北师大版七年级数学上册知识点归纳汇总.docx
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北师大版七年级数学上册知识点归纳汇总
北师大版七年级上册数学知识点汇总
第一章知识点归纳完整版
1、几何图形
从实物中抽象出来的各种图形，包括立体图形和平面图形。
立体图形：
有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形。
平面图形：
有些几何图形的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形。
2、点、线、面、体
（1）几何图形的组成
点：
线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。
线：
面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。
面：
包围着体的是面，分为平面和曲面。
体：
几何体也简称体。
（2）点动成线，线动成面，面动成体。
3、生活中的立体图形
圆柱（圆柱的侧面是曲面，底面是圆）
柱
生活中的立体图形球棱柱：
三棱柱、四棱柱（长方体、正方体）、五棱柱、……
（棱柱的侧面是若干个小长方形构成，底面是多边形）
（按名称分）锥圆锥（圆锥的侧面是曲面，底面的圆）
棱锥（棱锥的侧面是若干个三角形构成，底面是多边形）
4、棱柱及其有关概念：
棱：
在棱柱中，任何相邻两个面的交线，都叫做棱。
侧棱：
相邻两个侧面的交线叫做侧棱。
n棱柱有两个底面，n个侧面，共（n+2）个面；3n条棱，n条侧棱；2n个顶点。
5、正方体的平面展开图：
11种
1-4-1型2-3-1型
（1）规律总结：
口诀1：
中间四个面，上下各一面；中间三个面，一二隔河见；中间两个面，楼梯天天见；中间没有面，三三连一线。
口诀2：
四个一行中间分，三三两两二三一，田字凹字不可得。
（2）将一个正方体展开成平面图形，至少剪开7条棱。
6、其他常见图形的平面展开图：
侧面可以展开成长方形的是：
圆柱和棱柱
侧面可以展开为扇形的是：
圆锥
7、截一个正方体：
用一个平面去截一个正方体，截出的面可能是三角形，四边形，五边形，六边形。
可能出现的截面：
锐角三角型、等边、等腰三角形，正方形、矩形、非矩形的平行四边形、非等腰梯形、等腰梯形、五边形、六边形、正六边形
不可能出现：
钝角三角形、直角三角形、直角梯形、正五边形、七边形或更多边形
8其他立体图形的截面形状：
（1）圆柱：
圆形、长方形、椭圆形、两腰是弧形的“梯形”（你能想象出或画出吗？
）、弓形。
（2）圆锥：
圆形、三角形、椭圆形、、弓形。
9、三视图
物体的三视图指主视图、俯视图、左视图。
主视图：
从正面看到的图，叫做主视图。
左视图：
从左面看到的图，叫做左视图。
俯视图：
从上面看到的图，叫做俯视图。
注意：
从立体图得到它的三视图是唯一的，但从三视图复原回它的立体图却不一定唯一。
10、多边形：
由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形，叫做多边形。
（1）从一个n边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个n边形分割成（n-2）个三角形。
（2）从一个n边形的一边上的一点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把这个n边形分割成（n-1）个三角形。
（3）从一个n边形的内部的一个点出发，分别连接这顶点与其余各顶点，可以把这个n边形分割成n个三角形。
（4）从一个n边形一个顶点出发，可引（n-3）条对角线，n边形共有n（n-3）/2条对角线。
（5）若用f表示正多面体的面数，e表示棱数，v表示顶点数，则有：
f+v-e=2
11、三视图的6种题型：
（1）已知实物图画三视图；
（2）已知俯视图，画主视图和左视图；
（3）已知主视图、左视图和俯视图，确定小立方体的个数；
（4）已知主视图和俯视图，确定小立方体最多和最少个数；
（5）已知左视图和俯视图，确定小立方体最多和最少个数；
（6）已知主视图和左视图，确定小立方体最多和最少个数。
北师大版七年级数学上册第二章知识点整理
北师大版七年级数学上册第二章知识点整理
七年级上册第二章有理数及其运算
1.有理数:
有理数=整数+分数（包括有限小数+无限循环小数）
整数=正整数+0+负整数分数=正分数+负分数
有理数=正有理数+0+负有理数
正有理数=正整数+正分数负有理数=负整数+负分数
l正数的概念：
数轴上0右边的数即比0大的数叫正数，形如+1，+0.5，+10.1，0.001…
l负数的概念：
数轴上0左边的数，形如-3，-0.2，-100…（负号不能省略）.
l0既不是正数也不是负数，0是整数也是偶数.
