完整word版八上数学第15章分式全章教案.docx
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完整word版八上数学第15章分式全章教案
第十五章分式
15.1分式
15.1.1从分数到分式
【知识与技能】
理解分式的意义，掌握使分式有意义时分母中字母的取值范围或字母之间的相互关系.
【过程与方法】
在经历探索、思考、类比的过程中，体会分式的意义，感受分式是刻画现实问题中数量关系的一种模型.
【情感态度】
进一步增强从特殊到一般的认知过程，发展学生的数学思维能力.
【教学重点】
理解分式的意义，掌握使分式有意义时分母中字母的取值范围的判别方法.
【教学难点】
在分式有意义的条件下，分式值为0的字母的取值情况.
一、情境导入，初步认识
问题一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/小时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？
二、思考探究，获取新知
问题1刚才大家通过探讨，获得到
这样的式子，它们是整式吗？
如果不是，区别在哪里？
思考1
（1）长方形的面积为10cm2，长为7cm，宽为；若长方形的面积为S，长为a，则宽应为；
（2）把体积为200cm3的水倒入底面积为33cm2的圆柱的容器中，水面高度为cm；把体积为V的水倒入底面积为S的圆柱形容器中，水面高度应为.
思考2式子S/a、V/S与10/7，200/33有什么区别？
它们与
有什么共同点？
谈谈你的看法.
分式：
一般地如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式.
问题2
（1）使分式
有意义，则x的取值有什么要求？
（2）使分式A/B有意义，所需要的条件是什么？
【教学说明】让学生自主探究，获得结论，然后相互交流，教师再予以总结.
【归纳结论】使分式A/B有意义时，必有B≠0.
三、典例精析，掌握新知
例1指出下列各式中的整式与分式：
【教学说明】教师总结判断分式的依据：
看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式.然后让学生自主探索，获得结论，这里要注意：
π不是字母，是常数，所以x/π是整式.
例2填空：
（1）当x时，分式
有意义？
（2）当b时，分式
有意义？
（3）当x，y满足关系时，分式
有意义？
（4）当x时，分式
有意义？
【教学说明】让学生自主探索，获得结论，选取一、两名同学汇报自己的结论，师生共同评论.评析时，教师应注意引导学生对（3）、（4）小题进行反思，巩固对分式有意义的条件和认识.
例3什么条件下，下列分式的值为0？
（1）
；
（2）
；（3）
.
【教学说明】教学时，教师应讲清楚使分式=0时所必须的条件是：
分子=0且分母≠0，这样让学生自己通过探讨三个问题的结论时，感知分式有意义是确定分式的值的前提条件，然后给一定时间让学生自己尝试解决所提出的问题，再由老师给予完整解答，让学生在比较、分析与反思中巩固所学知识.在完成上述例题后，教师可引导学生做教材P4练习，以巩固知识.
四、师生互动，课堂小结
1.这节课你有哪些收获？
2.通过这节课的学习，你还有哪些疑问？
与同伴交流.
【教学说明】问题都可由学生自己总结，选取代表发表自己的看法，从而系统地对本节知识进行回顾与思考，针对学生的疑问，可当堂予以解释，帮助学生掌握所学的知识.
1.布置作业：
从教材“习题15.1”中选取.
2.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分.
15.1.2分式的基本性质
【知识与技能】
掌握分式的基本性质，能依据分式性质进行约分和通分运算.
【过程与方法】
通过归纳、类比等方法得出分式的基本性质，通过观察、实验、推理等活动，发现并总结运用分式基本性质进行分式约分和通分.
【情感态度】
进一步增强学生的创新思维能力.
【教学重点】
理解并掌握分式的基本性质，能用分式的性质进行分式的约分和通分.
【教学难点】
在分式通分时找几个分母的公分母是关键，在分式的约分时应注意将分子、分母中的多项式进行分解因式.
一、情境导入，初步认识
分数的基本性质：
一个分数的分子、分母同乘以（或除以）一个不为0的数，分数的值不变.
思考下列从左到右的变形成立吗？
为什么？
二、思考探究，获取新知
（一）分式的基本性质
分式的基本性质：
分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变.
即
（A、B、C均为整式，且C≠0）
试一试
2.不改变分式的值，使下列分式的分子或分母都不含有“-”号：
3.不改变分式的值，将下列分式中分子或分母的系数化为整数：
（二）分式的约分
分式的约分：
把分式的分子、分母中的公因式约去的过程叫做分式的约分，如由
，就是分式的约分.
最简分式：
分子与分母中没有公因式的分式叫做最简分式.
