二元一次方程组相交线和平行线的综合训练二.docx

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二元一次方程组相交线和平行线的综合训练二

二元一次方程组、相交线和平行线的综合训练

（二）

二元一次方程组、相交线和平行线的综合训练

（二）

一．解答题（共20小题）

1．（2013•遵义）解方程组

．

2．（2013•湘西州）解方程组：

．

3．（2013•台州）已知关于x，y的方程组

的解为

，求m，n的值．

4．（2013•乌鲁木齐）在水果店里，小李买了5kg苹果，3kg梨，老板少要2元，收了50元；老王买了11kg苹果，5kg梨，老板按九折收钱，收了90元，该店的苹果和梨的单价各是多少元？

5．（2013•苏州）苏州某旅行社组织甲乙两个旅游团分别到西安、北京旅行，已知这两旅游团共有55人，甲旅游团的人数比乙旅游团的人数的2倍少5人．问甲、乙两个旅游团各有多少人？

6．（2013•济南）某寄宿制学校有大、小两种类型的学生宿舍共50间，大宿舍每间可住8人，小宿舍每间可住6人，该校360名住宿生恰好住满这50间宿舍．求大、小宿舍各有多少间？

7．（2013•吉林）吉林人参是保健佳品．某特产商店销售甲、乙两种保健人参．甲种人参每棵100元，乙种人参每棵70元王叔叔用1200元在此特产商店购买这两种人参共15棵．求王叔叔购买每种人参的棵数．

8．（2013•长沙）为方便市民出行，减轻城市中心交通压力，长沙市正在修建贯穿星城南北、东西的地铁1、2号线．已知修建地铁1号线24千米和2号线22千米共需投资265亿元；若1号线每千米的平均造价比2号线每千米的平均造价多0.5亿元．

（1）求1号线，2号线每千米的平均造价分别是多少亿元？

（2）除1、2号线外，长沙市政府规划到2018年还要再建91.8千米的地铁线网．据预算，这91.8千米地铁线网每千米的平均造价是1号线每千米的平均造价的1.2倍，则还需投资多少亿元？

9．（2012•株洲）在学校组织的游艺晚会上，掷飞标游艺区游戏规则如下：

如图掷到A区和B区的得分不同，A区为小圆内部分，B区为大圆内小圆外的部分（掷中一次记一个点）．现统计小华、小芳和小明掷中与得分情况如下：

小华：

77分小芳75分小明：

　_________　分

（1）求掷中A区、B区一次各得多少分？

（2）依此方法计算小明的得分为多少分？

10．（2013•南昌模拟）琪琪、倩倩、斌斌三位同学去商店买文具用品．琪琪说：

“我买了4支水笔，2本笔记本，10本作文本共用了19元．”倩倩说：

“我买了2支水笔，3本笔记本，10本练习本共用了20元．”斌斌说：

“我买了12本练习本，8本作文本共用了10元；作文本与练习本的价格是一样哦！

”请根据以上内容，求出笔记本，水笔，练习本的价格．

11．（2012•张家界）如图，在方格纸中，以格点连线为边的三角形叫格点三角形，请按要求完成下列操作：

先将格点△ABC向右平移4个单位得到△A1B1C1，再将△A1B1C1绕点C1点旋转180°得到△A2B2C2．

12．

（1）如果把图看成是直线AB，EF被直线CD所截，那么∠1与∠2是一对什么角？

∠2与∠3呢？

（2）如果把图看成是直线AB，CD被直线EF所截，那么∠4与∠5是一对什么角？

∠5与∠6呢？

13．如图，所有小正方形的边长都为1，A、B、C都在格点上．

（1）过点C画直线AB的平行线（不写作法，下同）；

（2）过点A画直线BC的垂线，并注明垂足为G；过点A画直线AB的垂线，交BC于点H．

（3）线段　_________　的长度是点A到直线BC的距离，线段AH的长度是点　_________　到直线　_________　的距离．

（4）因为直线外一点到直线上各点连接的所有线中，垂线段最短，所以线段AG、AH的大小关系为AG　_________　AH．

14．按要求完成作图，并回答问题；如图在△ABC中：

（1）过点A画BC的垂线，垂足为E；

（2）画∠ABC的平分线，交AC于F；

（3）过E画AB的平行线，交AC于点G；

（4）过点C画AB所在的直线的垂线段，垂足为H．

15．如图，∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6中，同旁内角共有　_________　对．