①正负数的表示方法：
盈利，亏损；足球比赛胜，负；收入，支出；提高，降低；上升，下降；
②不投入不支出，不盈也不亏，海平面的海拔，某一个标准或基准….用0表示；
2.数轴：
概念：
规定了原点，正方向和单位长度的直线
数轴是一条可以向两端无限延伸的直线，数轴有三要素：
原点，正方向，单位长度；
画法：
首先画一条直线；在这条直线上任取一点，作为原点；再确定正方向，一般规定向右为正，画上箭头，反方向为负方向；最后选取适应的长度作为单位长度；
数轴上的点与有理数的关系：
任意一个有理数都可以用数轴上的点来表示。
有理数的大小比较：
在数轴上表示的两个数，右边的数比左边的数大，正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数.
3.相反数：
（1）只有符号不同的两个数叫做互为相反数（在数轴上互为相反数的两点位于原点两侧，并且到原点的距离相等），0的相反数是0；
a,b互为相反数a+b=0;
（2）求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即得原数的相反数，当原数是多个数的和差时，要用括号括起来再添“-”；下面的a,b即可以是数字，字母，也可以是代数式；
（3）一般地，数a的相反数是-a,这里的a表示任意一个数，可以是正数、负数、0.
4.绝对值：
（1）几何定义：
一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值；
（2）代数定义：
正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0；互为相反数的两个数的绝对值相等.
（3）对于任何有理数a，都有a的绝对值≥0,即绝对值非负性；若几个数的绝对值的和等于0，则这几个数同时为0；
（4）比较两个负数，绝对值大的反而小；
5.倒数：
（1）乘积为1的两个数互为倒数，所以数a（a≠0）的倒数是1/a，0没有倒数；
（2）求一个整数的倒数，写成这个整数分之一；求一个小数的倒数，先将其化成分数，再求其倒数；求一个带分数的倒数，先将其化为假分数，再求出倒数.
（3）用1除以一个非0数，商就是这个数的倒数.
6.有理数的四则运算：
⑴加法法则：
①同号两数相加，符号不变，把绝对值相加；
②异号两数相加，绝对值相等时（即互为相反数的两个数）相加得0；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.
③一个数同0相加，仍得这个数；
有理数加法运算律：
交换律和结合律（互为相反数的可先相加；相加可得整数的可先相加；同分母的分数可先相加；符号相同的可先相加；易于通分的可先相加）.
⑵减法法则：
①减去一个数，等于加上这个数的相反数，依据加法法则
②加减混合运算，通过减法法则将减法转化为加法，统一成只含有加法运算的和式；
减法没有交换律.
⑶乘法法则：
①两数相乘，同号得正，异号得负，把绝对值相乘；
②任何数同0相乘，得0；（另外1乘任何数都等于这个数本身；-1乘以任何数都等于这个数的相反数.）
③几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是奇数时，积为负；当负因数的个数是偶数时，积为正.
乘法的运算律：
交换律、结合律、乘法对加法的分配律.
⑷除法法则：
①两数相除，同号得正，异号得负，把绝对值相除；
②0除以任何非0的数都得0.
③除以一个数，等于乘上这个数的倒数，即.
⑸乘方：
①求几个相同因数积的运算，叫做乘方；乘方的结果叫做幂；，表示n个相同因数乘积的运算；
②负数乘方要用括号括起来；分数乘方要用括号括起来；当指数是1时，可省略不写；
③正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数（奇次幂2n+1,2n-1;偶次幂2n）；0的正整数次幂都是0.