分式的约分，一般要约去分子和分母中所有公因式，使所得结果成为最简分式或整式.
试一试
4.约分：
（三）分式的通分
思考：
联想分数的约分，如何进行分式的通分呢？
试一试
5.将下列分式通分：
【分析】
（1）把分式化成分母相同的分式的过程叫做分式的通分；
（2）通分的关键是确定几个分式的最简公分母，而确定最简公分母通常按以下三个步骤进行：
①取各分母系数的最小公倍数作为公分母系数；②各个分母中所有不同的因式均作为公分母中的一个因式；③所有因式的指数以它的最高次幂作为公因式中该因式的指数.
三、师生互动，课堂小结
1.通过本节课的学习，你有哪些收获？
2.通过这节课的学习，你觉得有哪些知识是难以把握的？
你有何想法？
1.布置作业：
从教材“习题15.1”中选取.
2.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分.
15.2分式的运算
15.2.1分式的乘除
第1课时分式的乘除
【知识与技能】
掌握分式的乘除法运算法则，能进行分式的乘除法运算.
【过程与方法】
在经历探索、类比、归纳的过程中，理解并掌握分式的乘除法运算法则.
【情感态度】
在类比分数乘除法运算法则获得分式乘除法法则中，让学生体验由数到式的数学发展过程，激发学生学习兴趣，增强求知欲.
【教学重点】
理解掌握分式乘除法运算法则，能用它进行分式乘除法运算.
【教学难点】
运用分式乘除法运算法则解决一些实际应用问题，进一步增强数学应用能力.
一、情境导入，初步认识
观察下列算式：
由上述算式，我们知道，分数的乘法法则是；
分数的除法法则是.
思考类比分数的乘除法法则，你能说出分式的乘除法法则吗？
二、思考探究，获取新知
类比分数的乘除法运算，可以发现分式的乘除法也有相同的运算法则.
乘法法则：
分式乘分式，把分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，用式子可表示为：
.
除法法则：
分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用式子可表示为：
.
问题
三、典例精析，掌握新知
【分析】本题是分式乘除法，分子、分母是多项式的应先把多项式分解因式再运用法则，而分式乘除法实质就是约分.
四、运用新知，深化理解
1.一个水平放置的长方体容器，其容积为V，底面的长为a，宽为b，当容器内的水占容积的m、n时，水面的高为多少？
2.大拖拉机m天耕地a公顷，小拖拉机n天耕地b公顷，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍？
五、师生互动，课堂小结
运用分式乘除法法则解决具体问题时有哪些需要注意的问题？
谈谈你的看法，与同伴交流.
1.布置作业：
从教材“习题15.2”中选取.
2.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分.
第2课时分式的乘除混合运算与分式的乘方
【知识与技能】
1.掌握分式的乘除法法则，能用它们进行分式的乘除混合运算.
2.理解分式乘方的意义，能进行有关分式乘方的运算.
【过程与方法】
通过对具体问题的探究思考，感受分式乘除混合运算、分式乘方运算方法，进一步增强类比的数学思想方法的理解.
【情感态度】
进一步增强学生的数学计算能力，发展严密的数学思维能力，增强数学学习兴趣.
【教学重点】
分式乘除、乘方混合运算能力.
【教学难点】
分式乘方法则的理解和运用.
一、情境导入，初步认识
问题分式乘除法运算法则是什么？
如何进行分式乘除法混合运算呢？
试一试
参见教材P138例4.
想一想
小明同学在计算
÷
·
时，其过程如下：
原式=
÷1=
，你认为他的计算正确吗？
说说你的理由，与同伴交流.
【教学说明】
教师延时展示上述三个问题，让学生自主探究，加深对分式乘除法法则的理解，体会分式乘除法混合运算方法.教师对学生的结论给予恰当评析，肯定学生的成绩，对出现的疑问给予鼓励，帮助他们形成正确认知.教师讲课前，先让学生完成“名师导学”.
二、思考探究，获取新知
思考参见教材P138“思考”.
【归纳结论】参见教材P138最后一段.
【教学说明】教师提出问题，由学生自主探究，发现规律，形成认知，从而感受分式乘方的意义.
试一试计算：
【教学说明】选派两名同学上黑板计算，其余同学在座位上自主探究.教师巡视，最后全班同学一道对两位同学的演示结果进行评析，教师应对学生的解答进行详细讲解，帮助学生完善认知.
【归纳结论】分式的乘方，就是把分式的分子、分母各自乘方.
三、典例精析，掌握新知
例计算：
（1）参见教材P139例5第
（2）小题；
（2）参见教材P139练习第2题第
（2）小题.
