《等差数列的前n项和》教学设计.docx

《等差数列的前n项和》教学设计.docx

《《等差数列的前n项和》教学设计.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《等差数列的前n项和》教学设计.docx（9页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

《等差数列的前n项和》教学设计

《等差数列的前n项和》教学设计

教材分析：

本节课是《普通高中课程标准试验教科书·数学必修五》（人教A版）中第二章第三节“等差数列前n项和”（第一课时）。

它的主要内容是等差数列前n项和公式的推导及其简单应用。

本节课对等差数列前n项和公式的推导，目的是通过师生合作探究让学生掌握一种重要的数学方法“倒序相加法”。

并体会从特殊到一般的解决问题的方法。

为今后学习等比数列做了铺垫，因此，它在教材中起到了承上启下的作用。

学情分析：

（1）学生已经掌握了函数和数列的一些基础知识。

比如等差数列的定义，通项公式及性质，并能够独立的解决一些简单的问题。

（2）学生在前面的学习当中已经具备了一些抽象思维能力。

（3）学生底子薄，基础弱，需要在教师引导下进行预习，复习，巩固。

三维目标：

1．知识与技能：

（1）通过经历等差数列求和公式的发现，探究过程，掌握等差数列前n项和公式的推导过程。

（2）掌握等差数列前n项和公式，会对等差数列前n项和公式进行简单的应用。

2．过程与方法

（1）通过对等差数列前n项和公式的推导，渗透倒序相加求和的数学方法。

（2）通过对等差数列前n项和公式应用体会建模的思想，提高学生类比化归能力。

3．情感态度：

通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再次感受数学来源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生善于观察生活，从生活中发现问题，并用数学知识解决问题。

教学重点，难点

教学重点：

掌握等差数列前n项和公式推导过程及应用。

教学难点：

等差数列前n项和公式推导过程中渗透倒序相加的数学思想方法。

学法及教学策略：

学法：

引导学生大胆猜想，学会合作探究。

教学策略：

遵循学生的认知规律，充分调动学生的积极性，让学生经历知识的形成与发展过  程，体会由特殊到一般，从具体到抽象的学习方法，利用数形结合，类比化归的思想，层层深入，并通过学生自主探究，分析，整理出推导思路。

最后，通过例题及变式训练，师生互动，讲练结合，从而突出重点，突破难点。

课前准备：

（1）制作多媒体课件

（2）指导学生网上查找与等差数列相关的典故（3）指导学生做好预习工作

授课类型：

新授课

教学媒体：

利用计算机，投影仪作为辅助教学。

教学过程：

一.复习巩固

教师提问：

1.等差数列的定义？

2.差数列的通项公式？

3.等差数列的性质有哪些？

（幻灯片）

设计意图：

帮助基础较弱的学生回忆和巩固上节课的内容，另外帮助学生为今天所学习的内容做好铺垫。

通过课堂提问，帮助基础较弱的学生在新课开始前建立信心。

二．创设情景，导入新课

首先让我们一起来欣赏一副美丽的图片—印度泰姬陵。

（幻灯片）

印度泰姬陵是世界上七大建筑奇迹之一，它所在地是阿格拉市，泰姬陵融合了古印度，阿拉伯和古波斯建筑风格，是印度伊斯兰教文化的象征。

传说泰姬陵寝中有一个等边三角形图案，以相同大小的圆宝石镶嵌而成，共有100层，你知道这个图案中一共有多少颗宝石吗？

问题：

1.泰姬陵上的宝石总颗数怎么求？

     2.它是一个数列吗？

你能用数列的形式表示出来吗？

     3.你能写出数列

的前

项和吗？

师生活动：

学生回答老师的问题，教师给予肯定，并下结论

称为数列

         前

项和。

记作

，引出今天要探究的内容：

等差数列前

         项和（板书课题）

设计意图：

激发学生学习积极性，帮助学生了解泰姬陵的一些历史知识，丰富学生的知识。

通过引导得到等差数列的前n项和的定义，自然引出课题，体会与函数类比。

三．新课推进，引导探究

探究一：

高斯算法

问题：

1．如何求宝石的总颗数

1+2+3+4+5+……+100？

关于这个问题有个小故事，你们知 道吗？

谁说说？

     2．你能分析一下高斯求和的方法吗？

师生互动：

教师课前已经布置了预习作业，要求学生查关于高斯求和的问题，学生积极性很高，学生经过预习已经对高斯的问题进行了思考，所以很快得到结论，教师对学生的总结给予指导，原问题：

