勾股定理之最短路径填空选择中考题docx.docx

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勾股定理之最短路径填空选择中考题docx

一、选择题（共

17小题）

1、（2011?

广安）如图，圆柱的底面周长为

6cm，AC是底面圆的直径，高

BC=6cm，点

P是母线

BC上一点，且PC=BC．一

只蚂蚁从

A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点

P的最短距离是（

）

A、

B、5cm

C、

D、7cm

2、（2009?

乐山）如图，一圆锥的底面半径为2，母线

锥的侧面爬行到点D，则蚂蚁爬行的最短路程为（

PB的长为

）

6，D为

PB的中点．一只蚂蚁从点

A出发，沿着圆

A、

B、2

C、3

D、3

3、（2009?

恩施州）如图，长方体的长为15，宽为

10，高为

20，点

B离点

C的距离为

5，一只蚂蚁如果要沿着长方

体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（

）

A、5

C、10

B、25

D、35

4、（2005?

山西）如图，点A和点B分别是棱长为

由A处向B处爬行，所走的最短路程是（）

20cm

的正方体盒子上相邻面的两个中心．一只蚂蚁在盒子表面

A40cm

B20

C、20cm

D、10

5、（2005?

贵阳）如图A，一圆柱体的底面周长为

的表面爬行到点C的最短路程大约是（）

24cm，高

BD为4cm，BC是直径，一只蚂蚁从点

D出发沿着圆柱

A、6cm

B、12cm

C、13cm

D、16cm

6、（2004?

淄博）如图是一块长，宽，高分别是6cm，4cm和3cm的长方体木块一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶

点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（

）

A、（3+2

）cm

B、

C、

D、

7、（2004?

梅州）如图，一只蚂蚁沿边长为

a的正方体表面从顶点

A爬到顶点

B，则它走过的路程最短为（

）

A、

B、（1+

）a

C、3a

D、

8、（2004?

济宁）如图，正方体盒子的棱长为

蚁爬行的最短距离是（）

2，BC的中点为

M，一只蚂蚁从

M点沿正方体的表面爬到

D1点，蚂

A、B、3

C、5D、

9、如图所示，一圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（π取3）是（）

A、12cm

B、10cm

C、14cm

D、无法确定

10、如图：

有一圆柱，它的高等于8cm，底面直径等于4cm（π=3），在圆柱下底面的

底面与A相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程大约（）

A点有一只蚂蚁，它想吃到上

A、10cm

B、12cm

C、19cm

D、20cm

11、如图是一个棱长为

4cm

的正方体盒子，一只蚂蚁在

D1C1的中点

M处，它到

BB1的中点

N的最短路线是（

）

A、8B、2

C、2D、2+2

12、如图所示，是一个圆柱体，ABCD是它的一个横截面，AB=，BC=3，一只蚂蚁，要从A点爬行到C点，那么，

最近的路程长为（）

A、7B、

C、D、5

13、如图是一个长4m，宽3m，高2m的有盖仓库，在其内壁的

A处（长的四等分）有一只壁虎，

B处（宽的三等

分）有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处最短距离为（）

A、4.8

B、

C、5

D、

14、有一长、宽、高分别是5cm，4cm，3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点爬到长方体上和A相对的顶点B处，则需要爬行的最短路径长为（）

A处沿长方体的表面

A、5

C、4

B、

D、3

15、如图，边长为

1的立方体中，一只蚂蚁从

A顶点出发沿着立方体的外表面爬到

B顶点的最短路程是（

）

A、3

B、

C、

D、1

16、如图所示：

有一个长、宽都是

的最短路径为（）

2米，高为

3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从

A点爬到

B点，那么这只蚂蚁爬行

A、3米B、4米

C、5米D、6米

17、如图，在棱长为20cm

的正方体盒子上有一只蚂蚁欲从

A点出发向

B爬去吃食，则蚂蚁所走最短路程是

（

）

A、40cm

B、20

C、20cm

D、20

二、填空题（共

13小题）

18、（2007?

呼伦贝尔）如图，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为

有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达

的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点

P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是

P处

_________

m．（结果不取近似值）

19、（2007?

怀化）如图所示的圆柱体中底面圆的半径是

，高为

2，若一只小虫从

A点出发沿着圆柱体的侧面爬行

到C点，则小虫爬行的最短路程是

_________

．（结果保留根号）

20、（2007?

金昌）如图，圆锥的母线长OA为8，底面圆的半径为

的中点B处有一只小虫，蚂蚁要捉到小虫，需要爬行的最短距离为

4．若一只蚂蚁在底面上点

_________．

A处，在相对母线

21、（2007?

梅州）如图，有一木质圆柱形笔筒的高为

h，底面半径为

r，现要围绕笔筒的表面由

A至

A1（A，A1在

圆柱的同一轴截面上）镶入一条银色金属线作为装饰，这条金属线的最短长度是

_________

．

22、（2008?

昆明）如图，有一个圆柱，它的高等于16cm，底面半径等干它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是

4cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，

_________cm．（π取3）

23、（2008?