16．已知方格纸上点O和线段AB，根据下列要求画图：

（1）画直线OA；

（2）过B点画直线OA的垂线，垂足为D；

（3）取线段AB的中点E，过点E画BD的平行线，交AO于点F．

17．一幅透明的直角三角尺，按如图所示的位置摆放．如果把三角尺的每条边看成线段，请根据图形解答下列问题：

（1）找出图中一对互相平行的线段，并用符号表示出来；

（2）找出图中一对互相垂直的线段，并用符号表示出来；

（3）找出图中的一个钝角、一个直角和一个锐角，用符号把它们表示出来，并求出它们的度数．（不包括直角尺自身所成的角）

18．如图，直线AB与CD相交于点0，射线OE平分∠BOF，∠AOD+∠COB=40°，∠DOF：

∠FOB=1：

7．

（1）求∠AOD和∠EOB的度数；

（2）你发现射线OD是一条什么特殊的线？

请说明理由；

（3）你发现射线OE与直线CD有什么位置关系？

请说明理由．

19．如图1，把一块含30°的直角三角板ABC的BC边放置于长方形直尺DEFG的EF边上．

（1）填空：

∠1=　_________　°，∠2=　_________　°；

（2）现把三角板绕B点逆时针旋转n°．

①如图2，当0＜n＜90，且点C恰好落在DG边上时，求∠1、∠2的度数（结果用含n的代数式表示）；

②当0＜n＜360时，是否会存在三角板某一边所在的直线与直尺（有四条边）某一边所在的直线垂直？

如果存在，请直接写出所有n的值和对应的那两条垂线；如果不存在，请说明理由．

20．如图，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池．

（1）不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H点的位置，使它到四个村庄距离之和最小；

（2）计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短并说明根据．

二元一次方程组、相交线和平行线的综合训练

（二）

参考答案与试题解析

一．解答题（共20小题）

1．（2013•遵义）解方程组

．

解答：

解：

，所以，方程组的解是

．

2．（2013•湘西州）解方程组：

．

解答：

解：

，则原方程组的解为：

．

3．（2013•台州）已知关于x，y的方程组

的解为

，求m，n的值．

解答：

解：

将

代入方程组中得：

，解得：

．

4．（2013•乌鲁木齐）在水果店里，小李买了5kg苹果，3kg梨，老板少要2元，收了50元；老王买了11kg苹果，5kg梨，老板按九折收钱，收了90元，该店的苹果和梨的单价各是多少元？

解答：

解：

设该店的苹果的单价是每千克x元，梨的单价是每千克y元，由题意得：

，解得：

，答：

该店的苹果的单价是每千克5元，梨的单价是每千克9元．

5．（2013•苏州）苏州某旅行社组织甲乙两个旅游团分别到西安、北京旅行，已知这两旅游团共有55人，甲旅游团的人数比乙旅游团的人数的2倍少5人．问甲、乙两个旅游团各有多少人？

解答：

解：

设甲、乙两个旅游团各有x人、y人，由题意得：

，解得

，答：

甲、乙两个旅游团各有35人、20人．

6．（2013•济南）某寄宿制学校有大、小两种类型的学生宿舍共50间，大宿舍每间可住8人，小宿舍每间可住6人，该校360名住宿生恰好住满这50间宿舍．求大、小宿舍各有多少间？

解答：

解：

设大宿舍有x间，小宿舍有y间，由题意，得

，解得：

．答：

大宿舍有30间，小宿舍有20间．

7．（2013•吉林）吉林人参是保健佳品．某特产商店销售甲、乙两种保健人参．甲种人参每棵100元，乙种人参每棵70元王叔叔用1200元在此特产商店购买这两种人参共15棵．求王叔叔购买每种人参的棵数．

解答：

解：

设王叔叔购买了甲种人参x棵，购买了乙种人参y棵，由题意，得

，解得：

．答：

王叔叔购买了甲种人参5棵，购买了乙种人参10棵．

8．（2013•长沙）为方便市民出行，减轻城市中心交通压力，长沙市正在修建贯穿星城南北、东西的地铁1、2号线．已知修建地铁1号线24千米和2号线22千米共需投资265亿元；若1号线每千米的平均造价比2号线每千米的平均造价多0.5亿元．