是100个不同的数求和，通过“配对分组”手段，将问题转化，得到新问题：

是50个相同的数求和．高斯算法的高明之处在于将不同数的求和问题转化为相同数的求和问题。

设计意图：

让学生讲述关于高斯的历史小故事，让学生切身感受一下历史名人的成长足迹，激发学生的探究兴趣，对学生有教育意义。

同时也体现了预习的重要性，教师总结学生分析的思路，帮助学生进一步理解高斯的算法，为倒序相加的方法渗透埋下伏笔。

探究二：

倒序相加法

问题：

1.你能求出1+2+3+4+5+……+25=？

     2.对比高斯求和1+2+3+4+5+……+100=？

你发现了什么问题？

     3.如何不需分奇.偶个项就可以利用高斯的算法求和呢？

我们一起来想想？

    4.想想看伐木工人是怎么用最快的速度算出堆放的木材的？

活动：

引导学生发现问题，学生发现共奇数项，用高斯算法多出来一项。

因为教师已经布置预习作业，要求学生查找伐木工人快速算出堆放木材的方法，因此学生有了一些方法的引导。

四人一组讨论一下，教师巡视引导学生使用倒置的思想。

展示学生的结论，并点评，给倒置求和的方法下定义为“倒序相加”。

问题：

你能求出1+2+3+4+5+……+

=？

设计意图：

巩固倒序相加法的使用，为等差数列求和公式的推导奠定基础。

问题：

再进一步探究，你能求出

吗？

活动：

教师巡视学生的探究过程，对不同的思路用投影仪展示，并给予点评，及时表扬学生的方法，重点对以下思路进行分析并充板书，使学生的思路更清晰。

生：

（1）

（2）

由

（1）+

（2），得 

师：

上节课我们学过了等差数列的性质，想想看？

生：

     则，

师：

很好。

我们把

（Ⅰ）叫做等差数列前n项和公式  ，这个表达式中有哪些是我们熟悉的符号，处理一下吧。

生：

呵呵，得到

（Ⅱ）   

师：

很好，如果用基本量

、d和n来表示

，第一个公式就化为第二个形式了．至此，我们得到了计算等差数列前n项和的公式，公式有两种形式。

设计意图：

通过层层递进的问题的设置，让学生掌握“倒序相加”的思想方法，并渗透从特殊到一般的解决问题的方法，培养学生独立思考的好习惯和合作意识。

让学生学会类比归纳。

四.公式辨析，应用反馈

思考？

你能分别说说等差数列前n项和公式（Ⅰ）（Ⅱ）含有哪些基本量吗？

比较两个公式，简单说说它们的用法。

设计意图:

为后面的解题作好铺垫，提醒学生对公式的辨析使用。

例1.计算：

（1）1+3+5+…+（2n-1）

（2）2+4+6+…+2n

（3）1-2+3-4+5-6+…+（2n-1）-2n

师生活动：

学生独立完成解题后，教师展示完整的解题过程，要求学生完善自己的解题步骤．

设计意图：

对于刚学完公式的学生来讲，直接解答课本上的例题1跨度太大。

因此先补充了这样一个直接运用公式的题目，目的是让学生迅速熟悉公式，用基本观点认识公式。

变式训练：

1．根据下列各题中的条件，求相应的等差数列

的前n项和

.

（1）

；（2已知

.