青海）如图，有一圆柱体，它的高为20cm，底面半径为想吃到上底面上与A点相对的B点处的苍蝇，需要爬行的最短路径是

7cm．在圆柱的下底面A点处有一个蜘蛛，它

_________cm（结果用带根号和π的式子

表示）．

24、（2009?

青岛）如图，长方体的底面边长分别为面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要那么所用细线最短需要_________cm．

1cm和_________

3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，

25、（2011?

荆州）如图，长方体的底面边长分别为

行一圈到达Q点，则蚂奴爬行的最短路径长为

2cm和4cm，高为

_________cm．

5cm．若一只蚂蚁从

P点开始经过

4个侧面爬

26、（2006?

茂名）如图，点

A、B分别是棱长为

2的正方体左、右两侧面的中心，一蚂蚁从点

A沿其表面爬到点

的最短路程是

_________

．

27、（2005?

青海）如图，已知正方体的棱长为2，则正方体表面上从A点到C1点的最短距离为_________．

28、（2003?

泸州）如图，一只昆虫要从边长为acm的正方体盒子的一个顶点爬到相距最远的另一个顶点，沿盒子表

面爬行的最短路程是_________cm．

29、如图，有一圆柱，其高为食物，则蚂蚁经过的最短距离为

12cm，底面半径为3cm，在圆柱下底面

_________cm．（π取3）

A点处有一只蚂蚁，它想得到上底面

B处的

30、一只蚂蚁从长、宽都是

_________．

3，高是

8的长方体纸箱的

A点沿纸箱爬到

B点，那么它所行的最短路线的长是

24．（本小题

10分）问题探究：

（1）如图①所示是一个半径为

，高为

4的圆柱体和它的侧面展开图，

AB是圆柱的一条母线，一只蚂蚁从

A点

2π

出发沿圆柱的侧面爬行一周到达

B点，求蚂蚁爬行的最短路程．

（探究思路：

将圆柱的侧面沿母线

AB剪开，它的

侧面展开图如图①中的矩形

ABB′′A，则蚂蚁爬行的最短路程即为线段

AB′的长）

（2）如图②所示是一个底面半径为

2，母线长为

4的圆锥和它的侧面展开图，

PA是它的一条母线，一只蚂蚁从

点出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到A点，求蚂蚁爬行的最短路程．

（3）如图③所示，在②的条件下，一只蚂蚁从A点出发沿圆锥的侧面爬行一周到达母线

行的最短路程．

PA上的一点，求蚂蚁爬

B′

图①

图②

图③

（第24题）

答案与评分标准

一、选择题（共17小题）

1、（2011?

广安）如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC=6cm，点P是母线BC上一点，且PC=BC．一

只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（）

A、B、5cm

C、D、7cm

考点：

平面展开-最短路径问题。

分析：

首先画出圆柱的侧面展开图，根据高BC′=6cm，PC=BC，求出PC′=×6=4cm，在Rt△AC′P中，根据勾股定理

求出AP的长．

解答：

解：

侧面展开图如图所示，∵圆柱的底面周长为6cm，

∴AC′=3cm，

∵PC′=BC′，

∴PC′=×6=4cm，

在Rt△ACP中，

222，

AP=AC′+CP

∴AP==5．

故选B．

点评：

此题主要考查了平面展开图，以及勾股定理的应用，做题的关键是画出圆柱的侧面展开图．

2、（2009?

乐山）如图，一圆锥的底面半径为2，母线PB的长为6，D为PB的中点．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆

锥的侧面爬行到点D，则蚂蚁爬行的最短路程为（）

A、B、2

C、3D、3

考点：

平面展开-最短路径问题。

分析：

要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．

解答：

解：

由题意知，底面圆的直径AB=4，

故底面周长等于4π．

设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°，

根据底面周长等于展开后扇形的弧长得4π=，

解得n=120°，

所以展开图中∠APD=120°÷2=60°，

因为半径PA=PA′，故三角形PAA′为等腰三角形，又∵D为AA′的中点，

所以PD⊥AA′，在直角三角形PAD中，PA=6，PD=3，

根据勾股定理求得AD=3，

所以蚂蚁爬行的最短距离为3．

故选C．

点评：

圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．

3、（2009?

恩施州）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方

体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（）

A、5B、25

C、10+5D、35

考点：

平面展开-最短路径问题。

分析：

要求蚂蚁爬行的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．

解答：

解：

将长方体展开，连接A、B，

根据两点之间线段最短，

BD=10+5=15，AD=20，

由勾股定理得：

AB====25．

故选B．

点评：

本题是一道趣味题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可．

4、（2005?

山西）如图，点A和点B分别是棱长为

由A处向B处爬行，所走的最短路程是（）

20cm

的正方体盒子上相邻面的两个中心．一只蚂蚁在盒子表面

A、40cmB、20cm

C、20cmD、10cm

考点：

平面展开-最短路径问题。

分析：

由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．

解答：

解：

根据两点之间线段最短，把正方体展开，可知由

A处向

B处爬行，所走的最短路程是

20cm．

故选C．

点评：

熟练掌握两点之间线段最短这一性质．

5、（2005?

