广东省一等奖建模论文.docx
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广东省一等奖建模论文
2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：
我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：
所属学校（请填写完整的全名）：
参赛队员（打印并签名）：
1.
2.
3.
指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：
数学建模组
日期：
年月日
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编号专用页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：
评
阅
人
评
分
备
注
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
天然肠衣搭配的优化方案
摘要
天然肠衣（以下简称肠衣）制作加工是我国的一个传统产业，由于传统的生产方式依靠人工，生产效率比较低。
为了提高生产效率，公司计划改变组装工艺，要求设计一个原料搭配方案，工人根据这个方案“照方抓药”进行生产。
由于公司对搭配方案有几个要求，我们根据公司给出的要求建立初步的模型1，然后对模型1进行一步步的优化，以得出最终的搭配方案。
综合考虑给出的这五个条件和表1给出的不同规格，我们首先对要求
（1）（3）（4）进行初步的考虑，以装出的成品捆数最多为目标函数，并且以条件（3）和（4）作为目标函数的条件，从而运用求最优解的方法来建立最初模型1，分别求出不同规格的成品的最大捆数ni，从而得出成品总捆数，运用lingo软件算出结果。
再进一步考虑，由于条件（4）说到某种规格对应原料如果出现剩余，可以降级使用。
所以我们首先算出规格三的最大捆数是137捆和剩余的的情况（没有剩余）；再求规格二的最大捆数是37捆和剩余情况（有剩余）；把第二个规格剩余的进行降级，最后再求规格一的最大捆数是16捆和剩余情况（有剩余）。
得出总的最大成品捆数Z=137+37+16=190。
接着，采用条件
（2）的要求对模型1进行优化，那就要先把每一种规格中的每一捆的各种可能取值求出来，运用C++VC6.0软件和python软件进行编程得出所有的可能结果，以“对于成品捆数相同的方案，最短长度最长的成品越多，方案越好”为条件选出每种规格中的最优搭配方案，因而知道总的原料搭配方案，让工人根据这个方案“照方抓药”进行生产。
而条件（5）要求在30分钟内产生方案，也就是要求我们不仅会用计算机软件还要对他进行优化，使得在如此庞大的变量数下，计算机运行的时间尽量少。
而我们用的C++VC6.0软件和python软件能在30分钟内把编程运行完毕。
关键词：
最优解lingo软件C++VC6.0软件python软件编程
一、问题的重述
天然肠衣（以下简称肠衣）制作加工是我国的一个传统产业，出口量占世界首位。
肠衣经过清洗整理后被分割成长度不等的小段（原料），进入组装工序。
传统的生产方式依靠人工，边丈量原料长度边心算，将原材料按指定根数和总长度组装出成品（捆）。
原料按长度分档，通常以0.5米为一档，如：
3-3.4米按3米计算，3.5米-3.9米按3.5米计算，其余的依此类推。
表1是几种常见成品的规格，长度单位为米，∞表示没有上限，但实际长度小于26米。
表1成品规格表
最短长度
最大长度
根数
总长度
3
6.5
20
89
7
13.5
8
89
14
∞
5
89
为了提高生产效率，公司计划改变组装工艺，先丈量所有原料，建立一个原料表。
表2为某批次原料描述。
表2原料描述表
长度
3-3.4
3.5-3.9
4-4.4
4.5-4.9
5-5.4
5.5-5.9
6-6.4
6.5-6.9
根数
43
59
39
41
27
28
34
21
长度
7-7.4
7.5-7.9
8-8.4
8.5-8.9
9-9.4
9.5-9.9
10-10.4
10.5-10.9
根数
24
24
20
25
21
23
21
18
长度
11-11.4
11.5-11.9
12-12.4
12.5-12.9
13-13.4
13.5-13.9
14-14.4
14.5-14.9
根数
31
23
22
59
18
25
35
29
长度
15-15.4
15.5-15.9
16-16.4
16.5-16.9
17-17.4
17.5-17.9
18-18.4
18.5-18.9
根数
30
42
28
42
45
49
50
64
长度
19-19.4
19.5-19.9
20-20.4
20.5-20.9
21-21.4
21.5-21.9
22-22.4
22.5-22.9
根数
52
63
49
35
27
16
12
2
长度
23-23.4
23.5-23.9
24-24.4
24.5-24.9
25-25.4
25.5-25.9
根数
0
6
0
0
0
1
根据以上成品和原料描述，设计一个原料搭配方案，工人根据这个方案“照方抓药”进行生产。
公司对搭配方案有以下具体要求：
（1）对于给定的一批原料，装出的成品捆数越多越好；
（2）对于成品捆数相同的方案，最短长度最长的成品越多，方案越好；
