中考数学试题分类汇编考点27菱形.docx
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中考数学试题分类汇编考点27菱形
2018中考数学试题分类汇编:
考点27菱形
一.选择题(共4小题)
1.(2018•十堰)菱形不具备的性质是()
A.四条边都相等B.对角线一定相等
C.是轴对称图形D.是中心对称图形
【分析】根据菱形的性质即可判断;
【解答】解:
菱形的四条边相等,是轴对称图形,也是中心对称图形,对角线垂直不一定相等,
故选:
B.
2.(2018•哈尔滨)如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,BD=8,tan∠ABD=,则线段AB的长为()
A.B.2C.5D.10
【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD,AO=CO,OB=OD,求出OB,解直角三角形求出AO,根据勾股定理求出AB即可.【解答】解:
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,AO=CO,OB=OD,
∴∠AOB=90°,
∵BD=8,
∴OB=4,
∵tan∠ABD==
∴AO=3,
,
在
AOB中,由勾股定理得:
AB=
==5,
故选:
C.
3.(2018•淮安)如图,菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8,则这个菱形的周长是()
A.20B.24C.40D.48
【分析】由菱形对角线的性质,相互垂直平分即可得出菱形的边长,菱形四边相等即可得出周长.【解答】解:
由菱形对角线性质知,AO=AC=3,BO=BD=4,且AO⊥BO,
则AB==5,
故这个菱形的周长L=4AB=20.
故选:
A.
4.(2018•贵阳)如图,在菱形ABCD中,E是AC的中点,EF∥CB,交AB于点F,如果EF=3,那么菱形ABCD的周长为()
A.24B.18C.12D.9
【分析】易得BC长为EF长的2倍,那么菱形ABCD的周长=4BC问题得解.【解答】解:
∵E是AC中点,
∵EF∥BC,交AB于点F,
∴EF是△ABC的中位线,
∴EF=BC,
∴BC=6,
∴菱形ABCD的周长是4×6=24.
故选:
A.
二.填空题(共6小题)
5.(2018•香坊区)已知边长为5的菱形ABCD中,对角线AC长为6,点E在对角线BD上且tan∠EAC=,则BE的长为3或5.
【分析】根据菱形的性质和分两种情况进行解答即可.
【解答】解:
当点E在对角线交点左侧时,如图1所示:
∵菱形ABCD中,边长为5,对角线AC长为6,
∴AC⊥BD,BO=
,
∵tan∠EAC==
,
解得:
OE=1,
∴BE=BO﹣OE=4﹣1=3,
当点E在对角线交点左侧时,如图2所示:
∵菱形ABCD中,边长为5,对角线AC长为6,
∴AC⊥BD,BO=
,
∵tan∠EAC==
解得:
OE=1,
∴BE=BO﹣OE=4+1=5,
故答案为:
3或5;
,
6.(2018•湖州)如图,已知菱形ABCD,对角线AC,BD相交于点O.若tan∠BAC=,AC=6,则BD的长是2.
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD,OA=AC=3,BD=2OB.再解
OAB,根据tan∠BAC=求出OB=1,那么BD=2.
【解答】解:
∵四边形ABCD是菱形,AC=6,
∴AC⊥BD,OA=AC=3,BD=2OB.
在
OAB中,∵∠AOD=90°,
=,
∴tan∠BAC=
=,
∴OB=1,
∴BD=2.
故答案为2.
7.(2018•宁波)如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠B是锐角,AE⊥BC于点E,M是AB的中点,连结MD,ME.若∠EMD=90°,则cosB的值为.
【分析】延长DM交CB的延长线于点H.首先证明DE=EH,设BE=x,利用勾股定理构建方程求出x即可解决问题.【解答】解:
延长DM交CB的延长线于点H.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=AD=2,AD∥CH,∴∠ADM=∠H,
∵AM=BM,∠AMD=∠HMB,
∴△ADM≌△BHM,∴AD=HB=2,
∵EM⊥DH,
∴EH=ED,设BE=x,∵AE⊥BC,
∴AE⊥AD,
∴∠AEB=∠EAD=90°
∵AE2=AB2﹣BE2=DE2﹣AD2,
∴22﹣x2=(2+x)2﹣22,
∴x=﹣1或﹣
﹣1(舍弃),
∴cosB=
=
,
故答案为
.
