高考数学理一轮复习题库28函数与方程.docx

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高考数学理一轮复习题库28函数与方程

1．函数的零点

（1）函数零点的定义

对于函数y＝f（x）（x∈D），把使f（x）＝0的实数x叫做函数y＝f（x）（x∈D）的零点．

（2）几个等价关系

方程f（x）＝0有实数根⇔函数y＝f（x）的图象与x轴有交点⇔函数y＝f（x）有零点．

（3）函数零点的判定（零点存在性定理）

如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）·f（b）<0，那么，函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝0，这个__c__也就是方程f（x）＝0的根．

2．二分法

对于在区间[a，b]上连续不断且f（a）·f（b）<0的函数y＝f（x），通过不断地把函数f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

3．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a>0）的图象与零点的关系

Δ>0

Δ＝0

Δ<0

二次函数y＝ax2＋bx＋c（a>0）的图象

与x轴的交点

（x1,0），（x2,0）

（x1,0）

无交点

零点个数

2

1

0

【知识拓展】

1．有关函数零点的结论

（1）若连续不断的函数f（x）在定义域上是单调函数，则f（x）至多有一个零点．

（2）连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．

（3）连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．

2．三个等价关系

方程f（x）＝0有实数根⇔函数y＝f（x）的图象与x轴有交点⇔函数y＝f（x）有零点．

【思考辨析】

判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．（　×　）

（2）函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点（函数图象连续不断），则f（a）·f（b）<0.（　×　）

（3）只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．（　×　）

（4）二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）在b2－4ac<0时没有零点．（　√　）

（5）若函数f（x）在（a，b）上单调且f（a）·f（b）<0，则函数f（x）在[a，b]上有且只有一个零点．（　√　）

1．（教材改编）函数的零点个数为（　　）

A．0B．1C．2D．3

答案　B

解析　f（x）是增函数，又f（0）＝－1，f

（1）＝，

∴f（0）f

（1）<0，∴f（x）有且只有一个零点．

2．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（　　）

A．y＝cosxB．y＝sinx

C．y＝lnxD．y＝x2＋1

答案　A

解析　由于y＝sinx是奇函数；y＝lnx是非奇非偶函数；y＝x2＋1是偶函数但没有零点；只有y＝cosx是偶函数又有零点．

3．（2016·吉林长春检测）函数f（x）＝lnx＋x－－2的零点所在的区间是（　　）

A．（，1）B．（1,2）

C．（2，e）D．（e,3）

答案　C

解析　因为f（）＝－＋－e－2<0，f

（1）＝－2<0，f

（2）＝ln2－<0，f（e）＝＋e－－2>0，

所以f

（2）f（e）<0，所以函数f（x）＝lnx＋x－－2的零点所在区间是（2，e）．

4．函数f（x）＝2x|log0.5x|－1的零点个数为________．

答案　2

解析　由f（x）＝0，得|log0.5x|＝x，

作出函数y＝|log0.5x|和y＝x的图象，

由图象知两函数图象有2个交点，

故函数f（x）有2个零点．

5．函数f（x）＝ax＋1－2a在区间（－1,1）上存在一个零点，则实数a的取值范围是________．

答案　

解析　∵函数f（x）的图象为直线，由题意可得

f（－1）f

（1）<0，

∴（－3a＋1）·（1－a）<0，解得

∴实数a的取值范围是.

题型一　函数零点的确定

命题点1　确定函数零点所在区间

例1　

（1）（2017·长沙调研）已知函数f（x）＝lnx－x－2的零点为x0，则x0所在的区间是（　　）

A．（0,1）B．（1,2）

C．（2,3）D．（3,4）

（2）（2016·济南模拟）设函数y＝x3与y＝（）x－2的图象的交点为（x0，y0），若x0∈（n，n＋1），n∈N，则x0所在的区间是________．

答案　

（1）C　

（2）（1,2）

解析　

（1）∵f（x）＝lnx－x－2在（0，＋∞）上为增函数，

又f

（1）＝ln1－－1＝ln1－2<0，

f

（2）＝ln2－0<0，

f（3）＝ln3－1>0，

∴x0∈（2,3），故选C.

（2）令f（x）＝x3－（）x－2，则f（x0）＝0，易知f（x）为增函数，且f

（1）<0，f

（2）>0，∴x0所在的区间是（1,2）．

命题点2　函数零点个数的判断

例2　

（1）函数f（x）＝的零点个数是________．

（2）若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x＋2）＝f（x），当x∈[0,1]时，f（x）＝x，则函数y＝f（x）－log3|x|的零点个数是（　　）

A．多于4B．4

C．3D．2

答案　

（1）2　

（2）B

解析　

（1）当x≤0时，令x2－2＝0，解得x＝－（正根舍去），所以在（－∞，0]上有一个零点；当x>0时，f′（x）＝2＋>0恒成立，所以f（x）在（0，＋∞）上是增函数．又因为f

（2）＝－2＋ln2<0，f（3）＝ln3>0，所以f（x）在（0，＋∞）上有一个零点，综上，函数f（x）的零点个数为2.

