=a2+2ab+b2（a-b）2=a2-2ab+b2

与平方差公式一样，公式中的字母可以代表一个数字，可以代表一个单项式，也可以是一个多项式．

2．完全平方变形应用

（1）（a+b）2+（a-b）2=2a2+2b2；（a+b）2-（a-b）2=4ab；

（2）（a+b）2=（a-b）2+4ab；（a-b）2=（a+b）2-4ab；

（3）a2+b2=（a+b）2-2ab=（a-b）2+2ab；

（a+b）2-（a-b）2（a+b）2+（a-b）2

（4）ab=；a2+b2=．

42

3．完全平方公式推广应用

（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；

（2）（a+b+c）（a+b-c）=（a+b）2-c2=a2+2ab+b2-c2；

（3）（a+b）2+（a+c）2+（b+c）2=2a2+2b2+2c2+2ab+2ac+2bc；

（4）（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2=2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc．

【例15】填空：

2⎛⎫

12

（1）（2a+3b）=；

（2）x-3y=；

ç2⎪

⎝⎭

（3）（-a-2b2）2=；（4）（x+2y）（-x-2y）=；

（5）x2++16y2=（x+4y）2；（6）4a2+6ab+=（2a+）2；

（7）（3m-n）⋅（）=n2-6mn+9m2．

【例16】填空；

（1）（a+b+c）2=；

（2）（2a-3b-c）2=；

（3）⎛x-2y+

⎝

1⎫2

z⎪

3⎭

=；（4）（x2+3x+2）（x2-3x-2）=．

【例17】填空：

（3a+2b）2-（3a-2b）2=．

【例18】计算：

（1）（2x2-3）2-（3x-1）（3x+1）；

（2）（a2-9）2-（3+a）（a2+9）（a-3）；

（3）（2x+3y）

2+（2x-3y）2

；（4）⎛0.5a+

⎝

1⎫2

b⎪

3⎭

-（0.5a-

1b）2．

3

【例19】下列各式能用完全平方公式计算的有（）个．

①（2a-3b）（3b-2a）；②（-2a+3b）（-2a-3b）；

③（2a-3b）（-3b+2a）；④（2a-3b）（3a+2b）．

A．1B．2C．3D．4

【例20】若a-b=2,a-c=1，则（2a-b-c）2+（c-a）2的值是（）．

A．9B．10C．2D．1

【例21】如果实数a，b，c满足a2+b2+c2=ab+ac+bc，那么（）．

A．a，b，c全相等B．a，b，c不全相等

C．a，b，c全不相等D．a，b，c可能相等，也可能不等

【例22】已知a+b=1，a+c=2，b+c=3，则a2+b2+c2+ab+ac+bc=．

【例23】如果多项式x2+kx+1是一个完全平方式，那么k的值为．

9

【例24】若（7x-a）2=49x2-bx+9，则a+b=．

【例25】若m-n=1，m2+n2=51，则（mn）2013的值为．

525

【例26】已知（a+b）2=36，（a-b）2=4，则ab=．

【例27】若a+b=7，ab=12，则a2-ab+b2的值为．

【例28】用简便方法运算：

（1）99.72；

（2）1.372⨯2⨯8.63⨯1.37+8.632；（3）9.62⨯10.42．

【例29】若m（m-1）-（m2

-n）=6，求

m2+n2

2

-

mn的值．

【例30】

（1）已知（a-b）2=13，ab=3，求（a+b）2与3（a2+b2）

的值；

（2）已知a+b=4，a2+b2=10，求a2b2与（a-b）2的值．

【例31】

（1）已知x2+y2+z2=a，xy+xz+yz=b，求（x+y）2+（x+z）2+（y+z）2的值；

（2）已知a2+b2+c2-bc-ac-ab=5，求（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2的值．