8.(2018•广州)如图,若菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(3,0),(﹣2,0),点D在y轴上,则点C的坐标是(﹣5,4).
【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长,进而求出C点坐标.
【解答】解:
∵菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(3,0),(﹣2,0),点D在y轴上,∴AB=5,
∴AD=5,
∴由勾股定理知:
OD=
∴点C的坐标是:
(﹣5,4).
故答案为:
(﹣5,4).
==4,
9.(2018•随州)如图,在平面直角坐标系xOy中,菱形OABC的边长为2,点A在第一象限,点C在x轴正半轴上,
∠AOC=60°,若将菱形OABC绕点O顺时针旋转75°,得到四边形OA′B′C′,则点B的对应点B′的坐标为(﹣).
,
【分析】作B′H⊥x轴于H点,连结OB,OB′,根据菱形的性质得到∠AOB=30°,再根据旋转的性质得∠BOB′=75°,
OB′=OB=2
OH=B′H=
,则∠AOB′=∠BOB′﹣∠AOB=45°,所以△OBH为等腰直角三角形,根据等腰直角三角形性质可计算得,然后根据第四象限内点的坐标特征写出B′点的坐标.
【解答】解:
作B′H⊥x轴于H点,连结OB,OB′,如图,
∵四边形OABC为菱形,
∴∠AOC=180°﹣∠C=60°,OB平分∠AOC,
∴∠AOB=30°,
∵菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至第四象限OA′B′C′的位置,∴∠BOB′=75°,OB′=OB=2,
∴∠AOB′=∠BOB′﹣∠AOB=45°,
∴△OBH为等腰直角三角形,
∴OH=B′H=OB′=,
∴点B′的坐标为(
故答案为:
(,﹣
,﹣
).
).
10.(2018•黑龙江)如图,在平行四边形ABCD中,添加一个条件AB=BC或AC⊥BD使平行四边形ABCD是菱形.
【分析】根据菱形的判定方法即可判断.
【解答】解:
当AB=BC或AC⊥BD时,四边形ABCD是菱形.
故答案为AB=BC或AC⊥BD.
三.解答题(共10小题)
11.(2018•柳州)如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相交于点O,且AB=2.
(1)求菱形ABCD的周长;
(2)若AC=2,求BD的长.
【分析】
(1)由菱形的四边相等即可求出其周长;
(2)利用勾股定理可求出BO的长,进而解答即可.
【解答】解:
(1)∵四边形ABCD是菱形,AB=2,∴菱形ABCD的周长=2×4=8;
(2)∵四边形ABCD是菱形,AC=2,AB=2
∴AC⊥BD,AO=1,
∴BO=
∴BD=2
,
12.(2018•遂宁)如图,在▱ABCD中,E,F分别是AD,BC上的点,且DE=BF,AC⊥EF.求证:
四边形AECF是菱形.
【分析】根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可证明;
【解答】证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC,
∵DE=BF,
∴AE=CF,∵AE∥CF,
∴四边形AECF是平行四边形,
∵AC⊥EF,
∴四边形AECF是菱形.
13.(2018•郴州)如图,在▱ABCD中,作对角线BD的垂直平分线EF,垂足为O,分别交AD,BC于E,F,连接BE,DF.求证:
四边形BFDE是菱形.
【分析】根据平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法证明出△DOE≌△BOF,得到OE=OF,利用对角线互相平分
的四边形是平行四边形得出四边形EBFD是平行四边形,进而利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形得出四边形BFDE为菱形.
【解答】证明:
∵在▱ABCD中,O为对角线BD的中点,
∴BO=DO,∠EDB=∠FBO,
在△EOD和△FOB中,
,
∴△DOE≌△BOF(ASA);
∴OE=OF,
又∵OB=OD,
∴四边形EBFD是平行四边形,
∵EF⊥BD,
∴四边形BFDE为菱形.
14.(2018•南京)如图,在四边形ABCD中,BC=CD,∠C=2∠BAD.O是四边形ABCD内一点,且OA=OB=OD.求证:
(1)∠BOD=∠C;
(2)四边形OBCD是菱形.
