初中数学函数知识点.docx

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初中数学函数知识点

1．常量和变量

在某变化过程中可以取不同数值的量，叫做变量．在某变化过程中保持同一数值的量或数，叫常量或常数．

2．函数

设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x在某一范围的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数．

3．自变量的取值范围

（1）整式：

自变量取一切实数．

（2）分式：

分母不为零．

（3）偶次方根：

被开方数为非负数．

（4）零指数与负整数指数幂：

底数不为零．

4．函数值

对于自变量在取值范围内的一个确定的值，如当x＝a时，函数有唯一确定的对应值，这个对应值，叫做x＝a时的函数值．

5．函数的表示法

（1）解析法；

（2）列表法；（3）图象法．

6．函数的图象

把自变量x的一个值和函数y的对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，可以在平面直角坐标系内描出一个点，所有这些点的集合，叫做这个函数的图象．

由函数解析式画函数图象的步骤：

（1）写出函数解析式及自变量的取值范围；

（2）列表：

列表给出自变量与函数的一些对应值；

（3）描点：

以表中对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；

（4）连线：

用平滑曲线，按照自变量由小到大的顺序，把所描各点连接起来．

7．一次函数

（1）一次函数

如果y＝kx＋b（k、b是常数，k≠0），那么y叫做x的一次函数．

特别地，当b＝0时，一次函数y＝kx＋b成为y＝kx（k是常数，k≠0），这时，y叫做x的正比例函数．

（2）一次函数的图象

一次函数y＝kx＋b的图象是一条经过（0，b）点和点的直线．

特别地，正比例函数图象是一条经过原点的直线．

需要说明的是，在平面直角坐标系中，“直线”并不等价于“一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象”，因为还有直线y＝m（此时k＝0）和直线x＝n（此时k不存在），它们不是一次函数图象．

（3）一次函数的性质

当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．

直线y＝kx＋b与y轴的交点坐标为（0，b），与x轴的交点坐标为．

（4）用函数观点看方程（组）与不等式

①任何一元一次方程都可以转化为ax＋b＝0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：

一次函数y＝kx＋b（k，b为常数，k≠0），当y＝0时，求相应的自变量的值，从图象上看，相当于已知直线y＝kx＋b，确定它与x轴交点的横坐标．

②二元一次方程组对应两个一次函数，于是也对应两条直线，从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数值相等，以及这两个函数值是何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线的交点的坐标．

③任何一元一次不等式都可以转化ax＋b＞0或ax＋b＜0（a、b为常数，a≠0）的形式，解一元一次不等式可以看做：

当一次函数值大于0或小于0时，求自变量相应的取值范围．

8．反比例函数

（1）反比例函数

如果（k是常数，k≠0），那么y叫做x的反比例函数．

（2）反比例函数的图象

反比例函数的图象是双曲线．

（3）反比例函数的性质

①当k＞0时，图象的两个分支分别在第一、三象限内，在各自的象限内，y随x的增大而减小．

②当k＜0时，图象的两个分支分别在第二、四象限内，在各自的象限内，y随x的增大而增大．

③反比例函数图象关于直线y＝±x对称，关于原点对称．

（4）k的两种求法

①若点（x0，y0）在双曲线上，则k＝x0y0．

②k的几何意义：

若双曲线上任一点A（x，y），AB⊥x轴于B，则S△AOB

（5）正比例函数和反比例函数的交点问题

若正比例函数y＝k1x（k1≠0），反比例函数，则

当k1k2＜0时，两函数图象无交点；

当k1k2＞0时，两函数图象有两个交点，坐标分别为由此可知，正反比例函数的图象若有交点，两交点一定关于原点对称．

1．二次函数

如果y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数．

几种特殊的二次函数：

y＝ax2（a≠0）；y＝ax2＋c（ac≠0）；y＝ax2＋bx（ab≠0）；y＝a（x－h）2（a≠0）．

2．二次函数的图象

二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象是对称轴平行于y轴的一条抛物线．

由y＝ax2（a≠0）的图象，通过平移可得到y＝a（x－h）2＋k（a≠0）的图象．

3．二次函数的性质

二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质对应在它的图象上，有如下性质：

（1）抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是，对称轴是直线，顶点必在对称轴上；

（2）若a＞0，抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向上，因此，对于抛物线上的任意一点（x，y），当x＜时，y随x的增大而减小；当x＞时，y随x的增大而增大；当x＝，y有最小值；