（1）求1号线，2号线每千米的平均造价分别是多少亿元？

（2）除1、2号线外，长沙市政府规划到2018年还要再建91.8千米的地铁线网．据预算，这91.8千米地铁线网每千米的平均造价是1号线每千米的平均造价的1.2倍，则还需投资多少亿元？

解答：

解：

（1）设1号线，2号线每千米的平均造价分别是x亿元，y亿元，

由题意得出：

，解得：

，

答：

1号线，2号线每千米的平均造价分别是6亿元和5.5亿元；

（2）由

（1）得出：

91.8×6×1.2=660.96（亿元），答：

还需投资660.96亿元．

9．（2012•株洲）在学校组织的游艺晚会上，掷飞标游艺区游戏规则如下：

如图掷到A区和B区的得分不同，A区为小圆内部分，B区为大圆内小圆外的部分（掷中一次记一个点）．现统计小华、小芳和小明掷中与得分情况如下：

小华：

77分小芳75分小明：

　？

　分

（1）求掷中A区、B区一次各得多少分？

（2）依此方法计算小明的得分为多少分？

解答：

解：

（1）设掷到A区和B区的得分分别为x、y分，依题意得：

，解得：

，答：

掷中A区、B区一次各得10，9分．

（2）由

（1）可知：

4x+4y=76，答：

依此方法计算小明的得分为76分．

10．（2013•南昌模拟）琪琪、倩倩、斌斌三位同学去商店买文具用品．琪琪说：

“我买了4支水笔，2本笔记本，10本作文本共用了19元．”倩倩说：

“我买了2支水笔，3本笔记本，10本练习本共用了20元．”斌斌说：

“我买了12本练习本，8本作文本共用了10元；作文本与练习本的价格是一样哦！

”请根据以上内容，求出笔记本，水笔，练习本的价格．

解答：

解：

设笔记本每本的价格是x元，水笔每支y元，练习本或作文本每本的价格为z元，由题意，得

，解得：

．答：

笔记本每本的价格是4元，水笔每支1.5元，练习本0.5元．

11．（2012•张家界）如图，在方格纸中，以格点连线为边的三角形叫格点三角形，请按要求完成下列操作：

先将格点△ABC向右平移4个单位得到△A1B1C1，再将△A1B1C1绕点C1点旋转180°得到△A2B2C2．

12．

（1）如果把图看成是直线AB，EF被直线CD所截，那么∠1与∠2是一对什么角？

∠2与∠3呢？

（2）如果把图看成是直线AB，CD被直线EF所截，那么∠4与∠5是一对什么角？

∠5与∠6呢？

解答：

解：

（1）内错角，同旁内角；

（2）同位角，对顶角．

13．如图，所有小正方形的边长都为1，A、B、C都在格点上．

（1）过点C画直线AB的平行线（不写作法，下同）；

（2）过点A画直线BC的垂线，并注明垂足为G；过点A画直线AB的垂线，交BC于点H．

（3）线段　AG　的长度是点A到直线BC的距离，线段AH的长度是点　H　到直线　AB　的距离．

（4）因为直线外一点到直线上各点连接的所有线中，垂线段最短，所以线段AG、AH的大小关系为AG　＜　AH．

解答：

解：

（1）如图所示，直线CD即为所求作的直线AB的平行线；

（2）如图所示；（3）AG，H、AB；（4）＜．

14．按要求完成作图，并回答问题；如图在△ABC中：

（1）过点A画BC的垂线，垂足为E；

（2）画∠ABC的平分线，交AC于F；

（3）过E画AB的平行线，交AC于点G；（4）过点C画AB所在的直线的垂线段，垂足为H．

解答：

解：

（1）作法利用量角器测得∠AOC=90°，AE即为所求；

（2）作法：

①以点B为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交∠ABC两边于点M，N．

②分别以点M，N为圆心，以大于

MN的长度为半径画弧，两弧交于点P

③作射线BP，则射线BP为角ABC的角平分线；

④射线BP交AC于点F；

（3）作法：

用量角器测得∠ABC=∠GEC，EG即为所求；

（4）作法：

利用量角器测得∠BHC=90°，CH即为所求．

15．如图，∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6中，同旁内角共有　5　对．

解答：

解：

图中同旁内角有：

∠2和∠3，∠4和∠5，∠3和∠4，∠2和∠5，∠1和∠6，共5对．

故答案为5．

16．已知方格纸上点O和线段AB，根据下列要求画图：

