人教版七年级数学第二学期第六章一元一次不等式和一元一次不等式组doc.docx

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第六章一元一次不等式和一元一次不等式组

教学要求

1．使学生了解不等式、不等式的解集和解不等式等概念，理解不等式的解集与方程的解的区别，并会在数轴上表示不等式的解集；

2．使学生掌握不等式的三条基本性质，并会用它们解一元一次不等式；

3．使学生了解一元一次不等式的概念，掌握利用不等式的基本性质解一元一次不等式的方法；

4．使学生了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的解集的概念，理解一元一次不等式组与一元一次不等式的区别和联系；

5．使学生掌握一元一次不等式组的解法，会用数轴确定一元一次不等式组的解集；

6．使学生能够利用一元一次不等式和一元一次不等式组的知识，解答比较简单的应用问题；

7．通过对一元一次不等式和一元一次不等式组的学习，培养学生的运算能力和逻辑推理能力，领会数形结合、分类讨论的数学思想方法，并逐步形成应用意识．

主要内容及其地位作用

本章首先引入不等式的概念和不等式的三条基本性质，接着研究不等式的解、解集及其在数轴上的表示法，然后讲述了一元一次不等式的解法，最后介绍了一元一次不等式组的解法．

本章主要研究含有未知数的不等式，并且以解不等式为主要课题．因此，本章在引入不等式的概念之后，就结合具体例子给出了不等式成立的概念；研究有没有未知数的值使不等式成立，如果有的话，把它们求出来，这就引出了不等式的解集和解不等式的问题；研究有没有未知数的值使几个不等式都成立，如果有的话，把它们求出来，这就引出了不等式组的解集和解不等式组的问题．

可以采取与解一元一次方程相类似的步骤，把不等式逐步变形，求得一元一次不等式的解集，这些变形的依据是不等式的三条基本性质和移项法则（本来应按照不等式的同解原理来解不等式，但这一内容初一的学生不易理解，本章只在“读一读”里安排了这一内容）．

解不等式组的基础是独立地解其中每一个不等式，在解的过程中，各不等式彼此不发生关系，“组”的作用在最后，即在每一个不等式的解集都求出来之后，才利用数轴从“公共部分”的角度去求“组”的解集．

本章是在学生掌握了有理数大小比较、等式及其性质和解一元一次方程的基础上学习的．本章中不等式知识体系的安排大体与方程知识体系的安排相同，并使其相对应的内容在各自的范围内处于同等的地位．因此，不等式与方程的意义，不等式与等式的性质，不等式的解集与方程的解以及解一元一次不等式与解一元一次方程等都可以对比着进行讲解．根据这一特点，本章从内容的安排到有关概念的叙述，都注意照应方程的有关内容，并在本章的“小结与复习”中，对不等式与等式的性质，以及一元一次不等式与一元一次方程的解法步骤和解的情况，列表进行了对比．应当注意的是，在进行对比时，既要说明它们的相同点，更要指出它们的不同点，揭示各自的特殊性．只有这样，才能有助于学生了解不等式的有关知识，同时避免与方程的有关知识混淆．

数量关系中的不等和相等是事物运动和平衡的反映．量的不等是普遍的、绝对的，而量的相等是局部的、相对的，这一对立面的双方还会在一定条件下相互转化．研究数量的不等关系，可以更好地认识和掌握事物运动和变化的规律．

一元一次不等式是表示不等关系的最基本的工具，又是学习其他不等式的基础（例如解一元一次不等式组就要首先解这个不等式组中的各个一元一次不等式）；同时，在不少数学问题（例如一元二次方程的根的判别、函数自变量的取值范围的确定）中，也常有直接或间接的应用．

另外，在许多问题中，需要同时考虑几个一元一次不等式，也就要用到一元一次不等式组的知识．例如，求由几个基本初等函数组成的初等函数的定义域、值域，就常常需要解一元一次不等式组．

重点、难点和关键

本章的重点是一元一次不等式的解法．引入不等式的基本性质，研究不等式的解集及其在数轴上的表示法，都是为讲解一元一次不等式的解法作准备的．学会了一元一次不等式的解法，又可以进一步学习一元一次不等式组的解法．因此，一元一次不等式的解法不仅是本章的重点，还起着承上启下的作用．