⑹混合运算：
①从左到右的顺序进行；
②先乘方，再乘除，后加减；如有括号，应先算括号里面的；
7.科学记数法
（1）把一个大于10的数表示成的形式（其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数,它的值等于原数的整数位数减1，），这种记数方法叫科学记数法；
（2）准确数与近似数：
与实际完全相符的数是准确数；与实际相接近的数是近似数；
（3）精确度：
近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示；一般地，把一个数四舍五入到哪一位，就说这个数精确到了那一位；所以，精确度是描述一个近似数的近似程度的量；
（4）有效数字：
在近似数中，从左边第一个不是0的数字起，到精确的数位止，所有的数字都叫做这个数的有效数字；一共包含的数字的个数，叫做有效数字的个数；
第三章整式及其加减
1字母表示数
2代数式
3整式
4整式的加减
5探索与表达规律
※代数式的概念：
用运算符号（加、减、乘除、乘方、开方等）把数与表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。
单独的一个数或一个字母也是代数式。
注意：
①代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号；
②代数式中不含有“=、>、<、≠”等符号。
等式和不等式都不是代数式，但等号和不等号两边的式子一般都是代数式；
③代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义，是实际问题的要符合实际问题的意义。
※代数式的书写格式：
①代数式中出现乘号，通常省略不写，如vt；
②数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如4a；
③带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数后与字母相乘，如
应写作
；
④数字与数字相乘，一般仍用“×”号，即“×”号不省略；
⑤在代数式中出现除法运算时，一般按照分数的写法来写，如4÷（a-4）应写作
；注意：
分数线具有“÷”号和括号的双重作用。
⑥在表示和（或）差的代差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面，如
平方米
※代数式的系数：
代数式中的数字中的数字因数叫做代数式的系数。
如3x,4y的系数分别为3，4。
注意：
①单个字母的系数是1，如a的系数是1；
②只含字母因数的代数式的系数是1或-1，如-ab的系数是-1。
a3b的系数是1
※代数式的项：
代数式
表示6x2、-2x、-7的和，6x2、-2x、-7是它的项，其中把不含字母的项叫做常数项
注意：
在交待某一项时，应与前面的符号一起交待。
※同类项：
所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
注意：
①判断几个代数式是否是同类项有两个条件：
a.所含字母相同；b.相同字母的指数也相同。
这两个条件缺一不可；
②同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关；③几个常数项也是同类项。
※合差同类项：
把代数式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。
①合并同类项的理论根据是逆用乘法分配律；
②合并同类项的法则是把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。
注意：
①如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后结果为0；
②不是同类项的不能合并，不能合并的项，在每步运算中都要写上；
③只要不再有同类项，就是最后结果，结果还是代数式。
※根据去括号法则去括号：
括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不改变符号；括号前面是“－”号去掉，括号里各项都改变符号。
※根据分配律去括号：
括号前面是“+”号看成+1，括号前面是“－”号看成-1，根据乘法的分配律用+1或-1去乘括号里的每一项以达到去括号的目的。
※注意：
①去括号时，要连同括号前面的符号一起去掉；
②去括号时，首先要弄清楚括号前是“+”号还是“－”号；
③改变符号时，各项都变号；不改变符号时，各项都不变号。
第四章基本平面图形
1.线段、射线、直线
2.比较线段的长短
3.角
4.角的比较
5.多边形和圆的初步认识
一.线段、射线、直线
※1.正确理解直线、射线、线段的概念以及它们的区别：
名称
图形
表示方法
端点
长度
直线
直线AB（或BA）
直线l
无端点
无法度量
射线
射线OM
1个
无法度量
线段
线段AB（或BA）
线段l
2个
可度量长度
※2.直线公理:
经过两点有且只有一条直线.
二.比较线段的长短
※1.线段公理:
两点间线段最短;两之间线段的长度叫做这两点之间的距离.
※2.比较线段长短的两种方法:
①圆规截取比较法;②刻度尺度量比较法.
※3.用刻度尺可以画出线段的中点,线段的和、差、倍、分;
用圆规可以画出线段的和、差、倍.