（1）画直线OA；

（2）过B点画直线OA的垂线，垂足为D；

（3）取线段AB的中点E，过点E画BD的平行线，交AO于点F．

解答：

解：

（1）作法：

①连接OA，②作直线AO；

（2）作法：

连接正方形AHGB的对角线BH交AG于点D；

（3）作法：

①取线段AD的中点F，连接EF．

17．一幅透明的直角三角尺，按如图所示的位置摆放．如果把三角尺的每条边看成线段，请根据图形解答下列问题：

（1）找出图中一对互相平行的线段，并用符号表示出来；

（2）找出图中一对互相垂直的线段，并用符号表示出来；

（3）找出图中的一个钝角、一个直角和一个锐角，用符号把它们表示出来，并求出它们的度数．（不包括直角尺自身所成的角）

解答：

解：

此题答案不唯一，只要答案正确即可得分．

（1）如：

DE∥CB，DF∥CB，FE∥CB．

（2）如：

ED⊥AC，FD⊥AC，FD⊥AD．

（3）如：

钝角：

∠GFD=135°，∠CGB=∠FGE=105°．

直角有：

∠ADE=90°．如：

锐角∠GCB=30°，∠AFD=45°，∠CGF=75°．

18．如图，直线AB与CD相交于点0，射线OE平分∠BOF，∠AOD+∠COB=40°，∠DOF：

∠FOB=1：

7．

（1）求∠AOD和∠EOB的度数；

（2）你发现射线OD是一条什么特殊的线？

请说明理由；

（3）你发现射线OE与直线CD有什么位置关系？

请说明理由．

解答：

解：

（1）∵∠AOD+∠COB=40°，∠AOD=∠COB，∴∠AOD=20°，∴∠DOB=180°﹣20°=160°，

∵∠DOF：

∠FOB=l：

7，∴∠BOF=

×160°=140°，

∵OE平分∠BOF，∴∠BOE=

∠BOF=

×140°=70°；

（2）∠DOF=

×160°=20°，∴∠AOD=∠DOF，∴OD是∠AOF的平分线；

（3）∵∠EOC=∠BOE+∠COB=70°+20°=90°，∴OE⊥CD．

19．如图1，把一块含30°的直角三角板ABC的BC边放置于长方形直尺DEFG的EF边上．

（1）填空：

∠1=　120　°，∠2=　90　°；

（2）现把三角板绕B点逆时针旋转n°．

①如图2，当0＜n＜90，且点C恰好落在DG边上时，求∠1、∠2的度数（结果用含n的代数式表示）；

②当0＜n＜360时，是否会存在三角板某一边所在的直线与直尺（有四条边）某一边所在的直线垂直？

如果存在，请直接写出所有n的值和对应的那两条垂线；如果不存在，请说明理由．

解答：

解：

（1）∠1=180°﹣60°=120°，∠2=90°；故答案为：

120，90；

（2）①如图2，∵∠ABC=60°，∴∠ABE=180°﹣60°﹣n°=120°﹣n°，

∵DG∥EF，∴∠1=∠ABE=120°﹣n°，∠BCG=180°﹣∠CBF=180°﹣n°，

∵∠ACB+∠BCG+∠2=360°，

∴∠2=360°﹣∠ACB﹣∠BCG，=360°﹣90°﹣（180°﹣n°），=90°+n°；

②当n=30°时，AB⊥DG（EF）；

当n=90°时，BC⊥DG（EF），AC⊥DE（GF）；

当n=120°时，AB⊥DE（GF）；

当n=180°时，AC⊥DG（EF），BC⊥DE（GF）；

当n=210°时，AB⊥DG（EF）；

当n=270°时，BC⊥DG（EF），AC⊥DE（GF）；

当n=300°时，AB⊥DE（GF）．

20．如图，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池．

（1）不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H点的位置，使它到四个村庄距离之和最小；

（2）计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短并说明根据．

解答：

解：

（1）∵两点之间线段最短，

∴连接AD，BC交于H，则H为蓄水池位置，它到四个村庄距离之和最小．

（2）过H作HG⊥EF，垂足为G．

“过直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短”是把河水引入蓄水池H中开渠最短的根据．