（3）为提高原料使用率，总长度允许有±0.5米的误差，总根数允许比标准少1根；
（4）某种规格对应原料如果出现剩余，可以降级使用。
如长度为14米的原料可以和长度介于7-13.5米的进行捆扎，成品属于7-13.5米的规格；
（5）为了食品保鲜,要求在30分钟内产生方案。
请建立上述问题的数学模型，给出求解方法，并对表1、表2给出的实际数据进行求解，给出搭配方案。
二、问题的分析
天然肠衣制作加工是我国的一个传统产业，传统的生产方式依靠人工，边丈量原料长度边心算，将原材料按指定根数和总长度组装出成品（捆）。
为了提高生产效率，公司计划改变组装工艺，结合具体要求设计出一个原料搭配方案。
原料按长度分档，通常以0.5米为一档，如：
3-3.4米按3米计算，3.5米-3.9米按3.5米计算，其余的依此类推。
对于表1我们从上至下设其为第i种规格（i=1，2，3），并对不同档进行编号，如下表所示：
长度
3-3.4
3.5-3.9
4-4.4
4.5-4.9
5-5.4
5.5-5.9
6-6.4
6.5-6.9
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
长度
7-7.4
7.5-7.9
8-8.4
8.5-8.9
9-9.4
9.5-9.9
10-10.4
10.5-109
编号
9
10
11
12
13
14
15
16
长度
11-11.4
11.5-119
12-12.4
12.5-12.9
13-13.44
13.5-13.9
14-14.4
14.5-14.9
编号
17
18
19
20
21
22
23
24
长度
15-15.4
15.5-15.9
16-16.4
16.5-16.9
17-17.4
17.5-17.9
18-18.4
18.5-18.9
编号
25
26
27
28
29
30
31
32
长度
19-19.4
19.5-19.9
20-20.4
20.5-20.9
21-21.4
21.5-21.9
22-22.4
22.5-22.9
编号
33
34
35
36
37
38
39
40
长度
23-23.4
23.5-23.9
24-24.4
24.5-24.9
25-25.4
25.5-25.9
编号
41
42
43
44
45
46
由于对搭配方案有几个要求，我们根据要求建立模型，然后对模型进行一步步的优化，以得出最终的搭配方案。
首先对要求
（1）（3）（4）进行考虑，建立模型1。
要求
（1）对于给定的一批原料，装出的成品捆数越多越好，即要求每一种规格的肠衣装出的成品捆数ni都要达到最大值。
对于要求（3）为提高原料使用率，总长度允许有±0.5米的误差，总根数允许比标准少1根，既每一种规格的每一捆中总长度允许有±0.5米的误差和总根数可以比标准的少一根。
所以，结合表2可列出他们的目标函数和约束条件。
要求（4）某种规格对应原料如果出现剩余，可以降级使用。
如长度为14米的原料可以和长度介于7-13.5米的进行捆扎，成品属于7-13.5米的规格。
因此我们先从档长的那种规格出发，若有剩余的就降级到档低的那种规格。
而且没有原料可以降级使用在第三种规格原料中，情况相对比较简单。
结合目标函数和约束条件先算出第三种规格肠衣装出的成品捆数n3，并求得每档肠衣所使用的根数，即可知道所剩肠衣的档和相应的数量。
再把其放到第二种规格中降级使用，同理可求得第二种规格肠衣装出的成品捆数n2，及所剩余肠衣的档和相应数量，以此类推可求得第一种规格肠衣装出的成品捆数n1。
利用lingo软件可实现上述目标函数的求解，模型1有最优解maxZ=n1+n2+n3
再结合要求
（2）考虑，对模型进行进一步的优化。
对于成品捆数相同的方案，最短长度最长的成品越多，方案越好。
虽然已求得每种规格肠衣装出的成品最多的捆数，但是却没有知道每捆中肠衣的具体档和数量的分布，无法进行比较。
为此我们可以用C++语言VC6.0软件和python软件求得每捆中各种档的肠衣所用的根数的所有可能取值，再结合模型1所求出的数据，对每捆肠衣的档次和数量进行比较，便可知用哪些档的肠衣组成的方案更优，最优方案为模型2。
由于要算出每个规格中的所有的捆的肠衣的具体档和数量的分布，这个数据量是很庞大的，就要求运用更优越的计算机软件编程，能够在30分钟内算出来，我们用的VC6.0软件和python软件就可以达到这种效果。
三、问题假设
1）假设加工肠衣的过程中肠衣完好无损，没有断裂；
2）假设所有的肠衣没有打结
3）假设所有原料的丈量误差较小；
4）假设成品质量合格，没有不可用的肠衣；
四、符号的说明
：
第i种规格肠衣装出的成品捆数（i=1,2,3）;
：
第j档的肠衣所要用的根数（j=1,2,3...44,45,46）;
Z：
三种规格的肠衣装出的成品总捆数;
：
7-7.4米的肠衣降级使用的根数;
：
7.5-7.9米的肠衣降级使用的根数;
：
8-8.4米的肠衣降级使用的根数;
：
8.5-8.9米的肠衣降级使用的根数;
五、模型的建立与求解
原料按长度分档，通常以0.5米为一档，如：
3-3.4米按3米计算，3.5米-3.9米按
3.5米计算，其余的依此类推。
设j为档。
5．1．模型1的建立
5．1．1．求第三种规格肠衣装出的成品捆数n3
由题可知第23—46档原料用于第三种规格肠衣成品，则xj（j=23,24,..45,46）