（2）由题意知，f（x）是周期为2的偶函数．

在同一坐标系内作出函数y＝f（x）及y＝log3|x|的图象，如图，

观察图象可以发现它们有4个交点，

即函数y＝f（x）－log3|x|有4个零点．

思维升华　

（1）确定函数零点所在区间，可利用零点存在性定理或数形结合法．

（2）判断函数零点个数的方法：

①解方程法；②零点存在性定理、结合函数的性质；③数形结合法：

转化为两个函数图象的交点个数．

（1）已知函数f（x）＝－log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（　　）

A．（0,1）B．（1,2）

C．（2,4）D．（4，＋∞）

（2）函数f（x）＝xcosx2在区间[0,4]上的零点个数为（　　）

A．4B．5

C．6D．7

答案　

（1）C　

（2）C

解析　

（1）因为f

（1）＝6－log21＝6>0，f

（2）＝3－log22＝2>0，f（4）＝－log24＝－<0，所以函数f（x）的零点所在区间为（2,4）．

（2）由f（x）＝xcosx2＝0，得x＝0或cosx2＝0.

又x∈[0,4]，所以x2∈[0,16]．

由于cos（＋kπ）＝0（k∈Z），

而在＋kπ（k∈Z）的所有取值中，只有，，，，满足在[0,16]内，故零点个数为1＋5＝6.

题型二　函数零点的应用

例3　

（1）函数f（x）＝2x－－a的一个零点在区间（1,2）内，则实数a的取值范围是（　　）

A．（1,3）B．（1,2）

C．（0,3）D．（0,2）

（2）已知函数f（x）＝|x2＋3x|，x∈R，若方程f（x）－a|x－1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围是________________．

答案　

（1）C　

（2）（0,1）∪（9，＋∞）

解析　

（1）因为函数f（x）＝2x－－a在区间（1,2）上单调递增，又函数f（x）＝2x－－a的一个零点在区间（1,2）内，则有f

（1）·f

（2）<0，所以（－a）（4－1－a）<0，即a（a－3）<0.所以0＜a＜3.

（2）设y1＝f（x）＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|，

在同一直角坐标系中作出y1＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|的图象如图所示．

由图可知f（x）－a|x－1|＝0有4个互异的实数根等价于y1＝|x2＋3x|与y2＝a|x－1|的图象有4个不同的交点且4个交点的横坐标都小于1，

所以有两组不同解，

消去y得x2＋（3－a）x＋a＝0有两个不等实根，

所以Δ＝（3－a）2－4a>0，即a2－10a＋9>0，

解得a<1或a>9.

又由图象得a>0，∴09.

引申探究

本例

（2）中，若f（x）＝a恰有四个互异的实数根，则a的取值范围是________________．

答案　（0，）

解析　作出y1＝|x2＋3x|，y2＝a的图象如下：

当x＝－时，y1＝；当x＝0或x＝－3时，y1＝0，

由图象易知，当y1＝|x2＋3x|和y2＝a的图象有四个交点时，0

思维升华　已知函数零点情况求参数的步骤及方法

（1）步骤：

①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式（组）；③解不等式（组），即得参数的取值范围．

（2）方法：

常利用数形结合法．

（1）（2016·枣庄模拟）已知函数f（x）＝x2＋x＋a（a<0）在区间（0,1）上有零点，则a的取值范围为________．

（2）（2015·湖南）若函数f（x）＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．

答案　

（1）（－2,0）　

（2）（0,2）

解析　

（1）∵－a＝x2＋x在（0,1）上有解，

又y＝x2＋x＝（x＋）2－，

∴函数y＝x2＋x，x∈（0,1）的值域为（0,2），

∴0<－a<2，∴－2

（2）由f（x）＝|2x－2|－b＝0，得|2x－2|＝b.

在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示．

则当0

题型三　二次函数的零点问题

例4　已知f（x）＝x2＋（a2－1）x＋（a－2）的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围．

解　方法一　设方程x2＋（a2－1）x＋（a－2）＝0的两根分别为x1，x2（x1

∴x1x2－（x1＋x2）＋1<0，

由根与系数的关系，得（a－2）＋（a2－1）＋1<0，

即a2＋a－2<0，∴－2

方法二　函数图象大致如图，则有f

（1）<0，

即1＋（a2－1）＋a－2<0，∴－2

故实数a的取值范围是（－2,1）．

思维升华　解决与二次函数有关的零点问题：

（1）利用一元二次方程的求根公式；

（2）利用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；（3）利用二次函数的图象列不等式组．

　（2016·临沂一模）若函数f（x）＝（m－2）x2＋mx＋（2m＋1）的两个零点分别在区间（－1,0）和区间（1,2）内，则m的取值范围是__________．

答案　

解析　依题意，结合函数f（x）的图象分析可知m需满足

即

解得

4．利用转化思想求解函数零点问题

典例　

（1）若函数f（x）＝ax－x－a（a>0且a≠1）有两个零点，则实数a的取值范围是________．

（2）若关于x的方程22x＋2xa＋a＋1＝0有实根，则实数a的取值范围为________．

思想方法指导　

（1）函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，利用数形结合求解参数范围．

（2）“a＝f（x）有解”型问题，可以通过求函数y＝f（x）的值域解决．

解析　

（1）函数f（x）＝ax－x－a（a>0且a≠1）有两个零点，即方程ax－x－a＝0有两个根，即函数y＝ax与函数y＝x＋a的图象有两个交点．

当0

当a>1时，图象如图②所示，此时有两个交点．

∴实数a的取值范围为（1，＋∞）．

（2）由方程，解得a＝－，设t