本章的难点是了解不等式的解集和不等式组的解集，以及运用不等式基本性质3．难点的形成与学生学完一元一次方程后，对于方程的两边都可以乘以或除以任何一个正数或负数，一元一次方程的解是一个数留有深刻印象有关．由于不等式与方程的相同点较多，学生容易忽视它们的不同点．因而在解不等式时，当不等式两边都乘以或除以同一个负数时，常常忘记改变不等号的方向；对于求出的不等式的解集，也往往不能真正了解它的含义．另外，解不等式组会出现无解的情况，学生不容易掌握．

本章的关键也正在于弄清不等式与方程的不同点，使学生明确不等式的解集和不等式组的解集的含义，以及正确运用不等式基本性质3．

教学注意事项

（1）由于教材编写过程中注意到以“问题解决”为知识展开的主要线索，揭示获取知识的思维过程，所以教学中要注意以教材为依托，展现知识的发生、发展和形成的过程，引导学生在思维上深层次地参与，在观察、比较、分析、综合、类比、对比、抽象、概括等思维过程中，透彻地掌握数学知识，领会蕴含其中的数学思想方法，学会分析问题解决问题的方法．所以，在教学中要结合实际，精心设计教学过程，给学生创设参与教学活动的空间和时间，这样把教法改革与教材改革结合起来，才能最大限度地提高课堂教学的效益．

（2）培养类比和对比的思维方法．

类比与对比运用的是比较的逻辑方法，比较就是在思维中确定这一事物与另一事物的相同点与不同点的方法．在数学教学中，运用比较可以调动学生积极思考问题，自觉主动地去获取知识．把两个（或两类）不同的数学对象进行比较，如果发现它们在某些方面有相同或类似之处，那么，就推断它们在其他方面也可能有相同或类似之处，这种推理形式就是类比；如果发现它们在某些方面有什么不同之处，从而推出新的结论，这种推理形式就是对比．

从教学方法上说，类比是指出新旧知识的相同点，利用学生已有的知识来认识新知识；而对比则是指出新旧知识的相异点，进一步加深对新知识的理解，从而得到比较全面的认识．正反两个方面，相辅相成，揭示新旧知识的本质．本章教材内容为培养学生比较、类比、对比的思维方法提供了很好的素材，而正确运用这些思维方法也是熟练、透彻掌握这部分知识的基础．

在教学中要注意与方程的类比与对比．由于不等式与方程的相同点比较多，学生容易受多年来等式性质及等式运算思维定势的影响，而不注意两者的区别，产生了负迁移．因此，在不等式的概念、不等式的解集及其在数轴上的表示、不等式的基本性质和同解原理、一元一次不等式的解法、不等式的应用等各个环节的教学，都要在类比和对比上下功夫，通过类比找到相同点，通过对比找到区别，通过教学搭好学生认知的桥梁，就可以克服教学中的难点．

（3）“化归、转化”思想是解各类不等式题目的指导思想．这种数学思想在解一元一次方程时已经进行了渗透，在本章教学中要进一步让学生领会：

去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化成1都是为了完成这个转化过程，直到求出不等式的解，但转化是有条件的，这就是不等式的同解原理，尤其在去分母和把系数化成1的过程中，如果系数或除数是负数，要把不等号改变方向．

（4）在本章教学中，除去“化归、转化”的数学思想以外，还要注意渗透数形结合、分类讨论等数学思想．不等式的问题通过数轴可以转化为形的问题，得到直观的启示；反之，有些形的问题，通过数轴又可转化为不等式．因此，这部分教学内容为渗透数形结合的思想提供了很好的机会．由于教材中增加了一些含有字母系数的不等式和可以转化为不等式组的题目，更有利于向学生渗透分类讨论的思想．在教学中，我们要增强数学思想方法教学的意识，但又要从学生的实际出发，侧重渗透，掌握好深度，以克服学习中的困难．

（5）培养学生的逻辑推理能力不仅是几何教学的任务，在代数教学中也同样可以进行．解不等式或不等式组是一种运算，在培养运算能力的过程中，注意引导学生搞清解法根据，做到言必有据，有利于培养学生的逻辑思维能力．

