《走向高考》高三数学人教A版总复习同步练习93空间点直线平面之间的位置关系.docx
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《走向高考》高三数学人教A版总复习同步练习93空间点直线平面之间的位置关系
9-3空间点、直线、平面之间的位置关系
基础巩固强化
1.（2011·福州二检）给出下列四个命题：
①没有公共点的两条直线平行；
②互相垂直的两条直线是相交直线；
③既不平行也不相交的直线是异面直线；
④不同在任何一个平面内的两条直线是异面直线．其中正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] B
[解析] 没有公共点的两条直线平行或异面，故命题①错；互相垂直的两条直线相交或异面，故命题②错；既不平行也不相交的直线是异面直线，不同在任一平面内的两条直线是异面直线，命题③、④正确，故选B.
2．（文）a、b、c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是（ ）
A．若直线a、b异面，b、c异面，则a、c异面
B．若直线a、b相交，b、c相交，则a、c相交
C．若a∥b，则a、b与c所成的角相等
D．若a⊥b，b⊥c，则a∥c
[答案] C
[解析] 如图
（1）知A错；如图
（2）知B错；如图（3）知D错．在直线c上任取一点P，过P作直线m∥a，则m∥b，因此a，b与c所成的角都等于m与c所成的角，故选C.
（理）（2011·济宁一模）已知空间中有三条线段AB、BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是（ ）
A．AB∥CD
B．AB与CD异面
C．AB与CD相交
D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交
[答案] D
[解析] 若三条线段共面，如果AB、BC、CD构成等腰三角形，则直线AB与CD相交，否则直线AB与CD平行；若不共面，则直线AB与CD是异面直线，故选D.
3．（2011·北京西城区模拟）对于平面α和异面直线m、n，下列命题中真命题是（ ）
A．存在平面α，使m⊥α，n⊥α
B．存在平面α，使m⊂α，n⊂α
C．存在平面α，满足m⊥α，n∥α
D．存在平面α，满足m∥α，n∥α
[答案] D
[解析] 对于A，若m⊥α，n⊥α，则有m∥n，这与直线m、n是异面直线相矛盾，因此A不正确；对于B，若m⊂α，n⊂α，则直线m、n是共面直线，这与直线m、n是异面直线相矛盾，因此B不正确；对于C，若存在平面α，使得m⊥α，n∥α，则有m⊥n，而异面直线m、n可能不垂直，因此C不正确；对于D，在直线m、n上各取一点M、N，在线段MN上取一点P（P不与M、N重合），过P分别作直线m、n的平行线m1，n1，则由直线m1，n1所确定的平面α与直线m、n都平行，因此D正确．综上所述，选D.
4．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为（ ）
A．3B．4
C．5D．6
[答案] C
[解析] 如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面，也与CC1共面的棱为BC、C1D1、DC、AA1、BB1，共5条．
5．（文）（2011·中山模拟）设四棱锥P－ABCD的底面不是平行四边形，用平面α去截此四棱锥（如图），使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面α
（ ）
A．不存在
B．只有1个
C．恰有4个
D．有无数多个
[答案] D
[解析] 解法一：
在四棱锥P－ABCD的侧棱PA、PB上各取一点E、F，在侧棱PC上取一点M，在侧面PCD内过M作MN∥EF，在平面PCD内沿侧棱平行移动直线MN，使其与两侧棱交点M、N之间线段长MN＝EF，则截面MNEF截得的四边形为平行四边形，所有与平面MNEF平行的平面截四棱锥所得的四边形均为平行四边形，故选D.
解法二：
作一个平行四边形A1B1C1D1，在平面A1B1C1D1外任取一点P得到四棱锥P－A1B1C1D1，在直线PA1、PB1、PC1、PD1上任取点A、B、C、D，使ABCD不是平行四边形，则四棱锥P－ABCD符合题意，所有与平面A1B1C1D1平行的平面截四棱锥均可得到一个平行四边形．
（理）如图是正方体或四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是（ ）
[答案] D
[解析] A中，PS∥QR；B中如图可知此四点共面；C中PS∥QR；D中RS在经过平面PQS内一点和平面PQS外一点的直线上，故选D.