【分析】分式的乘除、乘方混合运算，应先算乘方，再算乘除，能约分的一定要约分.
【教学说明】教学时，教师应对一些学生易出现错误的地方予以强调，如（-c2d）2=-c4d2或c2d2，（-3c）3=-9c3等错误，引起学生注意.
四、运用新知，深化理解
1.参见教材P139“练习”第1题.
2.计算：
（1）参见教材P139“练习”第2题第
（1）小题；
（2）参见教材P146第3题第（4）小题.
【教学说明】
学生独立完成这些小题，然后相互交流，有时间的话，教师予以评价，让学生查漏补缺，巩固新知.
五、师生互动，课堂小结
本节课所学习的主要知识是什么？
有哪些需要特别注意的地方？
谈谈你的看法，并与同伴交流.
1.布置作业：
从教材“习题15.2”中选取.
2.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分.
15.2.2分式的加减
第1课时分式的加减
【知识与技能】
理解并掌握分式的加减法法则，能用它进行简单的分式加减.
【过程与方法】
经历探究实际问题中数量关系的过程，感受分式的加减法也是实际需要，进而掌握分式的加减方法.
【情感态度】
进一步增强用类比的思想方法解决数学问题的能力，锻炼数学应用意识和用数学解决实际问题的能力，体验数学的应用价值.
【教学重点】
分式的加减法运算方法.
【教学难点】
异分母分式的加减法即化异分母分式为同分母分式的方法.
一、情境导入，初步认识
问题1参见教材P139“问题3”.
问题2参见教材P139“问题4”.
【教学说明】让学生对上述两个问题的思考，得出算式分别为
和
，教师巡视，对不能尽快得出算式的学生给予个别指导，让学生能自主分析问题，并探寻解决问题的方法.教师讲课前，先让学生完成“名师导学”.
二、思考探究，获取新知
思考参见教材P140“思考”.
【归纳结论】同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母分式相加减，先通分，化为同分母分式，再加减.
【教学说明】在师生共同探讨获得分式加减法法则后，教师应强调以下两个问题：
①分式加减的最后结果能约分的一定要约分，化为最简分式；②异分母分式加减时，一定要先确定各分式的最简公分母，化为同分母分式后再进行加减法运算.
三、典例精析，掌握新知
例参见教材P140例6.
解：
参见教材P140例6“解”部分.
四、运用新知，深化理解
参见教材P141“练习”.
【教学说明】第1题只须与学生核对答案即可，而第2题建议选三名中等成绩同学上黑板演示，其它同学独立探究，然后师生共同评析三位同学的演算过程，在评讲过程中教师应有针对性地强调一些需注意的问题：
如
（1）中的最简公分母；
（2）中化为同分母分式后分子应适时添加括号，（3）中应先将
化为
，再通分等.
五、师生互动，课堂小结
1.在进行异分母分式的加减法运算时，应关注哪些问题？
2.通过这节课的学习，你还有哪些疑惑，与同伴交流.
【教学说明】用问题形式对本节知识进行归纳总结，让学生对知识进行梳理，形成知识体系.
1.布置作业：
从教材“习题15.2”中选取.
2.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分.
第2课时分式的混合运算
【知识与技能】
1.进一步掌握分式的加减法运算方法，能用它解决实际问题.
2.能进行分式的乘除、加减、乘方混合运算.
【过程与方法】
在具体问题情境的探索思考过程中，进一步增强学生的数学应用意识，锻炼分析问题、解决问题的能力.
【情感态度】
进一步培养学生严密的科学态度和良好的学习习惯.
【教学重点】
掌握分式乘除、加减、乘方混合运算.
【教学难点】
运用分式乘除、加减、乘方等解决实际问题.
一、情境导入，初步认识
问题1异分母分式的加减法的一般步骤有哪些？
在运算过程中有哪些需要注意的问题？
问题2在进行分式的乘除、加减，乘方混合运算时，你认为应该怎样做？
谈谈你的想法.
【教学说明】问题1的设置在于巩固上节课学过知识，并能用它解决本节问题，起承上启下作用；问题2则是让学生联想到分式乘除、分式加减法则是类比分数而得到的，因而可类比得到分式混合运算法则.在教学时，可让学生自主探究，相互交流，在探讨中形成认知.
教师讲课前，先让学生完成“名师导学”.
二、思考探究，获取新知
三、典例精析，掌握新知
四、运用新知，深化理解
2.在一块a公顷的稻田上插秧，如果10个人插秧，要用m天完成；如果一台插秧机工作，需比10个人插秧提前3天完成.一台插秧机的工作效率是一个人工作效率的多少倍？
五、师生互动，课堂小结
1.通过这节课的学习，你有哪些收获？
2.你还有哪些疑问？
与同伴交流.