（6）在列一元一次方程解应用题的教学中，学生已经完成了由列算术式的思维模式到列方程思维模式的过渡．现在进行的通过列一元一次不等式或一元一次不等式组解应用题，打破了列方程的思维模式，但又强化了把应用问题转化为数学问题，然后再回到应用问题的思维模式．这对于提高学生的应用意识，提高分析问题解决问题的能力是有益的．下面的框图有助于学习理解和掌握这一思维模式：

在适当时机，可以对此加以介绍，并与列方程解应用题进行比较．

第21课不等式和它的基本性质

教学目标

1．使学生理解不等式的概念，初步掌握不等式的三条基本性质；

2．培养学生对比以及观察、分析问题的能力，并初步领会对比的思想方法．

教学重点和难点

重点：

不等式的三条基本性质．

难点：

不等式的基本性质3．

课堂教学过程设计

一、引言

1．先看两个例子．

①两个天平秤物都不平衡的图片；

②某天的气温最低是－5℃，最高是10℃．

教师引导学生得出：

①说明天平两边所放物体重量不相等；②说明气温不相等．

2．在此基础上，教师指出，在实际生活中，同类量之间具有一种不相等的关系．这种不相等的关系是大量存在的，是普遍的，本章将从了解表示不相等关系的不等式的意义开始，研究不等式的性质，一元一次不等式和它的解法，一元一次不等式组和它的解法．

本节课我们首先来学习不等式的概念及其基本性质．

二、从学生原有的认知结构提出问题

1．什么叫等式？

等式的性质是什么？

（注意强调等式两边都乘以或都除以（除数不为零）同一个数，所得到的仍是等式）

2．当x取何值时，等式x＋2=6成立？

当x取何值时，等式x＋2=6不成立？

3．用“＜”或“＞”号填空：

（1）－7____－5；

（2）（－3）4____34；

（3）（－4）2____（－3）2；（4）|－0.5|____|－1000|；

（5）3＋4____1＋4；（6）5＋3____12－5；

（7）6×3____4×3；（8）6×（－3）____4×（－3）．

（注意追问理由，要求用有理数比较大小的法则回答）

4．c一定是正数吗？

－a一定是负数吗？

（以上各题均用投影仪陆续打在屏幕上）

三、引导学生通过观察实例，讨论不等式的概念

1．观察下列式子：

（投影）

－7＜－5；3＋4＞1＋4；

5＋3≠12－5；a≠0；

a＋2＞a＋1；x＋2＜6．

针对上述各式，提出如下问题：

①上述各式都是表示怎样的关系的式子？

②什么叫不等式？

（若学生回答有困难，教师应提醒学生仿照等式的定义来回答）

此时，教师应指出：

前面复习提问中的第（3）题中的各小题的式子都叫不等式．而我们只研究用小于号“＜”，大于号“＞”表示的不等式．

2．研究不等式x＋2＜6

（1）这是用小于号连接代数式x＋2和6所成的不等式，这里x表示未知数．

（2）若未知数x取某一个值（如x=2），使代数式x＋2小于6，我们说当x=2时，不等式x＋2＜6成立；若当x取另一个数值（如x=4）代数式x＋2的值不小于6，我们说当x=4时，不等式x＋2＜6不成立．

（3）提问：

①当x=－1.5时，不等式x＋2＜6是否成立？

当x=0呢？

当x=5呢？

②说出几个使不等式成立的x的值．

说出几个使不等式不成立的x的值．

（引导学生回答，使不等式x＋2＜6成立的未知数x的取值不仅有正整数，还有零、负整数，小数）

练习（投影）

1．用不等式表示：

（1）a是正数；

（2）a是负数；

（3）a与b的和小于5；（4）x与2的差大于－1；

（5）x的4倍大于7；（6）y的一半小于3．

2．当x=2时，不等式x＋3＞4成立吗？

当x=1.5时呢？

当x=－1时呢？

（请学生回答，并订正）

四、运用对比的方法，引导学生猜想出不等式的三条基本性质，并通过实例加以验证

首先，让学生用“＞”或“＜’号填空：

（1）7＋3＿4＋3；

（2）7＋（－3）＿4＋（－3）；

（3）7×3＿4×3；（4）7×（－3）＿4×（－3）．

然后，启发学生由上面第

（1）、

（2）小题猜想出与等式的基本性质类似的不等式的性质．并请学生叙述不等式的基本性质1．此时，教师应抓住学生叙述中的问题予以纠正．即不能笼统地说“仍是不等式”，要改为书中所说的“不等号的方向不变”．