6．（2011·浙江省嘉兴市质检）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列判断错误的是（ ）
A．MN与CC1垂直B．MN与AC垂直
C．MN与BD平行D．MN与A1B1平行
[答案] D
[解析] 由于C1D1与A1B1平行，MN与C1D1是异面直线，所以MN与A1B1是异面直线，故选项D错误．
[点评] 取CC1中点P，则MP∥BC，NP∥C1D1，∵CC1⊥BC，CC1⊥C1D1，∴CC1⊥MP，CC1⊥NP，∴CC1⊥平面MNP，∴CC1⊥MN，∴A正确；取CD中点Q，BC中点R，则NQ綊
D1D，MR綊
CC1，∵CC1綊D1D，∴NQ綊MR，∴MN∥QR，∵QR∥BD，AC⊥BD，∴AC⊥MN，∴B正确；
∵MN∥QR，QR∥BD，∴MN∥BD，∴C正确．
7．在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝BC，则直线PC与AB所成角的大小是________．
[答案] 60°
[解析]
分别取PA、AC、CB的中点F、D、E连接FD、DE、EF、AE，则∠FDE是直线PC与AB所成角或其补角．
设PA＝AC＝BC＝2a，在△FDE中，易求得FD＝
a，DE＝
a，FE＝
a，
根据余弦定理，得cos∠FDE＝
＝－
，
所以∠FDE＝120°.
所以PC与AB所成角的大小是60°.
8．（2011·浙江杭州）已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影可能是：
①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．则在上面的结论中，正确结论的编号是________（写出所有正确结论的编号）
[答案] ①②④
[解析] 设与两异面直线都平行的平面为α，β⊥α，则a、b在β内的射影为两条平行直线，∴①正确；当a⊥α时，a、b在α内的射影为一条直线及线外一点，∴④正确；适当调整角度可以使a在α内的射影a′与b垂直，从而a′与b在α内的射影b′垂直，无论什么情况下，两直线的射影都不可能重合．
9．（2011·南京模拟）如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，AC＝
，AA1＝3，M为线段BB1上的一动点，则当AM＋MC1最小时，△AMC1的面积为________．
[答案]
[解析] 将三棱柱的侧面A1ABB1和B1BCC1以BB1为折痕展平到一个平面α上，在平面α内AC1与BB1相交，则交点即为M点，易求BM＝1，∴AM＝
，MC1＝2
，
又在棱柱中，AC1＝
，
∴cos∠AMC1＝
＝
＝－
，
∴∠AMC1＝120°，
∴S△AMC1＝
AM·MC1·sin∠AMC1
＝
×
×2
×
＝
.
10．（文）已知在正方体ABCD－A′B′C′D′中，M、N分别是A′D′、A′B′的中点，在该正方体中是否存在过顶点且与平面AMN平行的平面？
若存在，试作出该平面，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．
[分析] 假设存在经过B点与平面AMN平行的平面α，则平面A′B′C′D′与这两平行平面的交线应平行，由于M、N分别为A′D′、A′B′的中点，∴取C′D′的中点F，B′C′的中点E，则MN∥EF，可证明平面BDFE∥平面AMN，过其他点的截面同理可分析找出．
[解析] 存在．与平面AMN平行的平面有以下三种情况：
下面以图
（1）为例进行证明．
∵四边形ABEM是平行四边形，∴BE∥AM，
又BE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，∴AM∥平面BDFE.
∵MN是△A′B′D′的中位线，∴MN∥B′D′，
∵四边形BDD′B′是平行四边形，
∴BD∥B′D′，∴MN∥BD，
又BD⊂平面BDE，MN⊄平面BDE，∴MN∥平面BDFE，
又AM⊂平面AMN，MN⊂平面AMN，且AM∩MN＝M，
∴由平面与平面平行的判定定理可得，平面AMN∥平面BDFE.
（理）如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为D1C1、B1C1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q，若A1C交平面BDEF于点R，试确定点R的位置．
[解析] 如图，在正方体AC1中，∵Q∈A1C1，∴Q∈平面A1C1CA.又Q∈EF，∴Q∈平面BDEF，即Q是平面A1C1CA与平面BDEF的公共点．同理，P也是平面A1C1CA与平面BDEF的公共点．∴平面A1C1CA∩平面BDEF＝PQ，又A1C∩平面BDEF＝R，∴R∈A1C，
∴R∈平面A1C1CA，又R∈平面BDEF，∴R∈PQ，
∴R是A1C与PQ的交点．
能力拓展提升
11.（2012·山西联考）已知直线m、n与平面α、β，下列命题中正确的是（ ）
A．m∥β，α∥β，则m∥α
B．平面α内不共线三点到平面β的距离相等，则α∥β
C．α∩β＝m，n⊥m且α⊥β，则n⊥α
D．m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n
[答案] D
[解析] 当m⊂α时，也可满足m∥β，α∥β，故①错；
当α∩β＝l，三点A、B、C位于l的两侧，AB∥l，直线AB到l的距离与点C到l的距离相等时，满足A、B、C三点到平面β的距离相等，故②错；
由面面垂直的性质知，C错，因为只有在满足n⊂β内时，才能由n⊥m得出n⊥α的结论；
⇒m⊥n，故D正确．
12．如图是一正方体的表面展开图，MN和PB是两条面对角线，则在正方体中，直线MN与直线PB的位置关系为（ ）
A．相交B．平行
C．异面D．重合
[答案] C
[解析] 将表面展开图折起还原为正方体如图，故MN与PB异面．
13．（2011·山西太原调研）已知平面α和不重合的两条直线m、n，下列选项正确的是（ ）
A．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥α
B．如果m⊂α，n与α相交，那么m、n是异面直线
C．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥n
D．如果m⊥α，n⊥m，那么n∥α
[答案] C
[解析] 如图
（1）可知A错；如图
（2）可知B错；如图（3），m⊥α，n是α内的任意直线，都有n⊥m，故D错．
∵n∥α，∴n与α无公共点，∵m⊂α，∴n与m无公共点，又m、n共面，∴m∥n，故选C.
