北京朝阳初三上期中数学.docx
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北京朝阳初三上期中数学
2018北京朝阳初三（上）期中数学
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
1.以下是“回收”、“绿色包装”、“节水”、“低碳”四个标志，其中是中心对称图形的是（）
A.
B.
C.
D.
2.二次函数y＝（x+2）2+3的图象的顶点坐标是（）
A.（﹣2，3）B.（2，3）C.（﹣2，﹣3）D.（2，﹣3）
3.如图，⊙O的直径为10，AB为弦，OC⊥AB，垂足为C，若OC＝3，则弦AB的长为（）
A.8B.6C.4D.10
4.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝59°，则∠C等于（）
A.29°B.31°C.59°D.62°
5.如图4×4的正方形网格中，△PMN绕某点旋转一定的角度，得到△P1M1N1，其旋转中心是（）
A.A点B.B点C.C点D.D点
6.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝6，阴影部分图形的面积为（）
A.4πB.3πC.2πD.π
7.已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x纵坐标y的对应值如下表：
X
……
﹣1
0
1
2
3
……
Y
……
3
0
﹣1
0
3
①物线y＝ax2+bx+c的开口向下；
②抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1；
③方程ax2+bx+c＝0的根为0和2；
④当y＞0时，x的取值范围是x＜0或x＞2
以上结论中其中的是（）
A.①④B.②④C.②③D.③④
8.如图1，⊙O过正方形ABCD的顶点A、D且与边BC相切于点E，分别交AB、DC于点M、N．动点P在⊙O或正方形ABCD的边上以每秒一个单位的速度做连续匀速运动．设运动的时间为x，圆心O与P点的距离为y，图2记录了一段时间里y与x的函数关系，在这段时间里P点的运动路径为（）
A.从D点出发，沿弧DA→弧AM→线段BM→线段BC
B.从B点出发，沿线段BC→线段CN→弧ND→弧DA
C.从A点出发，沿弧AM→线段BM→线段BC→线段CN
D.从C点出发，沿线段CN→弧ND→弧DA→线段AB
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9.在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于原点对称点P′的坐标是_____．
10.平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心，5为半径作⊙O，则点A（4，3）在⊙O_____（填：
“内”或“上“或“外”）
11.如图所示，把一个直角三角尺ACB绕30°角的顶点B顺时计旋转，使得点A落在CB的延长线上的点E处，则∠BCD的度数为_____．
12.将抛物线y＝x2﹣6x+5化成y＝a（x﹣h）2﹣k的形式，则hk＝_____．
13.若正六边形的边长为2，则其外接圆的面积为_____．
14.二次函数满足下列条件：
①函数有最大值3；②对称轴为y轴，写出一个满足以上条件的二次函数解析式：
_____
15.圆锥底面半径为6，高为8，则圆锥的侧面积为_____．
16.阅读下面材料：
在数学课上，老师提出利用尺规作图完成下面问题：
已知：
∠ACB是△ABC的一个内角．
求作：
∠APB＝∠ACB．
小明的做法如下：
如图
①作线段AB的垂直平分线m；
②作线段BC的垂直平分线n，与直线m交于点O；
③以点O为圆心，OA为半径作△ABC的外接圆；
④在弧ACB上取一点P，连结AP，BP．
所以∠APB＝∠ACB．
老师说：
“小明的作法正确．”
请回答：
（1）点O为△ABC外接圆圆心（即OA＝OB＝OC）的依据是_____；
（2）∠APB＝∠ACB的依据是_____．
三、解答题（本原共68分，第17-22题，每小题5分，第23、24、26、28题，每小题5分，第25，27题，每小题5分）
17.如图，在Rt△OAB中，∠OAB＝90，且点B的坐标为（4，2）
（1）画出△OAB绕点O逆时针旋转90°后的△OA1B1．
（2）求点B旋转到点B1所经过的路线长（结果保留π）
18.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示．
（1）确定二次函数的解析式；
（2）若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
19.如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝135°，AC＝4，求⊙O的半径长．
20.关于x一元二次方程x2+mx+n＝0．
（1）当m＝n+2时，利用根的判别式判断方程根的情况．
（2）若方程有实数根，写出一组满足条件的m，n的值，并求此时方程的根．
21.如图，PA，PB是⊙O的切线，点A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠ACB=70°，求∠APB的度数.
