届遵义市航天高级中学高三上学期第三次模拟考试理科数学试题及答案.docx
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届遵义市航天高级中学高三上学期第三次模拟考试理科数学试题及答案
2015～2016学年第一学期高三第三次模拟考试
理科数学试题
一.选择题：
（每小题5分，共60分。
下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）
1.已知集合，集合，则（）
A．B．C．D．
2.若复数，其中是虚数单位，则复数的模为（）
A．B．C．D．2
3．某学生在一门功课的22次考试中，所得分数如下茎叶图所示，此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为（）
A．117B．118C．118．5D．119．5
4.已知数列的前n项和为，且，则=（）
A．-16B．-32C．32D．-64
5.已知x＝log23－log2，y＝log0.5π，z＝0.9－1.1，则（ ）
A．x＜y＜zB．z＜y＜xC．y＜z＜xD．y＜x＜z
6.在中，是的中点，，点在上，且满足，则的值为（）
A．B．C．D．
7.下列结论错误的是（）
A．命题：
“若，则”的逆命题是假命题；
B．若函数可导，则是为函数极值点的必要不充分条件；
C．向量的夹角为钝角的充要条件是；
D．命题“”的否定是“”
8.执行右面的程序框图，输出的S的值为（）
A.1B.2C.3D.4
9.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是正三角形，则几何体
的外接球的表面积为（）
A．B．C．D．
10.偶函数满足,且在时,,，则函数与图象交点的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
11.已知点P是双曲线左支上一点，是双曲线的左右两个焦点，且，线段的垂直平分线恰好是该双曲线的一条渐近线，则离心率为
ABCD
12．如图，在长方形ABCD中，AB=，BC=1，E为线段DC上一动点，现将AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为（）
第12题
A．B．C．D．
二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分.把每小题的答案填在答题纸的相应位置）
13.设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x＋3y＋1的最大值为
14.已知函数,则
15.设的展开式的各项系数和为，二项式系数和为，若，则展开式中的系数为
16.数列{an}满足a1=1，且对任意的正整数m，n都有am+n=am+an+mn，则=
三、解答题：
本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.（本小题满分12分）己知函数,
（1）当时，求函数的最小值和最大值；
（2）设ABC的内角A，B，C的对应边分别为、、，且，f（C）=2，若向量与向量共线，求，的值．
18．（本小题满分12分）为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班人进行了问卷调查得到了如下的列联表：
已知在全部人中随机抽取人,抽到喜爱打篮球的学生的概率为．
（Ⅰ）请将上面的列联表补充完整（不用写计算过程）；
并求出：
有多大把握认为喜爱打篮球与性别有关，说明你的理由；
（Ⅱ）若从女生中随机抽取人调查，其中喜爱打篮球的人数为，求分布列与期望．下面的临界值表供参考：
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（参考公式：
，其中）
19.（本小题满分12分）如图，已知长方形中，,为的中点.将沿折起，使得平面平面.
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）若点是线段上的一动点，问点E在何位置时，二面角的余弦值为．
20．（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，椭圆的短轴端点与双曲线的焦点重合，过点且不垂直于轴的直线与椭圆相交于两点。
（1）求椭圆的方程；
（2）求的取值范围。
21.（本小题满分12分）已知函数
（Ⅰ）求证：
必有两个极值点α和β，一个是极大值点，—个是极小值点；
（Ⅱ）设的极小值点为α，极大值点为β，，求a、b的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设，若对于任意实数x，恒成立，求实数m的取值范围。
四、选做题（本小题满分10分．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑）
22、（满分10分）选修4-1：
几何证明选讲
如图，已知△的两条角平分线AD和CE相交于H，
，F在上，且.
（1）证明：
B,D,H,E四点共圆；
（2）证明：
平分.
23．选修4-4：
坐标系与参数方程
设圆的极坐标方程为，以极点为直角坐标系的原点，极轴为轴正半轴，两坐标系长度单位一致，建立平面直角坐标系．过圆上的一点作垂直于轴的直线，设与轴交于点，向量．
（Ⅰ）求动点的轨迹方程；
（Ⅱ）设点，求的最小值．
24．选修4-5：
不等式选讲
已知．（Ⅰ）解不等式；
（Ⅱ）对于任意的，不等式恒成立，求的取值范围
三模理科数学答案
一．选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
C
B
B
D
A
C
C
D
B
D
D
二．填空题
13.1014.15.15016.
三．解答题
17.解：
∵，∴，
∴，从而
则的最小值是，最大值是2
（2），则，
∵，∴，…8分∴，解得
∵向量与向量共线，∴，即 ①
由余弦定理得，，即 ②
由①②解得.
18
解：
（1）列联表补充如下：
喜爱打篮球
不喜爱打篮球
合计
男生
20
5
25
女生
10
15
25
合计
30
20
50
（2）∵K2=≈8.333＞7.879
∴在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为喜爱打篮球与性别有关．
（3）喜爱打篮球的女生人数ξ的可能取值为0，1，2．
其概率分别为P（ξ=0）=，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=
故ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
P
ξ的期望值为：
Eξ=0×+1×+2×=
19.解：
（Ⅰ）证明：
连接BM，则AM=BM=，所以
又因为面平面，
所以，
（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系
由（I）可知，平面ADM的法向量
设平面ABCM的法向量，
所以，
二面角的余弦值为
得，，即：
E为DB的中点。
20.1）由题意知，
。
又双曲线的焦点坐标为，，
椭圆的方程为。
（2）若直线的倾斜角为，则，
当直线的倾斜角不为时，直线可设为，
，由
设，，
，，综上所述：
范围为
21．
（Ⅰ）
令
有两实根不妨记为
极小
极大
所以，有两个极值点，一个极大值点一个极小值点
（Ⅱ），由韦达定理得
，所以
（Ⅲ）因为，所以
又因为当时，不等式恒成立且为偶函数
不妨设
，
当时，，，所以在上单调递增，所以
在上单调递增，，所以当时成立………10分
当时得
当时所以在上单调递减，所以
在上单调递减，，与条件矛盾，同理时亦如此
综上
22.分析:
此题考查平面几何知识,如四点共圆的充要条件,角平分线的性质等.
证明:
（1）在△ABC中，因为∠B＝60°,
所以∠BAC+∠BCA＝120°.因为AD,CE是角平分线,所以∠HAC+∠HCA＝60°.故∠AHC＝120°.
于是∠EHD＝∠AHC＝120°,因为∠EBD+∠EHD＝180°,所以B,D,H,E四点共圆.
（2）连结BH,则BH为∠ABC的平分线,得∠HBD＝30°.由
（1）知B,D,H,E四点共圆,
所以∠CED＝∠HBD＝30°.又∠AHE＝∠EBD＝60°,由已知可得EF⊥AD,
可得∠CEF＝30°.所以CE平分∠DEF.
23、解：
（1）由已知得N是坐标（m,0）设Q
点M在圆P=2上由P=2得
∴
Q是轨迹方程为………………………………………………5分
（Ⅱ）Q点的参数方程为
的最小值为………………………………12分
24、解：
（I）
或
解得或
∴不等式解为（－1，+）………………………………5分
（II）
设则
在（－3，0]上单调递减2
在（2，3）上单调递增2
∴在（－3，3）上2
故时不等式在（－3，3）上恒成立………………10分
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