三.角
※1.角:
有公共端点的两条射线组成的图形叫做角;
这个公共端点叫做角的顶点;这两条射线叫做角的边.
※2.角的表示法：
角的符号为“∠”
①用三个字母表示，如图1所示∠AOB
②用一个字母表示，如图2所示∠b
③用一个数字表示，如图3所示∠1
④用希腊字母表示，如图4所示∠β
※经过两点有且只有一条直线。
※两点之间的所有连线中，线段最短。
※两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。
1º=60’1’=60”
※角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的。
如图5所示：
※一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，
所成的角叫做平角。
如图6所示：
※终边继续旋转，当它又和始边重合时，
所成的角叫做周角。
如图7所示：
※从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
※经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
※如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。
※互相垂直的两条直线的交点叫做垂足。
※平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
※如图8所示，过点C作直线AB的垂线，垂足为O点，线段CO的长度叫做点C到直线AB的距离。
一元一次方程知识点
（一）、方程的有关概念
1.方程：
含有未知数的等式就叫做方程.
2.一元一次方程：
只含有一个未知数（元）x，未知数x的指数都是1（次），这样的方程叫做一元一次方程.
例如：
1700+50x=1800，2（x+1.5x）=5等都是一元一次方程.（例1）
3．方程的解：
使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解.（例2）
注：
⑴方程的解和解方程是不同的概念，方程的解实质上是求得的结果，它是一个数值（或几个数值），而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程.
⑵方程的解的检验方法，首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值，其次比较两边的值是否相等从而得出结论.
（二）、等式的性质
等式的性质
（1）：
等式两边都加上（或减去）同个数（或式子），结果仍相等.
等式的性质
（1）用式子形式表示为：
如果a=b，那么a±c=b±c
等式的性质
（2）：
等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，
等式的性质
（2）用式子形式表示为：
如果a=b，那么ac=bc;如果a=b（c≠0），那么
=
（三）、移项法则：
把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项．（例3）
（四）、去括号法则
1.括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同．
2.括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号改变．
（五）、解方程的一般步骤（例4）
1.去分母（方程两边同乘各分母的最小公倍数）
2.去括号（按去括号法则和分配律）
3.移项（把含有未知数的项移到方程一边，其他项都移到方程的另一边，移项要变号）
4.合并（把方程化成ax=b（a≠0）形式）
5.系数化为1（在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x=
）.
一．列一元一次方程解应用题的一般步骤
（1）审题：
弄清题意．
（2）找出等量关系：
找出能够表示本题含义的相等关系．（3）设出未知数，列出方程：
设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程．（4）解方程：
解所列的方程，求出未知数的值．（5）检验，写答案：
检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案．
二、一元一次方程的实际应用
1.和、差、倍、分问题：
增长量＝原有量×增长率现在量＝原有量＋增长量
（1）倍数关系：
通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率……”来体现.
（2）多少关系：
通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现.
例1：
兄弟二人今年分别为15岁和9岁，多少年后兄的年龄是弟的年龄的2倍？
解：
设x年后，兄的年龄是弟的年龄的2倍，
则x年后兄的年龄是15+x，弟的年龄是9+x．
（点拨：
-3年的意义，并不是没有意义，而是指以今年为起点前的3年，是与3年后具有相反意义的量）
2.等积变形问题：
（1）“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提.常用等量关系为：
①形状面积变了，周长没变；
②原料体积＝成品体积.