1.布置作业：
从教材“习题15.2”中选取.
2.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分.
15.2.3整数指数幂
第1课时整数指数幂
【知识与技能】
理解并掌握整数指数幂的意义，能进行有关整数指数幂的运算.
【过程与方法】
在经历探索、类比、归纳、思考等活动过程中，体会由正整数指数幂扩充到整数指数幂的意义.
【情感态度】
进一步增强学生的数学思维和逻辑推理能力，增强数学学习兴趣，激发求知欲.
【教学重点】
整数指数幂的意义及运算方法.
【教学难点】
负整数指数幂的意义.
一、情境导入，初步认识
（1）当n为正整数时，an表示的实际意义是什么？
（2）正整数指数幂的运算性质有哪些？
思考一般地，am中指数m可以是负整数吗？
如果可以，那么负整数指数幂am表示什么？
二、思考探究，获取新知
试一试计算：
a3÷a5（a≠0）
方法一：
a3÷a5=
=1/a2；
方法二：
a3÷a5=a3-5=a-2.
比较上述两个结论，你有何发现？
由此你是否能找出a-m与1/am的关系呢？
【归纳结论】数学中规定：
一般地，当n为正整数时，a-n=1an（a≠0），即a-n（a≠0）是an的倒数.
你有何发现？
与同伴交流.
【归纳结论】
am·an=am+n这条性质对于m，n为任意整数情形仍然适用.
思考类似上面的探究过程，在（ab）m=am·bm，（am）n=am·n，
am÷an=am-n及（
）n=anbn中的指数m、n能否也都可以是正整数、0或负整数呢？
不妨谈谈你的看法并与同伴交流.
【归纳结论】
正整数指数幂的所有运算法则在整数范围内都是成立的.
试一试
三、典例精析，掌握新知
【教学说明】以上两例均可由学生自主完成，教师巡视，最后予以简评即可.
四、运用新知，深化理解
【教学说明】以上两题由学生独立探究，教师巡视时，对有困难的同学给予指导，再予以评讲，让学生在自查中反思，积累解题经验.
在这两题中，第1题的第
（1）、
（2）、（3）题都是负整数指数幂的运算，解答这类题一般要先把负整数指数化为正整数指数，然后再按正整数指数幂的运算性质进行计算；第（4）题要注意负整数指数幂和零指数幂的运算.
第2题的第
（1）、
（2）题按幂的运算性质计算后，把负整数指数幂写成正整数指数幂的形式，这里是应用a-n=1/an（a≠0）来转化的.第（3）题中分子、分母中的负整数指数幂改变指数的符号后就可以直接写在相应的分母、分子的位置上，依据是
=［
］n=
，即
=
（其中a≠0，b≠0，n为正整数），运用这一技巧，能使计算变得更容易.
五、师生互动，课堂小结
1.这节课你有哪些收获？
2.你认为这节课有哪些知识是难以理解的，与同伴交流.
1.布置作业：
从教材“习题15.2”中选取.
2.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分.
第2课时负整数指数幂的应用
【知识与技能】
理解并掌握用科学记数法来表示较小的数的方法.
【过程与方法】
通过具体实例感受用负整数指数幂来表示较小的数的方法.
【情感态度】
进一步增强数学应用意识，培养辩证的数学思想方法.
【教学重点】
能用科学记数法表示较小的数.
【教学难点】
用科学记数法表示较小的数时，10的指数的确定是关键.
一、情境导入，初步认识
观察下列算式：
【教学说明】通过对上述问题的思考，让学生在具体问题中初步感受绝对值小于1的任何小数都可以写成a×10n的形式，形成感性认识，为后继学习作好铺垫.
教师讲课前，先让学生完成“名师导学”.
二、思考探究，获取新知
问题我们知道，用科学记数法表示一些较大的数时，通常写成a×10n的形式，其中1≤a<10，n为正整数.在前面的思考中，我们发现对于绝对值小于1的小数也可以写成a×10n（1≤a<10）的形式，这时n是一个负整数.试问：
你能说出n的值与小数点后至第一个非0数字前0的个数之间的关系吗？
想一想，并与同伴交流.
【教学说明】在学生的相互交流过程中，老师巡视，及时予以指导，通过0.0003=3×10-4，0.00000307=3.07×10-6，-0.0000105=-1.05×10-5中小数点后至第一个非0数字前0的个数及相应的指数可得到它们之间的关系.