对比等式中关于两边都乘以或除以同一个数的性质，让学生思考不等式类似的性质．

引导学生观察上述第（3）、（4）小题，并将题中的3换成5，－3换成－5，按题中的要求再做一遍，并猜想出结论．然后让学生试着叙述所得到的不等式的基本性质．（在观察上述练习题时，引导学生注意不等号的方向，并用彩色粉笔标出来，并问原因是什么？

当学生在叙述不等式的基本性质感到困难时，教师应作适当的引导，启发．并依次板书这几条基本性质）

不等式基本性质：

1．不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．

2．不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．

3．不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．

然后，让学生用不等式－2＜4两边都分别加上5，－6，两边都分别乘以3，－3来验证上述不等式的三条基本性质．

问题：

（1）在不等式－2＜6两边都乘以m后，结论将会怎样？

（当字母m的取值不明确时，需对m分情况讨论）

（2）比较等式性质与不等式的基本性质的异同．

（问这两个问题的目的在于，强化学生对不等式基本性质的理解，特别是对不等式基本性质3的理解）

巧记不等式的性质

同加或减同一数，不等式号还如故．

同乘除以同一数，要看此数正与负．

只有负数才变号，是零还要分乘除．

乘零两边变相等，数零不能做除数。

五、应用举例，变式练习

例1根据不等式基本性质，把下列等式化成x＞a或x＜a的形式：

（1）x－2＜3；

（2）6x＜5x－1；

解：

（1）由不等式的基本性质1可知，不等式的两边都加上2，不等号的方向不变，所以

x－2＋2＜3＋2，

x＜5．

（2）、（3）、（4）题略．

（解题时，要求学生要联想解一元一次方程的思想方法，并将原题与x＞a或x＜a对照着用哪条基本性质能达到题目要求．同时强调推理的根据，尤其要注意不等式基本性质3和基本性质2的区别，解题书写要规范）

例2设a＞b，用“＜”或“＞”号填空：

解：

（1）因为a＞b，两边都减去3，所以由不等式基本性质1，得

a－3＞b－3．

（2），（3）题略．

（4）因为a＞b，两边都乘以m．

当m＞0时，由不等式基本性质2，得

ma＞mb，

当m＜0时，由不等式基本性质3，得

ma＜mb．

（解题时，要让学生明白推理要有根据，并要求以后做类似的习题时，都要写出根据，逐步培养学生逻辑思维的能力）

练习（投影）

1．根据不等式的基本性质，把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式：

（1）x＋1＞2；

（2）4x＜3x－5；

（5）3x＜x＋4；（6）x＜3x＋4．

2．设a＜b，用“＞”或“＜”号填空：

（1）a＋5____b＋5；

（2）2a____2b；

六、师生共同小结

首先，让学生回答如下问题：

1．本节课学习哪些内容？

2．不等式的三条基本性质与等式的性质异同点是什么？

3．运用什么思想方法来学习不等式的基本性质的？

然后，在学生回答上述问题的基础上，教师指出：

①在运用不等式的基本性质时，要特别注意不等式的基本性质3，也就是注意在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，一定要分清是正数还是负数，对于代表任意数的字母要分情况加以讨论；②在学习不等式的基本性质时，我们运用了对比的方法，它是学习不等式这章所采用的一种重要的思想方法．