师生活动：

学生进行板演，教师巡视点评。

设计意图：

及时发现问题并纠正，熟悉和巩固公式。

例2．2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”的工程通知》．某市据此提出了实施“校校通”小学工程校园网.据测算，2001年该市用于“校校通”的总目标：

从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网．据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元．为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元．那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？

（幻灯片展示）

师：

请注意，先把问题中的数列说清楚！

（学生回答，教师板书．）

设计意图：

有了例1的缓冲，学生能进一步对实际问题进行分析，把实际问题中的等差数列找到，并应用合适的公式进行处理。

达到对公式（Ⅱ）的熟悉应用。

变式训练：

如图，一个笔架，最下面一层放20支笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支．这个笔架上共放着多少支笔？

师生活动：

学生独立完成解题后，进行板演，教师给予点评。

引导学生将等差数列的前n项和公式（Ⅰ）与梯形的面积公式进行类比，达到对公式的熟练记忆。

设计意图：

学生独立完成变式训练题，一方面提高学生将实际问题转化为等差数列模型的能力，另一方面通过与梯形面积公式的类比帮助学生熟悉等差数列前n项和的公式。

达到了对公式（Ⅰ）辨析应用的效果。

六.课堂小结：

1.本节都学习了哪些数学内容？

2.能简单说说我们推导等差数列前n项和的公式的过程吗？

3.在公式的推导过程中你学到了那些数学思想方法？

这些思想方法对你今后的学习有什么启发呢？

4.本节的重要题型是什么？

设计意图：

通过学生自己的总结归纳，使学生对知识的掌握得以升华。

布置作业：

必做：

课本习题2.3A组2.3

选作：

（1）一个等差数列的前四项的和为26，最后四项的和为110，所有项的和为187，则该数列共多少项？

（2）请你把其它不同推导等差数列的前n项和的公式方法写出来。

     （3）对求和史的了解．

 我国数列求和的概念起源很早，在北朝时，张丘建始创等差数列求和解法．他在《张丘建算经》中给出等差数列求和问题：

例如：

今有女子不善织布，每天所织的布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，共织三十日，问共织几何？

原书的解法是：

“并初、末日织布数，半之再乘以织日数，即得．”

设计意图：

必做题考查全体学生的基本掌握情况。

选做题提高学生的能力，以及课堂掌握情况，通过对选做

（1）的处理加深了学生对等差数列前n项和的公式的认识，对下面一节课做好预习工作，体现方程的思想。

选做

（2）是学生对课堂情景再现，加深对等差数列前n项和公式的推导方法的理解，同时发散思维。

选做（3）丰富了学生的课外知识，能提高学生的学习兴趣。

板书设计：

等差数列前n项和（第一课时）

1．  等差数列

的前

项定义                例1：

            变式训练（学生板演）

2.

（1）

（2）

由

（1）+

（2），得到

     例2：

           变式训练（学生板演）

    （Ⅰ）

  （Ⅱ）

教学反思：

本节课在情景创设上选用了印度泰姬陵的图案，激发了学生求知的欲望，同时也丰富了学生的人文知识，选材和我们本节课联系紧密，引课自然。

在教学时，也可以根据实际情况再补加一些实例背景。

通过数学天才高斯算法的引入，把学生引入探究的环境，铺设层层递进，让学生体会从特殊到一般的解决问题的方法，提高学生类比归纳的能力。

设计习题由简到易，既考查了对等差数列前n项和公式辨析使用，又渗透等差数列前n项和公式与梯形面积公式结构的类比记忆。

同时教师板书，对学生的做题格式，分析问题的方式都给了榜样作用。

学生对变式训练进行板演，目的是提高学生独立解决问题的能力，同时也充分的暴露问题，及时解决。

我们在课堂中是否也需要对公式（Ⅱ）与梯形面积分割成一个平行四边形和三角形面积公式进行类比探究？

我们的课堂是为了突出重点，突破难点。

我认为学生理解了公式（Ⅰ）就可以顺势得到公式公式（Ⅱ），课堂上应该节省时间，同时不应该转移学生的学习注意力，增加更多的探究点。

该知识可以通过课外辅导，或者练习课引出。

另外关于推导等差数列前 n项和公式方法有很多，我们可以引导学生在课堂中探究多种方法，发散学生的思维，激发学生的兴趣。

根据学生学情，我们可以适当的对练习题进行删减，较薄弱的班级我们要把重心放在公式的熟悉应用上，后设置习题课提高学生的能力，实现分层教学。