【分析】
(1)延长AO到E,利用等边对等角和角之间关系解答即可;
(2)连接OC,根据全等三角形的判定和性质以及菱形的判定解答即可.
【解答】证明:
(1)
延长OA到E,
∵OA=OB,
∴∠ABO=∠BAO,
又∠BOE=∠ABO+∠BAO,
∴∠BOE=2∠BAO,
同理∠DOE=2∠DAO,
∴∠BOE+∠DOE=2∠BAO+2∠DAO=2(∠BAO+∠DAO)即∠BOD=2∠BAD,
又∠C=2∠BAD,
∴∠BOD=∠C;
(2)连接OC,
∵OB=OD,CB=CD,OC=OC,
∴△OBC≌△ODC,
∴∠BOC=∠DOC,∠BCO=∠DCO,
∵∠BOD=∠BOC+∠DOC,∠BCD=∠BCO+∠DCO,
∴∠BOC=∠BOD,∠BCO=∠BCD,
又∠BOD=∠BCD,
∴∠BOC=∠BCO,
∴BO=BC,
又OB=OD,BC=CD,
∴OB=BC=CD=DO,
∴四边形OBCD是菱形.
15.(2018•呼和浩特)如图,已知A、F、C、D四点在同一条直线上,AF=CD,AB∥DE,且AB=DE.
(1)求证:
△ABC≌△DEF;
(2)若EF=3,DE=4,∠DEF=90°,请直接写出使四边形EFBC为菱形时AF的长度.
【分析】
(1)根据SAS即可证明.
(2)解直角三角形求出DF、OE、OF即可解决问题;【解答】
(1)证明:
∵AB∥DE,
∴∠A=∠D,
∵AF=CD,
∴AF+FC=CD+FC,
即AC=DF,
∵AB=DE,
∴△ABC≌△DEF.
(2)如图,连接AB交AD于O.
在
EFD中,∵∠DEF=90°,EF=3,DE=4,∴DF==5,
∵四边形EFBC是菱形,
∴BE⊥CF,'∴EO=∴OF=OC=
∴CF=,
∴AF=CD=DF﹣FC=5﹣
=
=,
=.
,
16.(2018•内江)如图,已知四边形ABCD是平行四边形,点E,F分别是AB,BC上的点,AE=CF,并且∠AED=∠CFD.求证:
(1)△AED≌△CFD;
(2)四边形ABCD是菱形.
【分析】
(1)由全等三角形的判定定理ASA证得结论;
(2)由“邻边相等的平行四边形为菱形”证得结论.
【解答】
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C.
在△AED与△CFD中,
∴△AED≌△CFD(ASA);
(2)由
(1)知,△AED≌△CFD,则AD=CD.又∵四边形ABCD是平行四边形,
∴四边形ABCD是菱形.
17.(2018•泰安)如图,△ABC中,D是AB上一点,DE⊥AC于点E,F是AD的中点,FG⊥BC于点G,与DE交于点H,若FG=AF,AG平分∠CAB,连接GE,CD.
(1)求证:
△ECG≌△GHD;
(2)小亮同学经过探究发现:
AD=AC+EC.请你帮助小亮同学证明这一结论.
(3)若∠B=30°,判定四边形AEGF是否为菱形,并说明理由.
【分析】
(1)依据条件得出∠C=∠DHG=90°,∠CGE=∠GED,依据F是AD的中点,FG∥AE,即可得到FG是线段ED的垂直平分线,进而得到GE=GD,∠CGE=∠GDE,利用AAS即可判定△ECG≌△GHD;
(2)过点G作GP⊥AB于P,判定△CAG≌△PAG,可得AC=AP,由
(1)可得EG=DG,即可得到
ECG≌Rt△GPD,依据EC=PD,即可得出AD=AP+PD=AC+EC;
(3)依据∠B=30°,可得∠ADE=30°,进而得到AE=AD,故AE=AF=FG,再根据四边形AECF是平行四边形,即可得到四边形AEGF是菱形.