22.某商店销售一种进价为20元/双的手套，经调查发现，该种手套每天的销售量w（双）与销售单价x（元）满足w＝﹣2x+80（20≤x≤40），设销售这种手套每天的利润为y（元）．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？
最大利润是多少？
23.如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）
（1）用直尺画出该圆弧所在圆的圆心M的位置，并标出M点的坐标；
（2）若D点的坐标为（7，0），想一想直线CD与⊙M有怎样的位置关系，并证明你的猜想．
24.已知：
如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F．
（1）求证：
DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为4，∠F＝30°，求DE的长．
25.如图，Q是弧AB与弦AB所围成的图形的内部的一定点，P是弦AB上一动点，连接PQ并延长交弧AB于点C，连接BC．已知AB＝6cm，设A，P两点间的距离为xcm，P，C两点间的距离为y1cm，A，C两点间的距离为y2cm．
小明根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2，随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）确定自变量x的取值范围是．
（2）按下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值．
x/cm
0
1
2
3
4
5
6
y1/cm
5.62
4.67
3.76
2.65
3.18
4.37
y2/cm
5.62
5.59
5.53
5.42
5.19
4.73
4.11
（3）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并面出函数y1，y2的图象．
（4）结合函数图象，解决问题：
当△APC为等腰三角形时，AP的长度约为cm．
26.在平面直角坐标系中xOy中，抛物线y＝x2﹣4x+m+2的顶点在x轴上．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点Q是x轴上一点，
①若在抛物线上存在点P，使得∠POQ＝45°，求点P的坐标．
②抛物线与直线y＝1交于点E，F（点E在点F的左侧），将此抛物线在点E，F（包含点E和点F）之间的部分沿x轴向左平移n个单位后得到的图象记为G，若在图象G上存在点P，使得∠POQ＝45°，求n的取值范围．
27.已知：
在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC+∠ADC＝180°
（1）如图①，若∠ACD＝60°，BC＝1，CD＝3，则AC的长为；
（2）如图②，若∠ACD＝45°，BC＝1，CD＝3，求出AC的长；
（3）如图③，若∠ACD＝30°，BC＝a，CD＝b，直接写出AC的长．
28.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，m），且m≠0，点B的坐标为（n，0），将线段AB绕点B顺时针旋转90°．得到线段BA1，称点A1为点A关于点B的“伴随点”，图1为点A关于点B的“伴随点”的示意图
（1）已知点A（0，4），
①当点B的坐标分别为（1，0），（﹣2，0）时，点A关于点B的“伴随点”的坐标分别为，；
②点（x，y）是点A关于点B的“伴随点”，直接写出y与x之间的关系式；
（2）如图2，点C的坐标为（﹣3，0），以C为圆心，
为半径作圆，若在⊙C上存在点A关于点B的“伴随点”，直接写出点A的纵坐标m的取值范围．
2018北京朝阳初三（上）期中数学参考答案
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
1.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据中心对称图形的定义判断即可.
【详解】解：
A、不是中心对称图形，本选项错误；
B、不是中心对称图形，本选项错误；
C、是中心对称图形，本选项正确；
D、不是中心对称图形，本选项错误．
故选：
C．
【点睛】本题考查中心对称图形的定义，确定中心对称图形的关键是找到对称中心.
2.
【答案】A
【解析】
试题分析：
抛物线y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），直接根据抛物线y=（x+2）2+3写出顶点坐标则可．由于y=（x+2）2+3为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，抛物线的顶点坐标为（﹣2，3）．
考点：
二次函数的性质．
3.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据勾股定理求出AC的长，由垂径定理可得AB的长.
【详解】解：
连接OA，
∵OA＝5，OC＝3，OC⊥AB，
∴AC＝
＝4，
∵OC⊥AB，
∴AB＝2AC＝2×4＝8．
故选：
A．
【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，熟练掌握基础知识是解题关键.
4.
【答案】B
【解析】
∵AB是O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠ABD=59°，
∴∠A=90°−∠ABD=31°，
∴∠C=∠A=31°
故选：
B.
5.
【答案】B
【解析】
试题分析:
旋转对称图形是指：
把一个图形绕着某一定点旋转一个角度360°/n（n为大于1的正整数）后，与初始的图形重合，这种图形就叫旋转对称图形，这个定点就叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角。
按照定义的要求旋转角度=360°/n。
A选项中旋转的角度是0°，不成立；
B项旋转角度是90°，则n=4，所以符合题目，故选B；
C选项中，旋转不成立；
D项旋转角度得出n不为整数，所以也不成立。
考点：
本题考查旋转对称图形，要掌握图形变换的知识。
点评：
本题难度较大，主要是空间立体要求严格。
6.
