高考数学二轮复习专题一函数第4讲函数的零点问题学案02153.docx

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高考数学二轮复习专题一函数第4讲函数的零点问题学案02153

第4讲　函数的零点问题

1.函数的零点问题是高考的重点和难点内容，由于它和函数、方程有着密切的联系，所以需要我们熟悉函数的图象与性质，理解函数与方程等思想．

2.在使用函数零点存在性定理时要注意两点：

一是当函数值在一个区间上不变号时，无论这个函数单调性如何，这个函数在这个区间上都不会有零点；二是此定理只能判断函数在一个区间上是否存在零点，而不能判断在这个区间上零点的个数．

1.函数f（x）＝lgx＋的零点是__________．

答案：

解析：

因为lgx＋＝0，所以lgx＝－，所以x＝10－＝.

2.（2018·汇龙中学）函数f（x）＝2x－－a的一个零点在区间（1，2）内，则实数a的取值范围是________．

答案：

（0，3）

解析：

因为f（x）在（0，＋∞）上是增函数，则由题意得f

（1）·f

（2）＝（0－a）（3－a）＜0，解得0＜a＜3.

3.（2017·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）已知函数f（x）＝其中m＞0，若函数y＝f（f（x））－1有3个不同的零点，则实数m的取值范围是________．

答案：

（0，1）

解析：

令f（f（x））＝1，得f（x）＝或f（x）＝m－1＜0，进一步得x＝或x＝m－＜0或x＝.因为已知m＞0，所以只要m＜1即可，即得0＜m＜1.

4.（2018·南京师大附中）已知函数f（x）＝ax＋x－b的零点x0∈（n，n＋1）（n∈Z），其中常数a，b满足2a＝3，3b＝2，则n的值是________．

答案：

－1

解析：

依题意得a>1，00，f（－1）·f（0）<0.又f（x）在R上单调递增，所以x0∈（－1，0），n＝－1.

　　　　　　　　　　　　一）确定零点所在的区间

　　　　1）已知函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx.若f′

（1）＝－a，3a>2c>2b，试问：

导函数f′（x）在区间（0，2）内是否有零点？

并说明理由．

解：

因为f′（x）＝ax2＋bx＋c，f′

（1）＝－a，

所以a＋b＋c＝－a，

即3a＋2b＋2c＝0.

因为3a>2c>2b，

所以3a>0，2b<0，即a>0，b<0.　

于是f′

（1）＝－a<0，f′（0）＝c，f′

（2）＝4a＋2b＋c＝4a－（3a＋2c）＋c＝a－c，

①当c>0时，因为f′（0）＝c>0，f′

（1）＝－a<0，

则f′（x）在区间（0，1）内至少有一个零点．

②当c≤0时，因为f′

（1）＝－a<0，f′

（2）＝a－c>0，

则f′（x）在区间（1，2）内至少有一个零点．

故导函数f′（x）在区间（0，2）内至少有一个零点．

点评：

确定函数f（x）的零点所在区间的常用方法：

（1）定义法：

使用零点存在性定理，函数y＝f（x）必须在区间[a，b]上是连续的，当f（a）·f（b）<0时，函数在区间（a，b）内至少有一个零点．

（2）图象法：

若一个函数（或方程）由两个初等函数的和（或差）构成，则可考虑用图象法求解，如f（x）＝g（x）－h（x），作出y＝g（x）和y＝h（x）的图象，其交点的横坐标即为函数f（x）的零点．

已知函数f（x）＝x3－x2＋＋.求证：

存在x0∈（0，），使f（x0）＝x0.

证明：

令g（x）＝f（x）－x＝x3－x2－＋，

因为g（0）＝，g（）＝－，

所以g（0）·g（）<0.

又函数g（x）在（0，）上是连续曲线，

所以存在x0∈（0，），使g（x0）＝0，

即f（x0）＝x0.

　　　　　　　　　　　　二）求零点的个数

　　　　2）设函数g（x）＝ax2＋bx＋c（a＞0），且g

（1）＝－.

（1）求证：

函数g（x）有两个零点；

（2）讨论函数g（x）在区间（0，2）内的零点个数．

（1）证明：

因为g

（1）＝a＋b＋c＝－，所以3a＋2b＋2c＝0.

所以c＝－a－b，所以g（x）＝ax2＋bx－a－b，所以Δ＝（2a＋b）2＋2a2.

因为a＞0，所以Δ＞0恒成立．故函数g（x）有两个零点．

（2）解：

根据g（0）＝c，g

（2）＝4a＋2b＋c，由

（1）知3a＋2b＋2c＝0，所以g

（2）＝a－c.

①当c＞0时，有g（0）＞0，因为a＞0，所以g

（1）＝－＜0，所以函数g（x）在区间（0，1）内有一个零点，所以函数g（x）在区间（0，2）内至少有一个零点．

②当c≤0时，g

（1）＜0，g（0）＝c≤0，g

（2）＝a－c＞0，所以函数g（x）在区间（1，2）内有一个零点．

综上所述，函数g（x）在区间（0，2）内至少有一个零点．

点评：

判断函数零点个数的方法：

（1）方程法：

令f（x）＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．

（2）零点存在性定理法：

利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f（a）·f（b）<0，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性）才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．（3）数形结合法：

转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．

已知在区间[－4，4]上g（x）＝－x2－x＋2，f（x）＝给出下列四个命题：

①函数y＝f（g（x））有三个零点；②函数y＝g（f（x））有三个零点；③函数y＝f（f（x））有六个零点；④函数y＝g（g（x））有且只有一个零点．其中正确命题的个数是________．