第22课不等式的基本性质

教学目标

1．使学生掌握不等式的三条基本性质；

2．培养学生观察、分析、比较的能力，提高他们灵活地运用所学知识解题的能力．

教学重点和难点

重点：

不等式的三条基本性质的运用．

难点：

不等式的基本性质3的运用．

课堂教学过程设计

一、从学生原有的认知结构提出问题

1．什么叫不等式？

说出不等式的三条基本性质．

2．当x取下列数值时，不等式1－5x＜16是否成立？

－4.5，－4，－3，4，2.5，0，－1．

3．用不等式表示下列数量关系：

（1）x的3倍大于x的2倍与5的差；

（3）y的一半与4的和是负数；

（4）5与a的4倍的差不是正数．

4．按照下列条件写出仍然成立的不等式，并说明根据不等式的哪一条基本性质：

（1）m＞n，两边都减去3；

（2）m＞n，两边同乘以3；

（3）m＞n，两边同乘以－3；（4）m＞n，两边同乘以m；

（以上各题中，从第2题开始，用投影仪打在屏幕上．学生在回答上述问题时，如遇到困难，教师应做适当点拨）

在学生回答完上述问题的基础上，教师指出：

本节课我们将通过学习例题和练习，进一步巩固并熟练掌握不等式的基本性质，尤其是不等式基本性质3．

二、讲授新课

例1在下列各题横线上填入不等号，使不等式成立．并说明是根据哪一条不等式基本性质．

（1）若a－3＜9，则a____12；

（2）若－a＜10，则a____－10；

答：

（1）a＜12，根据不等式基本性质1．

（2）a＞－10，根据不等式基本性质3．

（3）a＞－4，根据不等式基本性质2．

（4）a＜0，根据不等式基本性质3．

（在讲授本题时，应启发学生在添加不等号“＞”或“＜”时，要和题目中的已知条件进行对比，观察它是根据不等式的哪条基本性质，是怎样由已知条件变形得到的．同时还应强调在运用不等式基本性质3时，不等号要改变方向）

例2已知a＜0，用“＜”或“＞”号填空：

（1）a＋2____2；

（2）a－1____－1；

（5）a2____0；（6）a3____0；

（7）a－1____0；（8）｜a｜____0．

答：

（1）a＋2＜2，根据不等式基本性质1．

（2）a－1＜－1，根据不等式基本性质1．

（3）3a＜0，根据不等式基本性质2.

.

（5）因为a＜0，两边同乘以a＜0，由不等式基本性质3，得a2＞0．

（6）因为a＜0，两边同乘以a2＞0，由不等式基本性质2，得a3＜0．

（7）因为a＜0，两边同加上－1，由不等式基本性质1，得a－1＜－1．

又已知，－1＜0，所以a－1＜0．

（8）因为a＜0，所以a≠0，所以｜a｜＞0．

（本例题除了进一步运用不等式的三条基本性质外，还涉及了一些旧的基础知识．如a＜0表示a是负数；a＞0表示a是正数；｜a｜是非负数等．后面几个小题较灵活，条件由具体数字改为抽象的字母，这里字母代表正数还是代表负数是解决问题的关键）

例3判断下列各题的推导是否正确？

为什么？

（投影）（请学生口答）

（1）因为7.5＞5.7，所以－7.5＜－5.7；

（2）因为a＋8＞4，所以a＞－4；

（3）因为4a＞4b，所以a＞b；

（6）因为－1＞－2，所以－a－1＞－a－2；

（7）因为3＞2，所以3a＞2a．

答：

（1）正确，根据不等式基本性质3．

（2）正确，根据不等式基本性质1．

（3）正确，根据不等式基本性质2．

（5）不对，根据不等式基本性质3，应改为a＜4．

（6）正确，根据不等式基本性质1．

（7）不对，应分情况逐一讨论．

当a＞0时，3a＞2a．（不等式基本性质2）

当a=0时，3a=2a.