【解答】解:
(1)∵AF=FG,
∴∠FAG=∠FGA,
∵AG平分∠CAB,
∴∠CAG=∠FGA,
∴∠CAG=∠FGA,
∴AC∥FG,
∵DE⊥AC,
∴FG⊥DE,
∵FG⊥BC,
∴DE∥BC,
∴AC⊥BC,
∴∠C=∠DHG=90°,∠CGE=∠GED,
∵F是AD的中点,FG∥AE,∴H是ED的中点,
∴FG是线段ED的垂直平分线,∴GE=GD,∠GDE=∠GED,
∴∠CGE=∠GDE,
∴△ECG≌△GHD;
(2)证明:
过点G作GP⊥AB于P,∴GC=GP,而AG=AG,
∴△CAG≌△PAG,
∴AC=AP,
由
(1)可得EG=DG,
∴Rt△ECG≌
GPD,
∴EC=PD,
∴AD=AP+PD=AC+EC;
(3)四边形AEGF是菱形,证明:
∵∠B=30°,
∴∠ADE=30°,
∴AE=AD,
∴AE=AF=FG,
由
(1)得AE∥FG,
∴四边形AECF是平行四边形,∴四边形AEGF是菱形.
18.(2018•广西)如图,在ABCD中,AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为E,F,且BE=DF.
(1)求证:
▱ABCD是菱形;
(2)若AB=5,AC=6,求▱ABCD的面积.
【分析】
(1)利用全等三角形的性质证明AB=AD即可解决问题;
(2)连接BD交AC于O,利用勾股定理求出对角线的长即可解决问题;【解答】
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠B=∠D,
∵AE⊥BC,AF⊥CD,
∴∠AEB=∠AFD=90°,
∵BE=DF,
∴△AEB≌△AFD
∴AB=AD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
(2)连接BD交AC于O.
∵四边形ABCD是菱形,AC=6,
∴AC⊥BD,
AO=OC=AC=×6=3,
∵AB=5,AO=3,
∴BO=
∴BD=2BO=8,
==4,
∴S
平行四边形ABCD
=×AC×BD=24.
19.(2018•扬州)如图,在平行四边形ABCD中,DB=DA,点F是AB的中点,连接DF并延长,交CB的延长线于点E,
连接AE.
(1)求证:
四边形AEBD是菱形;
(2)若DC=,tan∠DCB=3,求菱形AEBD的面积.
【分析】
(1)由△AFD≌△BFE,推出AD=BE,可知四边形AEBD是平行四边形,再根据BD=AD可得结论;
(2)解直角三角形求出EF的长即可解决问题;
【解答】
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥CE,
∴∠DAF=∠EBF,
∵∠AFD=∠EFB,AF=FB,
∴△AFD≌△BFE,
∴AD=EB,∵AD∥EB,
∴四边形AEBD是平行四边形,
∵BD=AD,
∴四边形AEBD是菱形.
(2)解:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴CD=AB=,AB∥CD,
∴∠ABE=∠DCB,
∴tan∠ABE=tan∠DCB=3,
∵四边形AEBD是菱形,
∴AB⊥DE,AF=FB,EF=DF,
∴tan∠ABE=
=3,
∵BF=
∴EF=
∴DE=3
,
,
,
∴S=•AB•DE=菱形AEBD
•3=15.
20.(2018•乌鲁木齐)如图,在四边形ABCD中,∠BAC=90°,E是BC的中点,AD∥BC,AE∥DC,EF⊥CD于点F.
(1)求证:
四边形AECD是菱形;
(2)若AB=6,BC=10,求EF的长.
【分析】
(1)根据平行四边形和菱形的判定证明即可;
(2)根据菱形的性质和三角形的面积公式解答即可.【解答】证明:
(1)∵AD∥BC,AE∥DC,
∴四边形AECD是平行四边形,
∵∠BAC=90°,E是BC的中点,
∴AE=CE=BC,
∴四边形AECD是菱形;
(2)过A作AH⊥BC于点H,
∵∠BAC=90°,AB=6,BC=10,
∴AC=,
∵,
∴AH=,
∵点E是BC的中点,BC=10,四边形AECD是菱形,
∴CD=CE=5,
∵S=CE•AH=CD•EF,AECD
∴EF=AH=.