答案：

4

解析：

画出函数f（x），g（x）的草图，如图，①设t＝g（x），则由f（g（x））＝0，得f（t）＝0，则t＝g（x）有三个不同值，由于y＝g（x）是减函数，所以f（g（x））＝0有3个解，所以①正确；②设m＝f（x），若g（f（x））＝0，即g（m）＝0，则m＝x0∈（1，2），所以f（x）＝x0∈（1，2），由图象知对应f（x）＝x0∈（1，2）的解有3个，所以②正确；③设n＝f（x），若f（f（x））＝0，即f（n）＝0，n＝x1∈（－3，－2）或n＝0或n＝x2＝2，而f（x）＝x1∈（－3，－2）有1个解，f（x）＝0对应有3个解，f（x）＝x2＝2对应有2个解，所以f（f（x））＝0共有6个解，所以③正确；④设s＝g（x），若g（g（x））＝0，即g（s）＝0，所以s＝x3∈（1，2），则g（x）＝x3.因为y＝g（x）是减函数，所以方程g（x）＝x3只有1个解，所以④正确．故四个命题都正确．

　　　　　　　　　　　　三）根据函数零点的存在情况求参数

　　　　3）（2018·南京、盐城一模）设函数f（x）是偶函数，当x≥0时，f（x）＝若函数y＝f（x）－m有四个不同的零点，则实数m的取值范围是________．

答案：

解析：

先画出x≥0时的函数图象，再利用偶函数的对称性得到x<0时的图象．令y＝0得f（x）＝m.令y＝f（x），y＝m，由图象可得要有四个不同的零点，则m∈.

点评：

已知函数有零点（方程有根）求参数取值范围常用的方法．

（1）直接法：

直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．

（2）分离参数法：

先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．（3）数形结合法：

先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．

（2018·南通中学练习）已知函数g（x）＝若函数y＝g（g（x））－2m有3个不同的零点，则实数m的取值范围是________．

答案：

解析：

当x<0时，g（x）＝－x＋1>0，此时g（g（x））＝（－x＋1）2－1＝x2－2x，当0≤x<1时，g（x）＝x2－1<0，此时g（g（x））＝－（x2－1）＋1＝－x2＋2，当x≥1时，g（x）＝x2－1≥0，此时g（g（x））＝（x2－1）2－1＝x4－2x2，函数y＝g（g（x））＝函数y＝g（g（x））的图象如图．

结合图象可得若函数y＝g（g（x））－2m有3个不同的零点，则实数m的取值范围是.

　　　　　　　　　　　　四）与函数零点有关的综合问题

　　　　4）（2018·通大附中）设函数fk（x）＝2x＋（k－1）·2－x（x∈R，k∈Z）．

（1）若fk（x）是偶函数，求k的值；

（2）设函数g（x）＝λf0（x）－f2（2x）－2，若g（x）在x∈[1，＋∞）上有零点，求实数λ的取值范围．

解：

（1）因为fk（x）是偶函数，所以fk（－x）＝fk（x）恒成立，

即2－x＋（k－1）·2x＝2x＋（k－1）·2－x，即（k－2）（22x－1）＝0恒成立，所以k＝2.

（2）函数g（x）＝λ（2x－2－x）－（22x＋2－2x）－2在x∈[1,＋∞）上有零点，即λ（2x－2－x）－（22x＋2－2x）－2＝0在x∈[1，＋∞）有解，

因为x∈[1，＋∞），所以2x－2－x>0，

所以问题等价于λ＝在x∈[1，＋∞）有解．

令p＝2x，则p≥2，令u＝p－，则u在p∈[2，＋∞）上单调递增，

因此，u≥，λ＝.

设r（u）＝＝u＋，任取u1>u2≥，则u1－u2>0，

r（u1）－r（u2）＝（u1＋）－（u2＋）＝.

若u1>u2≥2，则u1u2>4，所以r（u1）>r（u2），即r（u）在[2，＋∞）上单调递增；

若2≥u1>u2≥，则u1u2<4，所以r（u1）

所以函数r（u）在u＝2时取得最小值，且最小值r

（2）＝4,

所以r（u）∈[4，＋∞），

从而，满足条件的实数λ的取值范围是[4，＋∞）.

设函数f（x）＝则函数g（x）＝xf（x）－6在区间[1，22017]内的所有零点的和为________．

答案：

（22017－1）

解析：

当1≤x≤时，f（x）＝8x－8，所以g（x）＝8（x－）2－8，此时当x＝时，g（x）max＝0；

当

1.（2018·全国卷Ⅰ）已知函数f（x）＝g（x）＝f（x）＋x＋a，若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是________．

答案：

[－1，＋∞）

解析：

要使得函数g（x）＝f（x）＋x＋a有两个零点，等价于方程f（x）＝－x－a有两个实根，即函数y＝f（x）的图象与直线y＝－x－a有两个交点，从图象可知，必须使得直线y＝－x－a不在直线y＝－x＋1的上方，即－a≤1⇒a≥－1.

2.（2017·全国卷Ⅲ）已知函数f（x）＝x2－2x＋a（ex－1＋e－x＋1）有唯一零点，则a＝________．

答案：

解析：

因为f（x）＝x2－2x＋a（ex－1＋e－x＋1），所以f（2－x）＝（2－x）2－2（2－x）＋a（e2－x－1＋e－（2－x）＋1）＝x2－4x＋4－4＋2x＋a（e1－x＋ex－1）＝x2－2x＋a（ex－1＋e－x＋1），所以f（2－