14．（2012·河南商丘二模）一个四棱锥的底面是正方形，其顶点在底面的射影为正方形的中心．已知该四棱锥的各顶点都在同一个球面上，且该四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积是________．
[答案] 16π
[解析] 由条件知，该四棱锥为正四棱锥，设底面边长为a，则
a2·3＝6，∴a＝
，O1C＝
·
＝
，
设球半径为R，则R＋
＝3，∴R＝2，
∴S球＝4πR2＝16π.
15．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、SC和DC的中点，点P在线段FG上．
（1）求证：
平面EFG∥平面SDB；
（2）求证：
PE⊥AC.
[解析]
（1）∵E、F、G分别为BC、SC、CD的中点，
∴EF∥SB，EG∥BD.
∵EF平面SBD，EG平面SBD，
∴EF∥平面SBD，EG∥平面SBD.
∵EG∩EF＝E，∴平面EFG∥平面SDB.
（2）∵B1B⊥底面ABCD，∴AC⊥B1B.
又∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.
∴AC⊥平面B1BDD1，即AC⊥平面SBD.
又平面EFG∥平面SBD，∴AC⊥平面EFG.
∵PE⊂平面EFG，∴PE⊥AC.
16．如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝1，AB＝
，点E在CD上移动．
（1）求三棱锥E－PAB的体积；
（2）试在PD上找一点F，使得PE⊥AF，并证明你的结论．
[解析]
（1）∵PA⊥平面ABCD，
∴VE－PAB＝VP－ABE＝
S△ABE·PA
＝
×
×1×
×1＝
.
（2）F是PD的中点．
∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PA.
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD⊥AD，
∵PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，
∵F是PD上的点，AF⊂平面PAD，∴AF⊥DC，
∵PA＝AD，点F是PD的中点，∴AF⊥PD，
又CD∩PD＝D，∴AF⊥平面PDC，
∵PE⊂平面PDC，∴PE⊥AF.
1．将正方体纸盒展开如图所示，直线AB，CD在原正方体中的位置关系是（ ）
A．平行B．垂直
C．相交成60°角D．异面且成60°角
[答案] D
[解析] 折起后如图，显然AB与CD异面，∵AM∥CD，△AMB为正三角形，∴∠MAB＝60°.
2．（2011·四川文，6）l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）
A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3
B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3
C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面
D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面
[答案] B
[解析] 举反例，由教室内共点的三条墙角线可知A、D是错误的；由三棱柱的三条侧棱可知C是错误的．故选B.
3.如图，M是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列四个命题：
①过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都相交；
②过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都垂直；
③过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都相交；
④过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都平行．
其中真命题是（ ）
A．②③④B．①③④
C．①②④D．①②③
[答案] C
[解析] ∵点M不在B1C1上，∴由B1C1与点M可确定唯一平面B1C1M，设此平面与AA1交点为N，则N为AA1中点，在平面ABB1A1内，B1N与BA必相交，设交点为Q，则QM与B1C1一定不平行，∴QM与AB、B1C1都相交，由作法知，这样的直线QM有且仅有一条，∴①真；
∵AB∥A1B1，A1B1与B1C1相交确定一个平面A1B1C1D1，∵过点M作平面A1B1C1D1的垂线唯一，
∴过M与AB、B1C1都垂直的直线唯一，∴②真；
过M作ME∥DC，交CC1于E，∵DC∥AB，∴ME∥AB；过M作MF∥A1D1，交AA1于F，∵A1D1∥B1C1，∴MF∥B1C1，∴AB与B1C1都与平面MEF平行，由作法知，这样的平面MEF有且仅有一个，故选C.
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