（2）常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变．
①圆柱体的体积公式V=底面积×高＝S·h＝
②长方体的体积V＝长×宽×高＝abc
例2将一个装满水的内部长、宽、高分别为300毫米，300毫米和80毫米的长方体铁盒中的水，倒入一个内径为200毫米的圆柱形水桶中，正好倒满，求圆柱形水桶的高（精确到0.1毫米，
≈3.14）．
解：
设圆柱形水桶的高为x毫米，依题意，得
3.工程问题：
工程问题：
工作量＝工作效率×工作时间
完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1
例3.一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？
解：
设乙还需x天完成全部工程，设工作总量为单位1，由题意得，（
+
）×3+
=1
4.行程问题：
路程＝速度×时间时间＝路程÷速度速度＝路程÷时间
（1）相遇问题：
快行距＋慢行距＝原距
（2）追及问题：
快行距－慢行距＝原距
（3）航行问题：
顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度
逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度
抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系．
例4.甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。
（1）慢车先开出1小时，快车再开。
两车相向而行。
问快车开出多少小时后两车相遇？
（2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？
（3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？
（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？
（5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？
解：
设快车开出x小时后两车相遇，由题意得，
解：
设x小时后两车相距600公里，由题意得，
解：
设x小时后两车相距600公里，由题意得，
解：
设x小时后快车追上慢车。
由题意得，
解：
设快车开出x小时后追上慢车。
由题意得，
5.商品销售问题
（1）商品利润率＝
×100%
（2）商品销售额＝商品销售价×商品销售量
（3）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量
（4）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售．有关关系式：
商品售价=商品标价×折扣率
（5）商品利润=商品售价—商品进价=商品标价×折扣率—商品进价
例5.工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等.该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？
解：
设该工艺品每件的进价是
元,标价是（45+x）元.依题意，得:
8（45+x）×0.85-8x=（45+x-35）×12-12x
6.流水行船问题
顺流而下与逆流而上问题通常称为流水问题，流水问题属于行程问题，仍然利用速度、时间、路程三者之间的关系进行解答。
解答时要注意各种速度的涵义及它们之间的关系。
已知船的顺水速度和逆水速度，求船的静水速度及水流速度。
解答这类问题，一般要掌握下面几个数量关系：
船速：
在静水中的速度
水速：
河流中水流动的速度
顺水船速：
船在顺水航行时的速度
逆水速度：
船在逆水航行时的速度
船速+水速=顺水船速
船速－水速=逆水船速
（顺水船速+逆水船速）÷2=船速
（顺水船速－逆水船速）÷2=水速
顺水船速=船速+水速=逆水船速+水速×2
过桥问题
一列火车通过一座桥或者是钻过一个隧道，研究其车长、车速、桥长或隧道道长，过桥或钻隧道的时间等关系的一类应用题。
解答这类应用题，除了根据速度、时间、路程三量之间的关系进行计算外，还必须注意到车长，即通过的路程等于桥长或隧道长加车长。
基本公式有：
桥长+车长=路程
平均速度×过桥时间=路程
过桥时间=路程÷平均速度
7.数字问题
（1）要搞清楚数的表示方法：
一般可设个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c．
十位数可表示为10b+a，百位数可表示为100c+10b+a．然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程（其中a、b、c均为整数，且1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9）
（2）数字问题中一些表示：
两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；偶数用2n表示，连续的偶数用2n+2或2n—2表示；奇数用2n+1或2n—1表示.
第六章数据的收集与整理
1.数据的收集
2.普查和抽样调查
3.数据的表示
4.统计图的选择
一.数据的收集
※1.所要考察的对象的全体叫做总体;
把组成总体的每一个考察对象叫做个体;
从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本.
二.普查和抽样调查
※2.为一特定目的而对所有考察对象作的全面调查叫做普查;
为一特定目的而对部分考察对象作的调查叫做抽样调查.
※1.抽样调查的特点:
调查的范围小、节省时间和人力物力优点.但不如普查得到的调查结果精确,它得到的只是估计值.
而估计值是否接近实际情况还取决于样本选得是否有代表性.
※科学记数法：
一般地，一个大于10的数可以表示成a×10n的形式，其中1≤a<10，n是正整数，这种记数方法叫做科学记数法。
四.统计图的选择
※统计图的特点：
折线统计图：
能够清晰地反映同一事物在不同时期的变化情况。
条形统计图：
能够清晰地反映每个项目的具体数目及之间的大小关系。
扇形统计图：
能够清晰地表示各部分在总体中所占的百分比及各部分之间的大小关系
统计图对统计的作用：
（1）可以清晰有效地表达数据。
（2）可以对数据进行分析。
（3）可以获得许多的信息。
（4）可以帮助人们作出合理的决策。
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