贵阳）如图A，一圆柱体的底面周长为

24cm，高

BD为4cm，BC是直径，一只蚂蚁从点

D出发沿着圆柱

的表面爬行到点C的最短路程大约是（）

A、6cmB、12cm

C、13cmD、16cm

考点：

平面展开-最短路径问题。

分析：

根据题意，先将圆柱体展开，再根据两点之间线段最短．

解答：

解：

将圆柱体展开，连接D、C，

圆柱体的底面周长为24cm，则DE=12cm，

根据两点之间线段最短，

CD==4≈13cm．

而走B﹣D﹣C的距离更短，

∵BD=4，BC=，

∴BD+BC≈11.64．≈12

故选B．

点评：

本题是一道趣味题，将圆柱体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可．

6、（2004?

淄博）如图是一块长，宽，高分别是6cm，4cm和3cm的长方体木块一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶

点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（）

A、（3+2）cmB、cm

C、cmD、cm

考点：

平面展开-最短路径问题。

分析：

作此题要把这个长方体中，蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最短，根据勾股定理即可计算．

解答：

解：

第一种情况：

把我们所看到的前面和上面组成一个平面，

则这个长方形的长和宽分别是9和4，

则所走的最短线段是=；

第二种情况：

把我们看到的左面与上面组成一个长方形，

则这个长方形的长和宽分别是7和6，

所以走的最短线段是=；

第三种情况：

把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，

则这个长方形的长和宽分别是10和3，

所以走的最短线段是=；

三种情况比较而言，第二种情况最短．

所以选C．

点评：

此题的关键是明确线段最短这一知识点，然后把立体的长方体放到一个平面内，求出最短的线段．

7、（2004?

梅州）如图，一只蚂蚁沿边长为a的正方体表面从顶点A爬到顶点B，则它走过的路程最短为（）

A、aB、（1+）a

C、3aD、a

考点：

平面展开-最短路径问题。

分析：

先将图形展开，再根据两点之间线段最短可知．

解答：

解：

将正方体展开，连接A、B，根据两点之间线段最短，AB==a．

故选D．

点评：

本题是一道趣味题，将正方体展开，运用勾股定理解答即可．

8、（2004?

济宁）如图，正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从M点沿正方体的表面爬到D1点，蚂

蚁爬行的最短距离是（）

A、B、3

C、5D、

考点：

平面展开-最短路径问题。

分析：

根据题意，先将正方体展开，再根据两点之间线段最短求解．

解答：

解：

将正方体展开，连接M、D1，

根据两点之间线段最短，

MD=MC+CD=1+2=3，

MD1===．

故选A．

点评：

本题是一道趣味题，将正方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可．

9、如图所示，一圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（π取3）是（

）

A、12cmB、10cm

C、14cmD、无法确定

考点：

平面展开-最短路径问题。

分析：

根据两点之间，线段最短．先将图形展开，再根据勾股定理可知．

解答：

解：

可以把A和B展开到一个平面内，

即圆柱的半个侧面是矩形：

矩形的长是圆柱底面周长的一半即2π=6．

矩形的宽是圆柱的高8．

根据勾股定理得：

爬行的最短路程是矩形的对角线的长，即10．

故选B．

点评：

要求不在同一个平面内的两点之间的最短距离，需要把两个点展开到一个平面内，再计算．

10、如图：

有一圆柱，它的高等于8cm，底面直径等于4cm（π=3），在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程大约（）

A、10cm

B、12cm

C、19cm

D、20cm

考点：

平面展开-最短路径问题。

分析：

根据两点之间，线段最短．首先把A和B展开到一个平面内，即展开圆柱的半个侧面，得到一个矩形，然后

根据勾股定理，求得蚂蚁爬行的最短路程即展开矩形的对角线的长度．

解答：

解：

展开圆柱的半个侧面，得到一个矩形：

矩形的长是圆柱底面周长的一半即2π=6，矩形的宽是圆柱的高即

8．

根据勾股定理得：

蚂蚁爬行的最短路程即展开矩形的对角线长即10．

故选A．

点评：

本题考查了勾股定理的拓展应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．本题注意只需展

开圆柱的半个侧面．

11、如图是一个棱长为

4cm

的正方体盒子，一只蚂蚁在

D1C1的中点

M处，它到

BB1的中点

N的最短路线是（

）

A、8

B、2

C、2

D、2+2

考点：

平面展开-最短路径问题。

分析：

把此正方体的

DCC1D1面与CC1B1B面展开在同一平面内，然后利用勾股定理求点

M和N点间的线段长，即

可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形

MNB1中，一条直角边长等于

6，另一条直角边长等于

2，利用勾股定

理可求得．

解答：

解：

把正方体的

DCC11

D面与CCBB面展开在同一平面内，

∵M、N为C1D1和BB1的中点，∴NB1=2，MC1=2，

在Rt△NMB1中，MN=

．

故选C．

点评：

本题考查了勾股定理的拓展应用．

“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．

12、如图所示，是一个圆柱体，

ABCD是它的一个横截面，AB=

，BC=3，一只蚂蚁，要从A点爬行到C点，那么，