【归纳结论】对于一个小于1的正小数，如果小数点后至第一个非0数字前有m个0，用科学记数法表示这个数时，10的指数应为-（m+1）.
试一试
1.用科学记数法表示下列各数：
（1）0.00000001；
（2）0.0012；（3）-0.0000304.
2.请写出下列用科学记数法表示的数的原数：
（1）3.01×10-3；
（2）1.05×10-6；
（3）-6.35×10-8.
【教学说明】这两道题均可让学生独立完成，然后选取代表汇报自己的结论，师生共同评析，加深对用科学记数法来表示较小的数的理解.
三、典例精析，掌握新知
例1参见教材P145例10.
例2计算：
（1）（2×10-6）×（6×10-9）；
（2）（3×10-2）3÷（2×10-2）2.
【教学说明】以上例题由师生共同完成.
四、师生互动，课堂小结
这节课你有何收获，你还有哪些地方有疑问？
不妨说说看.
【教学说明】让学生自己反思，再次体会用科学记数法表示绝对值较小数的方法，查找还有哪些疑虑，以便适时释疑解惑，深化理解.
1.布置作业：
从教材“习题15.2”中选取.
2.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分.
本课时可类比七年级上册所学科学记数法和前一课时的负整数指数幂的教学思路.教师可试着让学生自己发现并解决问题，以进一步加深对用科学记数法表示较小的数的理解.
15.3分式方程
第1课时分式方程及其解法
【知识与技能】
1.理解分式方程的意义；
2.掌握解分式方程的基本思路和解法；
3.理解解分式方程可能无解的原因，掌握解分式方程的验根方法.
【过程与方法】
通过探索实际问题中的数量关系，体会分式方程的模型作用，在经历“实际问题——分式方程——整式方程”的过程，发展学生分析问题，解决问题的能力，渗透转化的数学思想，培养学生的应用意识.
【情感态度】
在活动中培养学生乐于探索、合作学习的习惯，培养学生努力寻找解决问题的进取心，体会数学的应用价值.
【教学重点】
解分式方程的基本思路和解法.
【教学难点】
理解解分式方程可能无解的原因，及增根的含义.
一、情境导入，初步认识
问题一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行90千米所用的时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？
【教学说明】让学生求出江水流速为v千米/时后，自主探究，获得方程.然后师生共同评析.教师讲课前，先让学生完成“名师导学”.
思考
（1）方程
与以往学过的方程有什么不同之处？
（2）什么叫分式方程？
分式方程的特征是什么？
（3）怎样解分式方程
呢？
【教学说明】教师提出问题后，学生自主探究，相互交流，得出相应结论.教师应关注学生的参与情况及解决问题的情形，适时予以点拨，最后师生共同评析.
二、思考探究，获取新知
分式方程：
分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
解分式方程的基本思路是将分式方程运用去分母的方法化成为整式方程.
如：
解方程
.
解：
在方程两边乘的最简公分母（30+v）（30-v），得
90（30-v）=60（30+v）.
解得v=6.
检验：
将v=6代入方程，左边=5/2=右边，所以v=6是原分式方程的解.
试一试
解方程
.
思考上面两个分式方程中，为什么
去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解，而
去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？
【教学说明】教师提出问题后，学生先独立解决问题，然后在小组中提出自己的看法并讨论.在学生讨论时，教师可参与交流，鼓励学生勇于探索、实践，解释产生这一现象的原因，并让学生明白解分式方程时一定要验根.
【归纳结论】
一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此；解分式方程时必须检验.检验方法可以如下：
将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；如果使最简公分母为0，则整式方程的解不是原分式方程的解，它是原分式方程增根，原分式方程无解.
三、典例精析，掌握新知
例1解方程
.
解：
方程两边同乘以x（x-3），得
2x=3（x-3）.
解得x=9.
检验：
x=9时,x（x-3）=54≠0，∴x=9是原分式方程的解.
例2解方程
.
解：
方程两边同乘以（x-1）（x+2），得
x（x+2）-（x-1）（x+2）=3
化简，得x+2=3.
解得x=1.
检验：
把x=1代入（x-1）（x+2）=0，x=1不是原分式方程的解，原分式方程无解.
【教学说明】两例都可以让学生自主完成，教师巡视，注意学生的解题格式和解题过程，发现问题，及时点拨，使学生掌握解分式方程的方法.
四、运用新知，深化理解
解下列方程：
【教学说明】学生独立完成，选三名同学上黑板解答，教师巡视，对有困难同学给予帮助，鼓励他们努力完成解答，然后全班同学评析三位上黑板同学的解答，吸取经验，总结问题，帮助自己完善认知.若有时间，教师可引导学生做教材P150练
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