若a＜0，抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，因此，对于抛物线上的任意一点（x，y），当x＜，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小；当x＝时，y有最大值；

（3）抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴的交点为（0，c）；

（4）在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，令y＝0可得到抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的情况：

＜0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴没有公共点．∆＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴只有一个公共点，即为此抛物线的顶点；当∆＝b2－4ac＞0，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有两个不同的公共点，它们的坐标分别是和，这两点的距离为；当∆当

4．抛物线的平移

抛物线y＝a（x－h）2＋k与y＝ax2形状相同，位置不同．把抛物线y＝ax2向上（下）、向左（右）平移，可以得到抛物线y＝a（x－h）2＋k．平移的方向、距离要根据h、k的值来决定．

函数知识点总结（掌握函数的定义、性质和图像）

（一）平面直角坐标系

1、定义：

平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系

2、各个象限内点的特征:

第一象限：

（+，+）点P（x,y），则x＞0,y＞0；

第二象限：

（-，+）点P（x,y），则x＜0,y＞0；

第三象限：

（-，-）点P（x,y），则x＜0,y＜0；

第四象限：

（+，-）点P（x,y），则x＞0,y＜0；

3、坐标轴上点的坐标特征：

x轴上的点，纵坐标为零；y轴上的点，横坐标为零；原点的坐标为（0,0）。

两坐标轴的点不属于任何象限。

4、点的对称特征：

已知点P（m,n）,

关于x轴的对称点坐标是（m,-n）,横坐标相同，纵坐标反号

关于y轴的对称点坐标是（-m,n）纵坐标相同，横坐标反号

关于原点的对称点坐标是（-m,-n）横，纵坐标都反号

5、平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征：

平行于x轴的直线上的任意两点：

纵坐标相等；

平行于y轴的直线上的任意两点：

横坐标相等。

6、各象限角平分线上的点的坐标特征：

第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等。

第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。

7、点P（x,y）的几何意义：

点P（x,y）到x轴的距离为|y|，

点P（x,y）到y轴的距离为|x|。

点P（x,y）到坐标原点的距离为

8、两点之间的距离：

X轴上两点为A

、B

|AB|

Y轴上两点为C

、D

|CD|

已知A

、B

AB|=

9、中点坐标公式：

已知A

、B

M为AB的中点

则：

M=（

）

10、点的平移特征：

在平面直角坐标系中，

将点（x,y）向右平移a个单位长度，可以得到对应点（x-a，y）；

将点（x,y）向左平移a个单位长度，可以得到对应点（x+a，y）；

将点（x,y）向上平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y＋b）；

将点（x,y）向下平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y－b）。

注意：

对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来，从图形上点的坐标的加减变化，我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移。

（二）函数的基本知识：

基本概念

1、变量：

在一个变化过程中可以取不同数值的量。

常量：

在一个变化过程中只能取同一数值的量。

2、函数：

一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。

*判断A是否为B的函数，只要看B取值确定的时候，A是否有唯一确定的值与之对应

3、定义域：

一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。

4、确定函数定义域的方法：

（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；

（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；

（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；

（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；

（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。

5、函数的图像

一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．

6、函数解析式：

用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。

7、描点法画函数图形的一般步骤

第一步：

列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；

第二步：

描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；

第三步：

连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。

8、函数的表示方法

列表法：

一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。

解析式法：

简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。

图象法：

形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。

（三）正比例函数和一次函数

1、正比例函数及性质

一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.

注：

正比例函数一般形式y=kx（k不为零）

k不为零

x指数为1

b取零

当k>0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k<0时，直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小．

（1）解析式：

y=kx（k是常数，k≠0）

（2）必过点：

（0，0）、（1，k）

（3）走向：

k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，图像经过二、四象限

（4）增减性：

k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小

（5）倾斜度：

|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴

2、一次函数及性质

一般地，形如y=kx＋b（k,b是常数，k≠0），那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx＋b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.

注：

一次函数一般形式y=kx+b（k不为零）

k不为零

x指数为1

b取任意实数

一次函数y=kx+b的图象是经过（0，b）和（-

，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）

（1）解析式：

y=kx+b（k、b是常数，k

0）

（2）必过点：

（0，b）和（-

，0）

（3）走向：

k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限

b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限

直线经过第一、二、三象限

直线经过第一、三、四象限

直线经过第一、二、四象限

直线经过第二、三、四象限

注：

y＝kx+b中的k，b的作用：

1、k决定着直线的变化趋势

①k>0直线