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出△BOC是等边三角形，再根据垂径定理及圆周角定理得到∠CBO＝∠BOD，由S△BCD＝S△BCO将阴影部分面积转化为S扇形OBC，代入数值求解即可.
【详解】解：
连接BC，OD，设CD交AB于E．
∵∠BOC＝2∠CDB，∠CDB＝30°，
∴∠COB＝60°，
∵OC＝OB，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠CBO＝60°，
∵CD⊥AB，CD＝6，
∴
＝
，CE＝ED＝3，
∴∠BOC＝∠BOD＝60°，EO＝
，OC＝2
，
∴∠CBO＝∠BOD，
∴BC∥OD，
∴S△BCD＝S△BCO，
∴S阴＝S扇形OBC＝
＝2π．
故选：
C．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、垂径定理、圆周角定理及勾股定理，将阴影部分面积转化为扇形面积是解题关键.
7.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据表格可知x＝1是抛物线对称轴，此时有最小值，与x轴交点坐标为（0,0）（2,0）据此可判断①②③，根据与x轴交点坐标结合开口方向可判断④.
【详解】解：
从表格可以看出，函数的对称轴是x＝1，顶点坐标为（1，﹣1），
函数与x轴的交点为（0，0）、（2，0），
①物线y＝ax2+bx+c的开口向下．抛物线开口向上，错误；
②抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，错误；
③方程ax2+bx+c＝0的根为0和2，正确；
④当y＞0时，x的取值范围是x＜0或x＞2，正确．
故选：
D．
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，解题关键是能够根据表格得到有用信息.
8.
【答案】C
【解析】
结合两幅图形分析可知，图2中函数图象的线段部分对应的是点P在⊙O上运动的情形，曲线部分对应的是点P在正方形的边上运动的情形，在图2中函数图象的最高点分别对应着点P运动到了图1中的B、C两点，由此可知与图2中函数图象对应的点P的运动路线有以下两种情况：
①点P是从A点出发，沿弧AM→线段BM→线段BC→线段CN：
②点P是从D点出发，沿弧DN→线段NC→线段CB→线段BM.
故选C.
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9.
【答案】（﹣2，3）．
【解析】
【分析】
根据坐标轴的对称性即可写出.
【详解】解：
根据中心对称的性质，得点P（2，﹣3）关于原点的对称点P′的坐标是（﹣2，3）．
故答案为：
（﹣2，3）．
【点睛】此题主要考查直角坐标系内的坐标变换，解题的关键是熟知直角坐标系的特点.
10.
【答案】上．
【解析】
【分析】
求出点A到圆心的距离，判断即可.
【详解】解：
∵点A（4，3）到圆心O的距离OA＝
＝5，
∴OA＝r＝5，
∴点A在⊙O上，
故答案为：
上．
【点睛】本题考查点和圆的位置关系，当点到圆心的距离大于半径时，点在圆外，当点到圆心的距离等于半径时，点在圆上，当点到圆心的距离小于半径时，点在圆内.
11.
【答案】15°．
【解析】
【分析】
根据旋转的性质可得△CBD是等腰三角形，然后求出∠CBD的度数，易得∠BCD的度数.
【详解】解：
根据旋转的性质△ABC≌△EDB，BC＝BD，
则△CBD是等腰三角形，∠BDC＝∠BCD，∠CBD＝180°﹣∠DBE＝180°﹣30°＝150°，∠BCD＝
（180°﹣∠CBD）＝15°．
故答案为15°．
【点睛】本题考查了旋转的性质和等腰三角形的性质，得到△CBD是等腰三角形是解题关键.
12.
【答案】﹣12．
【解析】
【分析】
将抛物线化成顶点式，可得h，k的值，代入计算即可.
【详解】解：
∵y＝x2﹣6x+5
＝x2﹣6x+9﹣4
＝（x﹣3）2﹣4，
∴h＝3，k＝﹣4，
∴hk＝3×（﹣4）＝﹣12．
故答案是：
﹣12．
【点睛】本题考查了抛物线的顶点式，熟练掌握顶点式的转化是解题关键.
13.
【答案】4π
【解析】
【分析】
连接OE、OD，易得△EOD是等边三角形，可得外接圆半径为2，再根据半径求面积即可.