【例32】已知（2018-x）（2016-x）=2017，求（2018-x）2+（2016-x）2的值．

【例33】已知a-b=b-c=3，a2+b2+c2=1，求ab+ac+bc的值．

5

【例34】

（1）已知x2+y2-2x-4y+5=0，求1（x-1）2-xy的值．

2

（2）试说明不论x、y取何值，代数式x2+y2+6x-4y+15的值总是正数．

【例35】

（1）已知x-1=6，求x2+

x

1的值；

x2

（2）已知x2+3x+1=0，求

（1）x+1；

（2）x2+

x

1；（3）x4+

x2

1的值．

x4

1、立方和、差公式

两数和（或差）乘以它们的平方和与积的差（或和），等于这两个数的立方和（或差），这两个公式叫做乘法的立方和公式与立方差公式．

即：

（a+b）（a2-ab+b2）=a3+b3，（a-b）（a2+ab+b2）=a3-b3．

2、完全立方公式

（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3；（a-b）3=a3-3a2b+3ab2-b3．

【例36】填空，使之符合立方和或立方差公式：

（1）（x-3）（）=x3-27；

（2）（2x+3）（）=8x3+27；

（3）（）（a2+2ab+4b2）=；

（4）（）（9a2-6ab+4b2）=．

【例37】用完全立方公式计算：

（1）（x+2）3；

（2）（3x+2y）3；（3）（4a-5b）3．

【例38】计算：

（1）（x+3y）（x2-3xy+9y2）-（x-3y）（x2+3xy+9y2）；

（2）（a+b）（a-b）（a2+ab+b2）（a2-ab+b2）．

【例39】化简求值：

（x+2）（x2-2x+4）+（x-1）（x2+x+1），其中x=-2．

【例40】已知a+b=3且ab=2，求a3+b3的值．

【例41】已知：

x+1=4．求下列各式的值：

（1）x2+

x

1；

（2）x3+1．

x2x3

⎛ab⎫⎛ab⎫

⎛12⎫2

【习题1】填空：

（1）ç-⎪ç--⎪=；

（2）ç-2a+3b⎪=．

⎝43⎭⎝43⎭⎝⎭

⎛1⎫2

（3）（x+y-z）（z-x-y）=；（4）çx-2y+z⎪

⎝⎭

=．

【习题2】若x+y=8，x2-y2=48，则y-x=．

【习题3】已知（x+y）2-2x-2y+1=0，则（x+y）999=．

【习题4】若x2-kxy+16y2是一个完全平方式，则k的值是（）．

A．8B．16C．±8

【习题5】计算：

D．±16

（1）（x+2y）（x-2y）-（x+y）（-x+y）；

（2）⎛x-4⎫⎛x2+16⎫⎛x+4⎫；

ç5⎪ç25⎪ç5⎪

⎝⎭⎝⎭⎝⎭

（3）（a+b）2-（2a-b）2；（4）（x+y）（x-y）+（x+y）2；

（5）（2m+n2）（4m2-2mn2+n4）．

【习题6】运用平方差公式计算：

（1）（-97）⨯（-83）；

（2）892⨯901；

33

（3）9.6⨯10.4；（4）

2016．

20162-2015⨯2017

【习题7】如果（3a+3b+2）（3a+3b-2）=32，求a+b的值．

【习题8】已知5a2+4ab+b2-6a+9=0，求a+b的值．

【习题9】已知a+b=3，ab=1，

2

求：

（1）a2+b2；

（2）a2+ab+b2；（3）a4+b4；（4）b+a；（5）a3+b3的值．

ab

【习题10】计算：

1

a4+a2+1

（1）已知a+=5，则

aa2

=；

（2）a2+1=7，则a+1=，a-1=；

a2aa

（3）已知a-1=4，求a2+1

aa2

和a4+1

a4

的值．

【习题11】已知x+y=1，x2+y2=2，求x6+y6的值．

【习题12】若A=（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）···（232+1），则

A-2016的末位数字是多少？

【作业1】如果（a+b）2-（a-b）2=4，则一定成立的是（）．

A．a是b的相反数B．a是-b的相反数

C．a是b的倒数D．a是-b的倒数

【作业2】若整式4x2+Q+1是完全平方式，请你写一个满足条件的单项式Q是．

【作业3】若把代数式x2+2x-2化为（x+m）2+k的形式，其中m，k为常数，则m+k的值

为（）

A．-2

B．-4

C．2D．4

【作业4】计算：

12-22+32-42+52-62++992-1002的值是（）

A．5050．B．-5050．C．10100．D．-10100．

【作业5】若（x+2）2+（x-3）2=13，则（x+2）（3-x）=．

【作业6】计算：

（1）⎛1y2+x2⎫⎛1y-x⎫⎛1y+x⎫；

ç9⎪ç3⎪ç3⎪

⎝⎭⎝⎭⎝⎭

（2）（x2-x+5）（x2+x-5）；

（3）（x-y）2（x+y）2（x2+y2）2；

（4）（2m+3n）2-（4m-9n）（4m+9n）+（2m-3n）2；

（5）（a-2b+c）2；

（6）2016⨯2018-20172．

【作业7】已知a（a-1）-（a2

-b）=-5，求

a2+b2

2

-ab的值．

【作业8】已知实数a、b满足（a+b）2=1，（a-b）2=25，求a2+b2+ab的值．

【作业9】已知a=2015⨯2017，b=2016⨯2018，c=2017⨯2019，比较三者大小．

2016

2017

2018

【作业10】已知x2-6xy+9y2=0，求代数式3x+5y

4x2-y2

∙（2x+y）的值．

【作业11】已知a=

值．

1x+20，b=

20

1x+19，c=

20

1x+21，求a2+b2+c2-ab-bc-ca的

20

【作业12】求多项式2x2-4xy+5y2-12y+13的最值．