为它们各自所需要使用的根数。
由题可知总长度允许有±0.5米的误差，可列出一个约束条件①
由题可知总根数允许比标准少1根，可列出一个约束条件②
由表2可知xi小于相应每种档次原料的根数，即③
综上所述目标函数max=n3
约束条件①②③，
xj（j=23,24,..45,46）取正整数，n3取正整数
利用lingo软件可求解得
并对比表中的数据，知第23—46档原料都用完。
（具体过程见附件1）
5.1.2.求第二种规格肠衣装出的成品捆数n2
通过求解,可知第23—46档原料都用完，不需要用在第二种规格肠衣成品中。
由题可知第9—22档的原料用于第二种规格肠衣成品中，则xj（j=9,10,..21,22）
为它们各自所需要使用的根数。
由题可知总长度允许有±0.5米的误差，可列出一个约束条件④
由题可知总根数允许比标准少1根，可列出一个约束条件⑤
由表2可知xi小于相应每种档次原料的根数，即⑥
综上所述目标函数max=n2
约束条件④⑤⑥
xj（j=9,10,..21,22）取正整数，n2取正整数
利用lingo软件可求解得
并对比表中的数据，知7-7.4米和7.5-7.9米长的肠衣都剩下24根，8-8.4米长的肠衣剩下9根，8.5-8.9米长的肠衣剩余1，而其余档的原料都用完。
（具体过程见附件2）
5．1．3．求第一种规格肠衣装出的成品捆数n1
通过求解,已知7-7.4米和7.5-7.9米长的肠衣都剩24根，8-8.4米长的肠衣剩9根，8.5-8.9米长的肠衣剩余1，可用在第一种规格肠衣成品中。
由题可知第1—8档的原料用于第一种规格肠衣成品中，则xj（j=1,2,..8,）为它们各自所需要使用的根数。
由题可知总长度允许有±0.5米的误差，可列出一个约束条件⑦
由题可知总根数允许比标准少1根，可列出一个约束条件⑧
由表2可知xi小于相应每种档次原料的根数，即如⑨
综上所述目标函数max=n1
约束条件⑦⑧⑨
xj（j=1,2,..8,9）取正整数，n1取正整数
利用lingo软件可求解得
（具体过程见附件3）
5．1．4．模型1
综上所述求得第i种规格肠衣装出的最大成品捆数ni,它们分别为n1=16，n2=37，n3=137，即可知三种规格的肠衣装出的总成品的最大捆数MaxZ=n1=+n2+n3=190
5.2.模型2的建立
5.2.1.求第一种规格中的每一捆中所有档的组合
在模型1中，可以知道每一捆总长度的表达式和总根数的表达式：
运用C++VC6.0软件对上面式子进行编程和运算，算出所有的可能组合。
编程过程见附件四，结果见程序结果1。
5.2.2.求第二种规格中每一捆中所有档的组合
由条件和表1、表2，可以知道知道每一捆总长度的表达式和总根数的表达式：
运用python软件对上面的式子进行编程和运算，算出所有的可能组合。
编程过程见附件五，结果见程序结果2。
六、模型的评价与改进
优点：
1）建立的模型通俗易懂，符号较少，比较容易读懂。
2）能合理地综合题目要求
（1）（3）（4）考虑问题，层层紧扣，使模型一步步得到优化，逻辑性较高3）运用多种计算机软件求解问题，其中包括LINGOMATLABC++软件编程，数据更加精确，可靠。
缺点：
1）题中，由于数据量太大，并且没有深入掌握计算机软件编程的应用，使得第三种规格中的各档次具体的肠衣根数没有求出，这是这篇论文的一点遗憾。
2）数据计算比较大，编程过程比较繁琐。
3）没有合理解决题目要求五中要在30分钟内产生方案问题，使得模型没有得到最优化。
七、参考文献
［1］姜启源，谢金星，叶俊编，数学模型（第三版），北京：
高等教育出版社，2003.8
［2］《Python基础教程（第2版）中文版清晰版+300dpi高清版下载》（BeginningPythonFromNovicetoProfessional,2ndEdition）（（挪）赫特兰）扫描版[PDF]［3］《Python学习手册（第3版）高清PDF中文版》（O'ReillyLearningPython,3rdEdition）（（美）鲁特兹）[PDF]［4］袁新生，邵大宏郁时炼编，LINDO和Exel在数学建模中的应用，科学出版社
附件
附件1
1）过程
max=n3;
88.5*n3<=14*x23+14.5*x24+15*x25+15.5*x26+16*x27+16.5*x28+17*x29+17.5*x30+18*x31+18.5*x32+19*x33+19.5*x34+20*x35+20.5*x36+21*x37+21.5*x38+22*x39+22.5*x40+23*x41+23.5*x42+24*x43+24.5*x44+25*x45+25.5*x46;
14*x23+14.5*x24+15*x25+15.5*x26+16*x27+16.5*x28+17*x29+17.5*x30+18*x31+18.5*x32+19*x33+19.5*x34+20*x35+20.5*x36+21*x37+21.5*x38+22*x39+22.5*x40+23*x41+23.5*x42+24*x43+24.5*x44+25*x45+25.5*x46<=89.5*n3;
4*n3<=x23+x24+x25+x26+x27+x28+x29+x30+x31+x32+x33+x34+x35+x36+x37+x38+x39+x40+x41+x42+x43+x44+x45+x46;