【详解】解：
设正六边形的中心为O，连接OE、OD，
∵六边形是正六边形，
∴∠EOD＝
＝60°，
∴△EOD是等边三角形，
∴OE＝ED＝2，即它的外接圆半径的长为2，
所以其外接圆的面积为4π，
故答案为：
4π
【点睛】本题考查了圆内接正多边形的性质，求出△EOD是等边三角形是解题关键.
14.
【答案】y＝﹣x2+3．
【解析】
【分析】
写出一个满足a＜0，b=0的二次函数解析式即可.
【详解】解：
∵二次函数的图象具有下列特征：
①函数有最大值3；②对称轴为y轴，
∴满足以上条件的一个二次函数的解析式（任写一个符合条件的即可）为y＝﹣x2+3．
故答案为：
y＝﹣x2+3．
【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，根据题意得到a＜0，b=0是解题关键.
15.
【答案】60π
【解析】
分析：
利用勾股定理易得圆锥的母线长，那么圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长．
解答：
解：
∵圆锥的底面半径为6，高为8，
∴圆锥的母线长为10，
∴圆锥的侧面积为π×6×10=60π．
故答案为60π．
点评：
考查圆锥的计算；得到圆锥的母线长是解决本题的突破点；用到的知识点为：
圆锥的母线长，底面半径，高组成以母线长为斜边的直角三角形．
16.
【答案】
（1）.①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；②等量代换
（2）.同弧所对的圆周角相等
【解析】
【分析】
（1）根据线段的垂直平分线的性质定理以及等量代换即可得出结论．
（2）根据同弧所对的圆周角相等即可得出结论．
【详解】
（1）如图2中，
∵MN垂直平分AB，EF垂直平分BC，
∴OA=OB，OB=OC（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等），
∴OA=OB=OC（等量代换）
故答案是：
（2）∵
，
∴∠APB=∠ACB（同弧所对的圆周角相等）．
故答案是：
（1）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等和等量代换；
（2）同弧所对的圆周角相等．
【点睛】考查作图-复杂作图、线段的垂直平分线的性质、三角形的外心等知识，解题的关键是熟练掌握三角形外心的性质．
三、解答题（本原共68分，第17-22题，每小题5分，第23、24、26、28题，每小题5分，第25，27题，每小题5分）
17.
【答案】
（1）详见解析；
（2）
.
【解析】
【分析】
（1）根据旋转的性质作图即可.
（2）先求出OB的长，再根据弧长公式计算即可.
【详解】解：
（1）如图所示，△OA1B1即为所求．
（2）∵OB＝
＝
，∠BOB1＝90°，
∴点B旋转到点B1所经过的路线长为
．
【点睛】本题考查了旋转作图和弧长的计算，熟练掌握旋转的性质和弧长公式是解题关键.
18.
【答案】
（1）y＝﹣
x2﹣x+
；
（2）k＜2．
【解析】
【分析】
根据待定系数法求二次函数的解析式，并根据公式求顶点坐标的纵坐标，当方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，即直线y=k与抛物线有两个交点，从而得出k的取值．
【详解】解：
（1）从图象可以看出：
c＝1.5，
函数与x轴的交点为（﹣3，0），函数对称轴为x＝﹣1，
则：
函数表达式为y＝ax2+bx+1.5，
将（﹣3，0），对称轴x＝﹣1代入函数表达式，
，
解得：
a＝﹣
，b＝﹣1，
即函数的表达式为：
y＝﹣
x2﹣x+
；
（2）ax2+bx+c＝k，即：
﹣
x2﹣x+
﹣k＝0，
△＝（﹣1）2﹣4（﹣
）（
﹣k）＞0，
解得：
k＜2．
【点睛】本题考查了二次函数图象与一元二次方程的关系，同时还考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，注意抛物线是轴对称图形，根据对称性可以求抛物线上点的坐标，解好本题还要熟练掌握顶点坐标公式：
（-
，
）；方程ax2+bx+c=k的解的情况由图象与y=k的交点个数确定，反之k的取值也决定了方程解的情况．
19.
【答案】⊙O的半径长为2
．
【解析】
【分析】
根据圆内接四边形的性质和圆周角定理可得△AOC是等腰直角三角形，AC＝4，易得OA.
【详解】解：
∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝135°，
∴∠D＝180°﹣∠ABC＝45°，
∴∠AOC＝2∠D＝90°，
∵OA＝OC，且AC＝4，
∴OA＝OC＝
AC＝2
，
即⊙O的半径长为2
．
【点睛】本题主要考查了圆内接四边形和圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形对角互补是解题关键.