当a＜0时，3a＜2a．（不等式基本性质3）

（学生在回答本题的过程中，当遇到困难或问题时，教师应做适当引导、启发、帮助）

三、课堂练习（投影）

1．按照下列条件，写出仍能成立的不等式：

（1）由－2＜－1，两边都加－a；

（3）由7＞5，两边都乘以不为零的－a．

2．用“＞”或“＜”号填空：

（1）当a－b＜0时，a____b；

（2）当a＜0，b＜0时，ab____0；

（3）当a＜0，b＞0时，ab____0；（4）当a＞0，b＜0时，ab____0；

（5）若a＿0，b＜0，则ab＞0；

四、师生共同小结

在师生共同回顾本节课所学内容的基础上，教师指出：

①在利用不等式的基本性质进行变形时，当不等式的两边都乘以（或除以）同一个字母，字母代表什么数是问题的关键，这决定了是用不等式基本性质2还是基本性质3，也就是不等号是否要改变方向的问题；②运用不等式基本性质3时，要变两个号，一个性质符号，另一个是不等号．

第23课不等式的解集

教学目标

1．使学生正确理解不等式的解，不等式的解集，解不等式等概念，掌握在数轴上表示不等式的解的集合的方法；

2．培养学生观察、分析、比较的能力，并初步掌握对比的思想方法；

3．在本节课的教学过程中，渗透数形结合的思想，并使学生初步学会运用数形结合的观点去分析问题、解决问题．

教学重点和难点

重点：

不等式的解集的概念及在数轴上表示不等式的解集的方法．

难点：

不等式的解集的概念．

课堂教学过程设计

一、从学生原有的认知结构提出问题

1．什么叫不等式？

什么叫方程？

什么叫方程的解？

（请学生举例说明）

2．用不等式表示：

（1）x的3倍大于1；

（2）y与5的差大于零；

3．当x取下列数值时，不等式x＋3＜6是否成立？

－4，3.5，4，－2.5，3，0，2.9．

（2、3两题用投影仪打在屏幕上）

二、讲授新课

1．引导学生运用对比的方法，得出不等式的解的概念

2．不等式的解集及解不等式

首先，向学生提出如下问题：

不等式x＋3＜6，除了上面提到的，－4，－2.5，0，2.9是它的解外，还有没有其它的解？

若有，解的个数是多少？

它们的分布是有什么规律？

（启发学生利用试验的方法，结合数轴直观研究．具体作法是，在数轴上将是x＋3＜6的解的数值－4，－2.5，0，2.9用实心圆点画出，将不是x＋3＜6的解的数值3.5，4，3用空心圆圈画出，好像是“挖去了”一样．如下图所示）

然后，启发学生，通过观察这些点在数轴上的分布情况，可看出寻求不等式x＋3＜6的解的关键值是“3”，用小于3的任何数替代x，不等式x＋3＜6均成立；用大于或等于3的任何数替代x，不等式x＋3＜6均不成立．即能使不等式x＋3＜6成立的未知数x的值是小于3的所有数，用不等式表示为x＜3．把能够使不等式x＋3＜6成立的所有x值的集合叫做不等式x＋3＜6的解的集合．简称不等式x＋3＜6的解集，记作x＜3．

最后，请学生总结出不等式的解集及解不等式的概念．（若学生总结有困难，教师可作适当的启发、补充）

一般地说，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合．简称为这个不等式的解集．

不等式一般有无限多个解．

求不等式的解集的过程，叫做解不等式．

3．启发学生如何在数轴上表示不等式的解集

我们知道解不等式不能只求个别解，而应求它的解集．一般而言，不等式的解集不是由一个数或几个数组成的，而是由无限多个数组成的，如x＜3．那么如何在数轴上直观地表示不等式x＋3＜6的解集x＜3呢？

（先让学生想一想，然后请一名学生到黑板上试着用数轴表示一下，其余同学在下面自行完成，教师巡视，并针对黑板上板演的结果做讲解）

在数轴上表示3的点的左边部分，表示解集x＜3．如下图所示．

由于x=3不是不等式x＋3＜6的解，所以其中表示3的点用空心圆圈标出来．（表示挖去x=3这个点）

记号“≥”读作大于或等于，既不小于；记号“≤”读作小于或等于，即不大于．

例如不等式x＋5≥3的解集是x≥－2（想一想，为什么？

并请一名学生回答）在数轴上表示如下图．

即用数轴上表示－2的点和它的右边部分表示出来．由于解中包含X=－2，故其中表示－2的点用实心圆点表示．

此处，教师应强调，这里特别要注意区别是用空心圆圈“°”还是用实心圆点“·”，是左边部分，还是右边部分