x23+x24+x25+x26+x27+x28+x29+x30+x31+x32+x33+x34+x35+x36+x37+x38+x39+x40+x41+x42+x43+x44+x45+x46<=5*n3;
x23<35;x24<29;x25<30;x26<42;x27<28;x28<42;x29<45;
x30<49;x31<50;x32<64;x33<52;x34<63;x35<49;x36<35;x37<27;x38<16;x39<12;x40<2;x41=0;x42<6;x43=0;x44=0;
x45=0;x46<1;
@gin（x33）;@gin（x34）;@gin（x35）;@gin（x36）;@gin（x37）;@gin（x38）;@gin（x39）;@gin（x40）;@gin（x41）;
@gin（x42）;@gin（x43）;@gin（x44）;@gin（x45）;@gin（x46）;@gin（n3）;
2）结果
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
137.0000
Extendedsolversteps:
0
Totalsolveriterations:
0
VariableValueReducedCost
N3137.0000-1.000000
X2335.000000.000000
X2429.000000.000000
X2530.000000.000000
X2642.000000.000000
X2728.000000.000000
X2842.000000.000000
X2945.000000.000000
X3049.000000.000000
X3150.000000.000000
X3264.000000.000000
X3352.000000.000000
X3463.000000.000000
X3549.000000.000000
X3635.000000.000000
X3727.000000.000000
X3816.000000.000000
X3912.000000.000000
X402.0000000.000000
X410.0000000.000000
X426.0000000.000000
X430.0000000.000000
X440.0000000.000000
X450.0000000.000000
X461.0000000.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
1137.00001.000000
235.000000.000000
3102.00000.000000
4129.00000.000000
58.0000000.000000
60.0000000.000000
70.0000000.000000
80.0000000.000000
90.0000000.000000
100.0000000.000000
110.0000000.000000
120.0000000.000000
130.0000000.000000
140.0000000.000000
150.0000000.000000
160.0000000.000000
170.0000000.000000
180.0000000.000000
190.0000000.000000
200.0000000.000000
210.0000000.000000
220.0000000.000000
230.0000000.000000
240.0000000.000000
250.0000000.000000
260.0000000.000000
270.0000000.000000
280.0000000.000000
290.0000000.000000
附件2
1）过程
max=n2;
88.5*n2<=7*x9+7.5*x10+8*x11+8.5*x12+9*x13+9.5*x14+10*x15+10.5*x16+11*x17+11.5*x18+12*x19+12.5*x20+13*x21+13.5*x22;
7*x9+7.5*x10+8*x11+8.5*x12+9*x13+9.5*x14+10*x15+10.5*x16+11*x17+11.5*x18+12*x19+12.5*x20+13*x21+13.5*x22<=89.5*n2;
7*n2<=x9+x10+x11+x12+x13+x14+x15+x16+x17+x18+x19+x20+x21+x22;
x9+x10+x11+x12+x13+x14+x15+x16+x17+x18+x19+x20+x21+x22<=8*n2;
x9<24;x10<24;x11<20;x12<25;x13<21;x14<23;x15<21;
x16<18;x17<31;x18<23;x19<22;x20<59;x21<18;x22<25;
@gin（x9）;@gin（x10）;@gin（x11）;@gin（x12）;@gin（x13）;@gin（x14）;@gin（x15）;@gin（x16）;@gin（x17）;@gin（x18）;@gin（x19）;@gin（x
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