20.
【答案】
（1）详见解析；
（2）x1＝x2＝﹣1．
【解析】
【分析】
（1）根据△＝b2﹣4ac＝n2+4＞0，可得有两个不相等的实数根；
（2）根据有实数根可得△＝m2﹣4n≥0，写出一组符合题意的m，n的值并解方程即可.
【详解】解：
（1）△＝b2﹣4ac＝m2﹣4n＝（n+2）2﹣4n＝n2+4，
∵n2≥0，
∴△＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）∵方程有实数根，
∴△＝m2﹣4n≥0，
若m＝2，n＝1，则方程变形为x2+2x+1＝0，解得x1＝x2＝﹣1．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，熟知根的情况与判别式的关系是解题关键.
21.
【答案】∠APB=40°
【解析】
试题分析：
根据PA，PB分别是⊙O的切线得到PA⊥OA，PB⊥OB，在四边形AOBP中根据内角和定理，就可以求出∠P的度数．
试题解析：
∵PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，
∴PA=PB，∠PAC=900
∴∠PAB=∠PBA
∠P=1800-2∠PAB
又∵AC是⊙O的直径
∴∠ABC=900，
∴∠BAC=900-∠ACB=200
∠PAB=900-200=700
∴∠P=180º-2×70º=40º.
考点：
切线的性质．
22.
【答案】
（1）y=﹣2x2+120x﹣1600；
（2）当销售单价定为每双30元时，每天的利润最大，最大利润为200元．
【解析】
分析：
（1）用每双手套的利润乘以销售量得到每天的利润；
（2）由
（1）得到的是一个二次函数，利用二次函数的性质，可以求出最大利润以及销售单价．
详解：
（1）y=w（x﹣20）
=（﹣2x+80）（x﹣20）
=﹣2x2+120x﹣1600；
（2）y=﹣2（x﹣30）2+200．
∵20≤x≤40，a=﹣2＜0，∴当x=30时，y最大值=200．
答：
当销售单价定为每双30元时，每天的利润最大，最大利润为200元．
点睛：
本题考查的是二次函数的应用．
（1）根据题意得到二次函数．
（2）利用二次函数的性质求出最大值．
23.
【答案】
（1）图详见解析，M（2，0）；
（2）直线CD是⊙M的切线，理由详见解析.
【解析】
【分析】
（1）线段AB，BC垂直平分线的交点即为圆心M；
（2）由A（0，4），可得小正方形的边长为1，分别求出MC、CD、MD的长，由勾股定理逆定理可得∠MCD＝90°.
【详解】解：
（1）如图所示，点M即为所求，且M（2，0）．
（2）直线CD是⊙M的切线，
由A（0，4），可得小正方形的边长为1，
设过C点与x轴垂直的直线与x轴的交点为E，连接MC，作直线CD，
∴CE＝2，ME＝4，ED＝1，MD＝5，
在Rt△CEM中，∠CEM＝90°，
∴MC2＝ME2+CE2＝42+22＝20，
在Rt△CED中，∠CED＝90°，
∴CD2＝ED2+CE2＝12+22＝5，
∴MD2＝MC2+CD2，
∴∠MCD＝90°，
又∵MC为半径，
∴直线CD是⊙M的切线．
【点睛】本题考查了垂径定理、切线的性质和勾股定理逆定理等，根据垂径定理确定圆心的位置是解题关键.
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【答案】
（1）详见解析；
（2）DE＝2
．
【解析】
【分析】
（1）连接OD，AD，根据D、O是BC、AC的中点，可得OD是△ABC的中位线，OD∥AB，∠ODE＝90°.
（2）先证明四边形OGED是矩形，由∠AOG＝∠F＝30°，得DE＝OG＝2
.
【详解】解：
（1）连接OD，AD，
∵AC是⊙O直径，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴点D是BC的中点，
∵O是AC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AB，
∵DE⊥AB，
∴∠ODE＝∠BED＝90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）过点O作OG⊥AB于点G，
∴∠AEF＝∠AGO＝90°，
∴OG∥EF，四边形OGED是矩形，
∴∠AOG＝∠F＝30°，
∵OA＝4，
∴AG＝2，
由勾股定理可知：
OG＝2
，
∴DE＝OG＝2
．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质、矩形的判定和性质以及含30°角的直角三角形的性质，能够灵活运用所学知识进行推理是解题关键.
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